精品解析：重庆南开中学校2025-2026学年八年级下学期阶段学情自测数学试卷

数学练习 一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在3.14，，，，，等中，无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案； 【详解】解：，，是无理数； 故选：B 【点睛】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键． 2. 北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射．下列和中国航天有关的部分图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形识别，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】根据中心对称图形的定义可知，选项C符合题意． 故选：C 3. 在平面直角坐标系中，已知点，点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 点A在第三象限 B. 点B到x轴、y轴的距离相等 C. 线段轴 D. 点A、点B都在各自象限的角平分线上 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、第三象限内点的横坐标与纵坐标均为负数，点横纵坐标都为负数，则点在第三象限，故选项不符合题意； B、点到轴的距离为，到轴的距离为，二者相等，故选项不符合题意； C、点与点的纵坐标相同，则线段轴，故选项不符合题意； D、象限角平分线上的点，横纵坐标的绝对值相等，点的横坐标是，纵坐标是，，则点不在所在象限角平分线上，点B的横坐标是3，纵坐标是，，则点B在所在象限的角平分线上，由于点不在所在象限的角平分线上，故选项符合题意． 4. 甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，方差能反映一组数据的波动程度大小，方差越小，数据的波动程度越小，即越稳定，掌握方差和平均数的概念是解本题的关键． 根据四人方差大小和平均数大小即可判断． 【详解】解：由于甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93， 故甲丙两人的平均成绩更高； ，， ， 表明甲同学的成绩稳定， 这10次比赛中成绩又高又稳定的是甲， 故选：A． 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式，原式，根据，可得． 【详解】原式． 因为， 所以． 所以． 所以原式的值在和之间． 故选：B 6. “辉煌九秩，筑梦百年”，在某中学建校90周年之际，八年级学生王小明制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，现有材料，并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套．设用材料制作礼盒，材料制作礼卡，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据材料总量为，配套数量：每个工艺品需1个礼盒和3张礼卡．每平方米材料可制作10个礼盒或50张礼卡，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设用材料制作礼盒，材料制作礼卡，则可列方程组为 故选：C． 7. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项正误，即可得到答案． 【详解】解：、∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵题目没有给出的取值范围，当时，若，可得， ∴原判断不成立，该选项判断错误，符合题意； 、∵，可得，不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意． 8. 如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式即，根据图象可知当时，，即可判断答案． 【详解】解：， ， ， 即， 一次函数与的图象交于点， 当时，， 即不等式的解集为． 9. 如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，，，由旋转的性质得，，，分别求出，，过点作于点，延长交于点，交于点，得四边形为矩形，分别证明、是等腰直角三角形，得，再由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由旋转得：， 又， ∴， ∴， 过点作于点，延长交于点，交于点，如图， 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 10. 一辆快车从地匀速驶向地，一辆慢车从地匀速驶向地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离（）与行驶时间（）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ） A. 两车出发后相遇 B. 行驶时，两车相距 C. 快车比慢车早到达目的地 D. 快车的速度为，慢车的速度为 【答案】C 【解析】 【分析】先从图像中提取两车相遇时间与慢车全程行驶时间，结合总路程求出两车速度，再根据各选项对应的时间点进行判断． 【详解】解：设快车的速度为，慢车的速度为， 据图可知，当行驶时间为时，两车相遇，当行驶时间为时，慢车到达地， 可得，， 解得，， 则， 选项：当行驶时间为时，，可知两车相遇，故正确； 选项：当，两车从相遇点又分别行驶了，则两车的距离为，故正确； 选项：快车到达目的地需用时：，慢车到达目的地需用时：， 则快车比慢车早到，故错误； 选项：快车的速度为，慢车的速度为，故正确． 11. 如图，在中，连接，将沿翻折得到同一平面内的，与交于点F，若，则点E到的距离为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于G，作交于，根据题意可知，根据折叠的性质得到，，，，证明，得到，，根据三角形面积公式求出，根据勾股定理求出，同理求出，，进而求出，，根据三角形面积公式求出，即可得到点E到的距离． 【详解】解：如图，连接交于G，作交于， ∵， ∴， ∵将沿翻折得到同一平面内的， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12. 若代数式P与Q的差为常数，且常数为正数，则称P是Q的“T式数”，这个差值称为式P与Q的“T值”．设是从，1，2这三个数中任意取值的一列数，下列说法：①若，则可以组成2组“T式数”；②若，则和的“T值”是3；③若，则可以组成26组“T式数”．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先明确题目中T式数的定义，再根据题干条件逐个分析三个说法，结合整式变形、方程组知识求解，判断正确说法的个数． 【详解】解：首先明确，若代数式P与Q的差为正的常数，则P是Q的T式数，所给数只能取，1，2，逐个分析如下： ① ∵，且， ∴，即，只有两个和一个的组合和为，无其他可能； 满足的有序对只有：减，共组，故①正确． ②对，因式分解得， ∴， 当时，得，，此时，T值为3； 当时，得，，此时若，则，存在T值为1，而不是3； 因此等式成立时，和的T值不一定是3，故②错误； ③设这9个数中有x个，y个1，z个2， 根据题意得：， 化简得， 解得， 即有4个，3个1，2个2． 计算所有T式数的组数： P为1，Q为：共组， P为2，Q为1：共组， P为2，Q为：共组， 总组数为，故③正确． 综上，正确的说法有2个． 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，求平方根． 先计算乘方，再求平方根． 【详解】解：∵，且4的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 14. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： 解得： 则外角为． 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 15. 点和点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得，， ∴． 16. 已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 【答案】 或##或 【解析】 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论函数在给定区间内的最大值，列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随增大而增大， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得； ②当时，一次函数随增大而减小， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得 则的值为或 17. 如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：是由通过平移得到， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18. 如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】设，由平行四边形的性质得，可得，，由得,，得出，根据列方程求得即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 19. 已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正比例函数的定义得到a的取值限制，再解一元一次不等式组，根据不等式组整数解的个数确定a的取值范围，最后找出范围内满足条件的整数a并计算其和即可． 【详解】解：为正比例函数 根据正比例函数的定义，可得，即 解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 因此不等式组的解集为 不等式组有且仅有三个整数解， 三个整数解为 可得 三边同乘3得，移项并合并同类项得 结合，可得 该范围内的整数为 所有满足条件的整数的值之和为 20. 如图，平面直角坐标系中，点，，，，连接、．将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．根据图形旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：因为线段由线段旋转得到，且点与点重合，点与点重合， 所以的垂直平分线和的垂直平分线都经过旋转中心． 如图所示，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 21. 如图，在平行四边形中，延长至点E，使得，连接，延长至点F，使得，点G为线段的中点，连接，，若，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，相交于点，先证明，，，从而，再由，得，可证明四边形是菱形，从而可求得的长． 【详解】解：如图，连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，点G为线段的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，点G为线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴． 22. 某商店购进一批对联、小马挂件、日历册，这些物品刚好包装成80个相同规格的“马年春节福袋”出售（每个福袋售价为三种商品的单价之和），其中对联、小马挂件、日历册的进价之比为，对联、小马挂件、日历册的售价分别是进价的，每个福袋中对联、小马挂件、日历册的数量之比为，年前卖出一部分福袋，剩下的年后清仓售完．年后清仓时，三种商品的售价分别调整为其进价的．把剩下的福袋按照降价后的方式全部售完后，年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，则年前卖出福袋______盒，这批福袋的总利润率是______． 【答案】 ①. 48 ②. 【解析】 【分析】先根据题意设对联、小马挂件、日历册进价分别为元，即可得出对联、小马挂件、日历册售价分别为元，再根据每个福袋的对联、小马挂件、日历册的数量之比为，可设出每个福袋对联、小马挂件、日历册的数量分别为个，得出每个福袋的进价为元，每个福袋的售价为元，每个福袋的利润为元，根据降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别是进价的，可得出降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别为，即可算出降价后每个福袋的利润为元，根据题意可设年前卖出m个，则年后卖出个，根据年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，即可得出，解出m的值，然后算出总利润为元，总进价为元，即可算出总利润率． 【详解】解：∵对联、小马挂件、日历册进价之比为， ∴可设对联、小马挂件、日历册进价分别为元， ∵对联、小马挂件、日历册售价分别比其进价的， ∴对联、小马挂件、日历册售价分别为元， ∵每个福袋的对联、小马挂件、日历册的数量之比为， ∴可设每个福袋对联、小马挂件、日历册的数量分别为个， 则每个福袋的进价（元），每个福袋的售价（元）， ∴每个福袋的利润（元）， ∵年前商店一共卖出福袋若干，剩下的福袋在年后全部售完， ∴可设年前卖出m个，则年后卖出个， ∵降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别是进价的， ∴降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别为元， ∴降价后每个福袋的售价（元）， ∴降价后每个福袋的利润为（元）， ∵年前卖出的对联的总收入为（元）， 年后卖出的对联的总收入为（元）， 且年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为， ∴， 解得：， 经检验，是该方程的解， 80个福袋总进价为（元）， 总售价为 （元）， ∴总利润为（元）， ∴总利润率为：． 三、解答题：（本大题共9个小题，23题至26题每题8分，27题至30题每题10分，31题12分，共84分），解答时给出必要的演算过程，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的位置上． 23. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别化简绝对值、立方根、负指数幂，再将计算结果进行加减运算； （2）先分别用完全平方公式和乘法分配律展开两部分，然后去括号合并同类项，消去含根号的部分得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 24. 解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），见解析． 【解析】 【分析】（）根据“去括号，移项，合并同类项，系数化为”求出不等式的解集即可； （）分别求出每个不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， 解不等式得：； 解不等式得：； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 25. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式提取公因式后，再运用平方差公式解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 26. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点C顺时针旋转的△； （2）画出关于原点O成中心对称的△； （3）点P在此正方形网格第二象限内的格点上，若，则点P的坐标为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据同底等高面积相等即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，点的坐标为，． 27. 如图，在中，的角平分线交于点E，点F在线段上，，连接交于点P． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，进而可证，由角平分线的定义得，从而得出，可证，进一步可证结论成立； （2）作于点H，由等腰三角形的性质求出．证明是等边三角形，得出，由30度角的性质得出，利用勾股定理求出，然后根据三线合一即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点H， ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 28. 某校举办了数学知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分为三组：A．；B．；C．，得分在90分以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，84，84，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 a 八年级 84 b 76 （1）填空：_____，_____，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的数学知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1200名学生，八年级有1000名学生参加了此次数学知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次数学知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少人？ 【答案】（1）84，85，30 （2）八年级的数学知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，求出八年级C组人数所占的比例，得到的值； （2）根据中位数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级的数据中出现次数最多的是84，故； 八年级数据中A组数据有个，第5个和第6个数据分别为， 故； ，故； 【小问2详解】 解：八年级的数学知识竞赛成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但八年级的中位数比七年级大，故八年级的数学知识竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校七、八年级参加此次数学知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是人． 29. 为迎接重庆南开中学建校90周年，学生会计划向商家定制A、B两款文创礼盒：A款为印有校徽的“青莲紫韵”笔记本礼盒，B款为刻有校训的“金马奋蹄”书签礼盒．这两款礼盒将在线上进行义卖，所得款项用于资助山区学童．已知购进2套A礼盒和3套B礼盒，共需进价460元；购进5套A礼盒和2套B礼盒，共需进价710元． （1）求每套A礼盒和B礼盒的进价分别是多少元？ （2）学生会决定用不超过40000元的资金购进这两款礼盒共400套．根据前期预售情况，A礼盒的数量至少要占总数量的，且不超过总数量的．销售时，A礼盒每套售价160元，B礼盒每套售价120元．在销售末期，有4套A礼盒和6套B礼盒均按售价的七五折优惠出售．若本次购进的两种礼盒全部售出，请问购进A礼盒多少套时，可使本次义卖获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每套A礼盒进价110元，每套B礼盒进价80元. （2）购进A礼盒266套时，总利润最大，最大利润为18320元. 【解析】 【分析】（1）设每套A礼盒进价为x元，每套B礼盒进价为y元，根据题意利用两种购进的总价条件列二元一次方程组，求解即可得到两种礼盒的进价； （2）设购进A礼盒的数量，根据资金限制和A礼盒数量的范围要求确定自变量的取值范围，再根据利润计算方法列出总利润关于A礼盒数量的一次函数，结合一次函数的单调性即可求出最大利润和对应的购进数量． 【小问1详解】 解：设每套A礼盒进价为x元，每套B礼盒进价为y元，根据题意得： ， 解得， 答：每套A礼盒进价110元，每套B礼盒进价80元； 【小问2详解】 解：设购进A礼盒m套，则购进B礼盒套，总利润为W元，根据题意， A礼盒数量满足，即，且m为正整数； 又资金不超过40000元，得， 解得， ∴m的取值范围为，m为正整数； ∴总利润 ， ∵， ∴W随m的增大而增大, ∴当m取最大值266时，W取得最大值， ∴元； 答：购进A礼盒266套时，可使本次义卖获得的总利润最大，最大利润是18320元． 30. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与直线交于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点F在射线上，动点G、动点H分别在直线、直线上，连接、、、，当面积为6时，求周长的最小值； （3）如图3，在（2）的条件下，将沿射线平移至处，再将绕点旋转一定角度时，点会与点C重合，记旋转过程中的为，在整个旋转过程中，直线分别与直线、x轴交于点N、K，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为或或 【解析】 【分析】（1）根据题意先求得点A和点B的坐标，从而得到，再根据已知条件求得点E的坐标和点D的坐标，最后利用待定系数法求得直线的解析式； （2）先求出点C的坐标，再设点，得到的表达式，再由的面积列出方程求得m的值，进而得到点F的坐标，紧接着利用轴对称的性质得到周长最小值为，利用勾股定理，等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边中线定理求得最终结果； （3）由旋转后与C重合可得到，从而证得是等边三角形，从而得到与A重合，此时分情况讨论：当和时，利用旋转求得每种情况下的长． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 又∵直线与直线交于点， 将代入直线中，得， ∴， ∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线与x轴交点C， ∴时，，即， 设点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵点G，H分别是直线，的动点， 如图，分别过点F作关于直线，的对称点和，连接，，，，，， ， ∴由轴对称的性质可知，，，， ∴周长为，当且仅当共线时取最小值， 在中，， 在中，， ， ∵， ∴， ∴共线， 同理，，， ∵， ∴， ∴共线， 连接， 在中，， ∴， ∴是等边三角形，即， 又∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， 由对称知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∵， ∴周长最小值为． 【小问3详解】 解：由（2）知是等边三角形，即， ∵沿射线平移至处， ∴，， ∵旋转后与C重合，连接， ∴， ∴是等边三角形，即，， ∴， ∴与A重合，如图， 此时， ∴， ∵，， ∴，， ①当第一次时，是以为腰的等腰三角形， ∴， ∴， ∴绕点旋转的角度是， ∴， 又∵，， ∴， ∴与重合，则、、重合，此时如图， ∴； ②当第一次时，是以为腰的等腰三角形， ∵， ∴， ∴绕点旋转的角度是， ∴， ∵， ∴， ∴与重合，即、重合，此时如图， ∴； ③当第二次时，是以为腰的等腰三角形，如图， ∴， ∴， ∴绕点旋转的角度是， ∴， ∵，， ∴， ∴与重合，则、、、重合， ∴此时不存在； ④当第三次时，是以为腰的等腰三角形，如图， 同③，、、、重合，此时不存在； ⑤当第二次时，是以为腰的等腰三角形， ∴， ∴绕点旋转的角度是， ∴， ∵， ∴， ∴与重合，即、重合，此时如图， ∴， 综上所述，的长为或或． 31. 在等腰中，，，点是线段的中点，点是线段中垂线上的一点，连接、、、，点是线段上的一点． （1）如图，当点在边上时，连接，若，，求的长度； （2）如图，当点在内部时，延长至点，点是线段的中点，连接、、，若平分，，求证：； （3）如图，当点在外（下方）时，与交于点，连接、、，若，点是线段的中点，当线段取得最小值时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（）由等腰三角形性质可得，则，然后通过直角三角形性质可得，所以由勾股定理求出，又点是线段中垂线上的一点，则，再根据等腰三角形的判定得出，最后由勾股定理即可求解； （）连接，，设与交于点，由点是线段的中点，，，则，，，所以，，通过垂直平分线性质可得，则，然后证明，，从而可得，所以，，通过勾股定理得，最后通过线段的和与差即可求证； （）取中点，连接，先求出，则有是中位线，，故有，，所以，可得在中位线上运动，设与交于点，当线段时，取得最小值，如图，延长交于点，证明四边形是矩形，则，，，然后证明，所以，再证明，则，求得，再求出，然后通过四边形即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，，设与交于点， ∵点是线段的中点，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取中点，连接， ∵点是线段的中点，，， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点，点是线段的中点， ∴是中位线，， ∴，， ∴， ∴在中位线上运动，设与交于点，当线段时，取得最小值，如图，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在3.14，，，，，等中，无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射．下列和中国航天有关的部分图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知点，点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 点A在第三象限 B. 点B到x轴、y轴的距离相等 C. 线段轴 D. 点A、点B都在各自象限的角平分线上 4. 甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. “辉煌九秩，筑梦百年”，在某中学建校90周年之际，八年级学生王小明制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，现有材料，并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套．设用材料制作礼盒，材料制作礼卡，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 一辆快车从地匀速驶向地，一辆慢车从地匀速驶向地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离（）与行驶时间（）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ） A. 两车出发后相遇 B. 行驶时，两车相距 C. 快车比慢车早到达目的地 D. 快车的速度为，慢车的速度为 11. 如图，在中，连接，将沿翻折得到同一平面内的，与交于点F，若，则点E到的距离为（ ） A. 6 B. C. D. 12. 若代数式P与Q的差为常数，且常数为正数，则称P是Q的“T式数”，这个差值称为式P与Q的“T值”．设是从，1，2这三个数中任意取值的一列数，下列说法：①若，则可以组成2组“T式数”；②若，则和的“T值”是3；③若，则可以组成26组“T式数”．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 的平方根是______． 14. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 15. 点和点关于轴对称，则的值为______． 16. 已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 17. 如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 18. 如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 19. 已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 20. 如图，平面直角坐标系中，点，，，，连接、．将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为__________． 21. 如图，在平行四边形中，延长至点E，使得，连接，延长至点F，使得，点G为线段的中点，连接，，若，，，则线段的长为______． 22. 某商店购进一批对联、小马挂件、日历册，这些物品刚好包装成80个相同规格的“马年春节福袋”出售（每个福袋售价为三种商品的单价之和），其中对联、小马挂件、日历册的进价之比为，对联、小马挂件、日历册的售价分别是进价的，每个福袋中对联、小马挂件、日历册的数量之比为，年前卖出一部分福袋，剩下的年后清仓售完．年后清仓时，三种商品的售价分别调整为其进价的．把剩下的福袋按照降价后的方式全部售完后，年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，则年前卖出福袋______盒，这批福袋的总利润率是______． 三、解答题：（本大题共9个小题，23题至26题每题8分，27题至30题每题10分，31题12分，共84分），解答时给出必要的演算过程，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的位置上． 23. 计算： （1） （2） 24. 解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 25. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 26. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点C顺时针旋转的△； （2）画出关于原点O成中心对称的△； （3）点P在此正方形网格第二象限内的格点上，若，则点P的坐标为_______． 27. 如图，在中，的角平分线交于点E，点F在线段上，，连接交于点P． （1）求证：； （2）若，，求的长． 28. 某校举办了数学知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分为三组：A．；B．；C．，得分在90分以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，84，84，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 a 八年级 84 b 76 （1）填空：_____，_____，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的数学知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1200名学生，八年级有1000名学生参加了此次数学知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次数学知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少人？ 29. 为迎接重庆南开中学建校90周年，学生会计划向商家定制A、B两款文创礼盒：A款为印有校徽的“青莲紫韵”笔记本礼盒，B款为刻有校训的“金马奋蹄”书签礼盒．这两款礼盒将在线上进行义卖，所得款项用于资助山区学童．已知购进2套A礼盒和3套B礼盒，共需进价460元；购进5套A礼盒和2套B礼盒，共需进价710元． （1）求每套A礼盒和B礼盒的进价分别是多少元？ （2）学生会决定用不超过40000元的资金购进这两款礼盒共400套．根据前期预售情况，A礼盒的数量至少要占总数量的，且不超过总数量的．销售时，A礼盒每套售价160元，B礼盒每套售价120元．在销售末期，有4套A礼盒和6套B礼盒均按售价的七五折优惠出售．若本次购进的两种礼盒全部售出，请问购进A礼盒多少套时，可使本次义卖获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 30. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与直线交于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点F在射线上，动点G、动点H分别在直线、直线上，连接、、、，当面积为6时，求周长的最小值； （3）如图3，在（2）的条件下，将沿射线平移至处，再将绕点旋转一定角度时，点会与点C重合，记旋转过程中的为，在整个旋转过程中，直线分别与直线、x轴交于点N、K，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时的长． 31. 在等腰中，，，点是线段的中点，点是线段中垂线上的一点，连接、、、，点是线段上的一点． （1）如图，当点在边上时，连接，若，，求的长度； （2）如图，当点在内部时，延长至点，点是线段的中点，连接、、，若平分，，求证：； （3）如图，当点在外（下方）时，与交于点，连接、、，若，点是线段的中点，当线段取得最小值时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $