精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年八年级下学期数学定时学情检测题

2026年重庆南开中学初二数学下册定时学情检测题 （全卷共4个大题 满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 5. 实数的整数部分为，小数部分为，则（ ） A. B. C. D. 6. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略黏，是餐桌上的佳品某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前了两天完成任务，设原计划每天收割，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 9. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，，延长，与的平分线交于点F，连接，若，则正方形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，为整数，为非零整数，若，且，下列说法正确的个数为（ ） 在所有满足条件的整式中，单项式共有个； 存在个的值，使得满足条件的整式为四项式； 若关于的方程有两个实数根，则满足条件的整式有个； 满足条件的所有整式共有个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 一个多边形每个外角都等于其相邻内角的，则这个多边形是_____边形． 12. 已知，则的值为_______． 13. 已知关于的方程的两个根是，则________． 14. 已知二次函数的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为_____． 15. 如图，、，分别在矩形边，上，将沿直线翻折到矩形所在的平面内得，将四边形沿直线翻折到矩形所在的平面内得四边形，点刚好与重合，且、、共线，、、共线，交于点，，连接．若，则的长度为________，点到直线的距离为________． 16. 对于一个四位自然数，如果各个数位上的数字均不为零，且它的千位数字与百位数字的平方差的绝对值恰好等于去掉千位数字与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“空空数”．例如：四位数4848，，是“空空数”．又如：四位数，，不是“空空数”．则最大的“空空数”是______；若一个“空空数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（其中，，，，，，，均为整数），规定，，的各个数位上的数字之和为．若能被19整除，则满足条件的的值为______． 三、计算题：（本大题共2个小题，17题8分，18题8分，共16分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 按要求完成下列计算： （1）解不等式组： （2）化简：． 四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 已知矩形中，为上一点，连接，满足． （1）用直尺和圆规在矩形内部作，使得，交于． （2）在（1）的条件下，为了证明，小明同学的思路是：先证明，再证明，得出结论．请根据小明同学的思路完成下面的填空． 证明：四边形是矩形， ，  ①． 在与中， ． ②，． 四边形是矩形， ，  ③．  ④． 在与中， ． 小明进一步思考，如果，可得出的数量关系为  ⑤． 20. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，今年的主题是：全民国家安全教育，走深走实十周年．某校针对该主题开展了知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四组，不合格：，合格：，良好：，优秀：），下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，84，85，90，95，98 八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 a 八年级 82 b 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中______，______； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级分别有600人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生共有多少人？ 21. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用400元购买笔记本，300元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 22. 如图1，在矩形中，，．动点P从B出发以的速度向C运动，动点Q从C出发以的速度向B运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中的面积记为，且，的长度记为． （1）求出、的函数关系式，并写出的取值范围． （2）在图2的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ． （3）结合图象，当时，直接写出的取值范围． 23. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线交抛物线于点D． （1）求点D的坐标； （2）点P是直线上方的抛物线上一点，连接，交于点E，连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． （3）将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线，点M是新抛物线对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 25. 如图，在等边中，点D是边上的一个动点，点E是射线上的一个动点，连接，． （1）如图1，若点D为线段的中点，点E在线段上，，，求的面积； （2）如图2，若点E在延长线上，以为边，在右侧作等边；过点F作交于点G，当时，求证：； （3）如图3，点E在延长线上，，将沿直线翻折得到，点E的对应点为点；内部有一动点P，满足，若6，当的长度最小时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆南开中学初二数学下册定时学情检测题 （全卷共4个大题 满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，将图形绕某个固定点旋转后，旋转后的图形与原图形完全重合，这样的图形就是中心对称图形，据此判断即可． 【详解】解：A．轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．中心对称图形，符合题意； C．轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义：若A，B表示两个整式，且B中含有字母，则式子是分式，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：∵ 分式要求分母中含有字母，是常数，不是字母， ∴ A选项分母是常数，属于整式，不符合； B选项分母是字母，符合分式定义； C选项分母是常数，属于整式，不符合； D选项分母是常数，属于整式，不符合． 3. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，D正确； 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 5. 实数的整数部分为，小数部分为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 6. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略黏，是餐桌上的佳品某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前了两天完成任务，设原计划每天收割，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，根据实际工作效率比原计划提高，得出实际每天收割面积，再根据提前2天完成任务，列出原计划天数与实际天数之差的方程． 【详解】解：设原计划每天收割，则实际每天收割， 原计划所需天数为， 实际所需天数为． ∵ 提前2天完成任务， ∴ ． 故选：D． 7. 已知实数满足，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案． 【详解】解：实数满足，， 是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 8. 若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根确定的取值范围，再解分式方程，根据解为正整数筛选符合条件的整数，最后计算和即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且； 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理得，解得， ∵分式方程的解为正整数，且分母不为0即， ∴，，且是正整数， ∴，，且为正偶数，即为奇数， 结合且，可得符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 9. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，，延长，与的平分线交于点F，连接，若，则正方形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质； 连接，根据正方形的性质求出，证明，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，即可得到正方形的边长． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 平分， ， ， 在与中， ， ， ， O为对角线的中点， ， ， ∴，即正方形的边长为3， 故选：B． 10. 已知整式，其中为正整数，为整数，为非零整数，若，且，下列说法正确的个数为（ ） 在所有满足条件的整式中，单项式共有个； 存在个的值，使得满足条件的整式为四项式； 若关于的方程有两个实数根，则满足条件的整式有个； 满足条件的所有整式共有个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当时，，，，，可判断，要使得满足条件的整式为四项式，则一定有项非零整数，没有满足条件的整式，可判断，当时，由得到，，，，由根的判别式可判断，根据题意，分情况讨论，可得满足条件的整式，可判断． 【详解】解：当时，， ∴， 又∵，且为正整数， ∴，，，， ∴正确； 要使得满足条件的整式为四项式，则一定有项非零整数， ∵，且， ∴只能是四个非零系数的绝对值为，与系数大小顺序的条件相矛盾， ∴不存在，使得满足条件的整式为四项式， ∴错误； 当时，，且， ∴，，，， 即，，，， ∵ ∴，，，， 其中的有：，， ∴正确； 当时，且， ∴，，，，，，，，，，，，有个， 当时，，且， ∴，，，，有个， 当时，，且， ∴，有个； 当时，无法满足，且， ∴共有个， ∴错误． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 一个多边形每个外角都等于其相邻内角的，则这个多边形是_____边形． 【答案】十八 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和外角的综合应用，设一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数为，进而得到，求出，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：设多边形的一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形是十八边形； 故答案为：十八． 12. 已知，则的值为_______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 13. 已知关于的方程的两个根是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵关于的方程的两个根是， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原二次函数与轴的两个交点，根据四个交点相邻距离相等确定平移后抛物线与轴的交点坐标，代入平移后的函数解析式即可求出的值． 【详解】解：对于二次函数， 令，可得， 解得或， 原函数与轴的交点为和， 两交点间距离为， 抛物线开口向下，并向下平移个单位长度得到新的图象与轴的两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 相邻两点距离为， 平移后抛物线与轴的交点为和，如图所示， 原函数向下平移个单位长度后，得到的函数解析式为 将代入解析式得：， 整理得：， 解得． 15. 如图，、，分别在矩形边，上，将沿直线翻折到矩形所在的平面内得，将四边形沿直线翻折到矩形所在的平面内得四边形，点刚好与重合，且、、共线，、、共线，交于点，，连接．若，则的长度为________，点到直线的距离为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】证明，得到，即可得到；证明四边形是平行四边形，过点F作于点K，证明四边形是矩形，设则，，设点到直线的距离为，根据勾股定理，三角形的面积公式求解即可； 【详解】解：∵矩形， ∴，， 根据折叠的性质，得，， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 过点F作于点K， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 设 则，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得，边长不能为负，故负的舍去， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点到直线的距离为， 根据题意，得， ∴； 16. 对于一个四位自然数，如果各个数位上的数字均不为零，且它的千位数字与百位数字的平方差的绝对值恰好等于去掉千位数字与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“空空数”．例如：四位数4848，，是“空空数”．又如：四位数，，不是“空空数”．则最大的“空空数”是______；若一个“空空数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（其中，，，，，，，均为整数），规定，，的各个数位上的数字之和为．若能被19整除，则满足条件的的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问求最大“空空数”，需优先让千位数字最大，再依次让百位数字最大，验证后即可得到结果； 第二问根据题意表示出和，得到的表达式，结合整除性质得到，的可能取值，再结合新定义验证，计算得到． 【详解】解：设四位自然数是“空空数”，其中，均为整数， ∴ 要使四位数最大，优先令千位取最大值，即， ∴当时，再令百位取最大可能值，即当时，，不是两位数，不符合； 当时，，得，，均不为，符合要求， ∴四位数为，是最大的“空空数”， 由题意得，，是两位数，十位数字为，个位数字为， ∴各数位数字和， ∴， ∵能被整除，能被整除， ∴能被整除，且，， ∴，即， ∴的取值只能为或， ①当时，整理得， 结合范围得整数解为， 此时，为一位数，不符合的要求，舍去； ②当时，整理得， 结合范围得整数解为， 此时，得，，均不为，符合要求， ∴． 三、计算题：（本大题共2个小题，17题8分，18题8分，共16分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先去分母转化为整式方程求解，最后进行检验，排除使分母为零的增根． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 经检验：当时，分母， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18. 按要求完成下列计算： （1）解不等式组： （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分即可得到最终结果； （2）先计算括号内的异分母分式减法，再对二次多项式因式分解，将除法转化为乘法后约分即可得到最简结果． 【小问1详解】 解：原不等式组为， 解不等式，得 ， 解不等式， 得， 因此原不等式组的解集为 【小问2详解】 解： 四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 已知矩形中，为上一点，连接，满足． （1）用直尺和圆规在矩形内部作，使得，交于． （2）在（1）的条件下，为了证明，小明同学的思路是：先证明，再证明，得出结论．请根据小明同学的思路完成下面的填空． 证明：四边形是矩形， ，  ①． 在与中， ． ②，． 四边形是矩形， ，  ③．  ④． 在与中， ． 小明进一步思考，如果，可得出的数量关系为  ⑤． 【答案】（1）见解析 （2），，，，． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据尺规作图作相等的角即可； （2）根据平行线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质进行推理即可完成证明；先说明，再根据直角三角形的性质即可确定的数量关系. 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ， ． 在与中， ． ，． 四边形是矩形， ，． ． 在与中， ． ，； ∴， ∵，， ∴， ∴，即． ∴． 故答案为：，，，，． 20. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，今年的主题是：全民国家安全教育，走深走实十周年．某校针对该主题开展了知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四组，不合格：，合格：，良好：，优秀：），下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，84，85，90，95，98 八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 a 八年级 82 b 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中______，______； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级分别有600人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）82，100 （2）八年级学生对“国安知识”掌握情况较好， ∵七、八年级竞赛成绩的平均数相同，八年级竞赛成绩的中位数高于七年级，满分率也高于七年级， ∴八年级学生对“国安知识”掌握情况更好． （3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生共有360人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义，结合已知条件计算a和b的值； （2）对比两个年级的统计量，即可判断哪个年级掌握情况更好； （3）利用样本的满分率估计总体，计算出七、八年级优秀总人数即可． 【小问1详解】 解：共抽取七年级20名学生的成绩，中位数为排序后第10个和第11个成绩的平均数， 七年级满分人数为，良好组共6个数据， ∴不合格和合格组总共有（个）数据， ∴第10个成绩为80，第11个成绩为84， ∴， 八年级共抽取20名学生，满分人数为，即100分出现7次，出现次数最多， ∴众数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得，估计七年级优秀人数为（人）， 估计八年级优秀人数为（人）， ∴总优秀人数为（人）， ∴估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生共有360人． 21. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用400元购买笔记本，300元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 【答案】（1）每本笔记本的单价为4元，每个套尺的单价为6元； （2）每个套尺的售价为11元． 【解析】 【分析】（1）设笔记本单价为元，用表示套尺单价，根据“笔记本数量是套尺数量的2倍”列分式方程求解； （2）设套尺售价为元，根据“总获利为400元”列一元二次方程，结合降价幅度的限制条件，舍去不符合的解得到结果． 【小问1详解】 解：设每本笔记本的单价是元，则每个套尺的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元． 【小问2详解】 解：设每个套尺的售价为元， 由题意得：笔记本的总获利为元，套尺每个获利为元， 套尺的日销量为， 因此总获利满足方程： 整理得：， 解得：或， 降价幅度不超过， ， 解得：， ， 答：每个套尺的售价为11元． 22. 如图1，在矩形中，，．动点P从B出发以的速度向C运动，动点Q从C出发以的速度向B运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中的面积记为，且，的长度记为． （1）求出、的函数关系式，并写出的取值范围． （2）在图2的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ． （3）结合图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 、的函数图象如下图所示， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． （3） 【解析】 【分析】（1）由两个动点的移动速度可知，，点P与点Q相遇前，点P与点Q相遇后，，由此可得的函数关系式；过点E作于点F，根据证明，推出，可得； （2）根据（1）中所求函数关系式，在坐标系内描点连线即可； （3）根据（2）中所画图象，找出图象在图象上方部分对应的t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 当点P与点Q相遇时，， 当点Q到达点B时，两点停止运动，此时， 当点P与点Q相遇前，， 当点P与点Q相遇后，， ； 如图1，过点E作于点F， 由旋转得，， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上可知，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，、的图象有交点， 解方程组，得， 、的图象的交点坐标为， 结合函数图象可知，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一次函数图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两条直线交点与二元一次方程组的关系等，解题的关键是求出、的函数关系式． 23. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1）关于的函数解析式为； （2）汽车刹车后，行驶了米； （3）该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由见解析． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （）将 代入（）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （）求出（）中函数的最大值，与比较，即可解决问题； 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为，将，，代入， ，解得：， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得关于的函数解析式为， 当时，， ∴汽车刹车后，行驶了米； 【小问3详解】 解：由（）得关于的函数解析式为， ∴， ∴当时，汽车停下，行驶了米， ∵， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线交抛物线于点D． （1）求点D的坐标； （2）点P是直线上方的抛物线上一点，连接，交于点E，连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． （3）将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线，点M是新抛物线对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 【答案】（1）； （2）当时，的最大值为：，此时； （3）点N的坐标为或或， 或  【解析】 【分析】（1）令，求出x的值，进而可求出点A，B的坐标，令，得出y的值，可得出点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的坐标，再利用可得出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式即可得出点D的坐标； （2）过点P作轴交BD于点Q，设点P的横坐标为m，由此可得出点P和点Q的坐标，进而求出的长，由三角形面积公式可得出的面积；连接，由平行可知，的面积与的面积相等，根据，可表达S与m的函数关系，再根据二次函数的性质求解即可； （3）将抛物线沿射线CA方向平移 单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移 个单位，由此可得 的解析式，得出抛物线的对称轴，得出点M的横坐标，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形，需要分类讨论：点A为直角顶点；点C为直角顶点；点M为直角顶点，求出点M的坐标，再根据矩形的性质可得出点N的坐标． 【小问1详解】 解：令，即， 解得或， ； 令，则， ， ∴直线的解析式为：， ， ∴直线的解析式为：， 将点的坐标代入直线，可得， ， ∴直线的解析式为：， 令， 解得（舍）或， ． 【小问2详解】 如图，过点P作轴交于点Q，设点P的横坐标为m， 则， ， ， 连接， ， ， ， ， ∴当时，的最大值为：，此时； 【小问3详解】 将抛物线沿射线CA方向平移 单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移个单位， ， ， ∴抛物线 的对称轴为； 设点M的纵坐标为t，则， ， ， ， 若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形，需要分类讨论： ①点A为直角顶点， ， 即 ， 解得， 由矩形的性质可知，； ②点C为直角顶点， ， 即 ， 解得， ， 由矩形的性质可知，； ③点M为直角顶点， ， 即 ， 解得 或 ， 或 ， 由矩形的性质可知， 或， 综上，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为或或， 或 ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积问题，二次函数的性质，矩形的性质等相关问题，（2）得出S与x的函数关系式是解题关键． 25. 如图，在等边中，点D是边上的一个动点，点E是射线上的一个动点，连接，． （1）如图1，若点D为线段的中点，点E在线段上，，，求的面积； （2）如图2，若点E在延长线上，以为边，在右侧作等边；过点F作交于点G，当时，求证：； （3）如图3，点E在延长线上，，将沿直线翻折得到，点E的对应点为点；内部有一动点P，满足，若6，当的长度最小时，求的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点M，得出，设，，，列出方程求解，进而得出，，即可求解； （2）过点D作，交于点N，通过证明为等边三角形，，得出，再证明，得出，根据，得出，则，即可求证； （3）易证，以为边在右边作等边三角形，则，可得点A、P、C、Q四点共圆，过点A作，过点C作，相交于点O，根据圆周角定理推出点A、P、C、Q四点在以点O为圆心，为半径的圆上，过点O作于点H，求出，当点E、P、O在同一条直线上时，取最小值．根据将沿直线翻折得到，可得点在与夹角为的直线上运动，则当时，取最小值，求出，连接，于相交于点P，根据勾股定理可得：，即可求出．． 【小问1详解】 解：过点D作于点M， ∵是等边三角形，点D为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴，则，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点D作，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴在中，， 以为边在右边作等边三角形，则， ∴， ∴点A、P、C、Q四点共圆， 过点A作，过点C作，相交于点O， ∴，， ∴在中，，， ∵， ∴点A、P、C、Q四点在以点O为圆心，为半径的圆上， 过点O作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴当点E、P、O在同一条直线上时，取最小值． ∵将沿直线翻折得到， ∴，则， ∴点在与夹角为的直线上运动， ∴当时，取最小值， ∵， 此时， ∴， 连接，于相交于点P， 根据勾股定理可得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解题直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，以及圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $