第14讲 函数的单调性（3大知识点+10大题型）讲义-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版）

第14讲 函数的单调性 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、函数的单调性 3 知识点二、基本初等函数的单调性 6 知识点三、函数的最大（小）值 6 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：函数单调性判定 7 题型 2：函数单调性证明 8 题型 3：函数单调区间求解 9 题型 4：由单调性求参数范围 9 题型 5：单调性解不等式 10 题型 6：单调性比较大小 11 题型 7：函数最值求解 12 题型 8：抽象函数单调性证明 14 题型 9：二次函数闭区间最值 16 题型 10：恒成立与能成立问题 18 04 过关测试 21 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型 1：函数单调性判定 例1．（2026·高一·河南焦作·期末）已知函数在上有定义，设甲：在上单调递增，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 例2．已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 例3．（2026·高一·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 变式1．下列说法正确的是（   ） A．所有的函数在其定义域上都具有单调性. B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是. C．若函数为R上的减函数，则. D．若函数在定义域上有，则函数是增函数. 变式2．（2026·高一·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 变式3．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 题型 2：函数单调性证明 例4．（2026·高一·全国·期末）已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明. 例5．（2026·高一·上海青浦·阶段检测）证明：函数是严格增函数. 例6．已知函数是一次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明. 变式4．（2026·高一·贵州贵阳·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 变式5．（2026·高一·陕西安康·期中）已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 变式6．（2026·高一·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 题型 3：函数单调区间求解 例7．已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 例8．（2026·高三·全国·一轮复习）函数的单调递增区间为________． 例9．（2026·高一·四川泸州·期中）定义．设函数，则的单调递增区间为______． 变式7．函数的单调递增区间是__________. 变式8．（2026·高一·山东济宁·期中）函数的单调递增区间是______ 变式9．（2026·高一·黑龙江·期中）函数的单调递增区间为________. 题型 4：由单调性求参数范围 例10．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 例11．（2026·高一·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为________． 例12．（2026·高一·北京·期中）已知函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____ 变式10．（2026·高一·河北保定·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 变式11．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）函数，若对于任意，当时，都有，则实数a的取值范围是___________. 变式12．（2026·高一·河南·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为________. 变式13．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）函数在区间上单调递减，则实数a取值范围是______． 题型 5：单调性解不等式 例13．（2026·高一·湖南湘西·期末）已知函数在上是增函数，关于轴对称，若成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．（2026·高一·湖南常德·期中）定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·四川达州·期中）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式14．（2026·高一·天津·期中）已知函数，若，则实数a的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 变式15．（2026·高一·河南·期中）已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变式16．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型 6：单调性比较大小 例16．（2026·高一·浙江·期末）已知函数 ，且 ，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 例17．（2026·高一·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 例18．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 变式17．（2026·高一·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 变式18．（2026·高三·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型 7：函数最值求解 例19．（2026·高一·内蒙古通辽·阶段检测）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 例20．（2026·高一·广西玉林·阶段检测）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域； (3)求解关于的不等式． 例21．（2026·高一·湖北襄阳·期中）已知函数满足，函数． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明在上单调递减； (3)求在上的值域． 变式19．（2026·高一·天津静海·期中）二次函数满足，且 (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)求在上的最小值． 变式20．（2026·高一·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 变式21．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 变式22．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 题型 8：抽象函数单调性证明 例22．（2026·高一·四川·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 例23．（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在区间上的函数，对任意均有，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并予以证明； (3)若，解不等式. 例24．（2026·高一·云南·期中）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)求关于的不等式的解集． 变式23．（2026·高一·北京·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 变式24．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； 变式25．（2026·高一·陕西渭南·期中）已知函数对任意实数恒有，当时，，且． (1)求的值，并判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； 题型 9：二次函数闭区间最值 例25．（2026·高一·北京西城·期中）已知二次函数，若不等式的解集为 (1)求实数的值； (2)当时，求的最小值． 例26．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 例27．（2026·高一·重庆九龙坡·期中）已知二次函数的图象经过三点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值. 变式26．（2026·高一·天津·期中）已知二次函数满足，， (1)求表达式； (2)当，求最大值和最小值； (3)在上的最小值为，求实数的值. 变式27．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数 (1)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若二次函数满足，且 （i）求的解析式； （ii）若函数在上的最小值为-5，求的值. 变式28．（2026·高一·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数 (1)在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； (2)设当（）时，函数的最小值为，求的解析式. 变式29．（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 题型 10：恒成立与能成立问题 例28．（2026·高一·河北张家口·期末）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求函数在区间上的值域； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 例29．（2026·高一·天津·期末）已知二次函数的图象关于直线对称，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为4，设. (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最小值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 例30．（2026·高一·重庆江北·阶段检测）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 变式30．（2026·高一·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 变式31．（2026·高一·四川遂宁·期中）已知，其中的图象经过点和 (1)求出的解析式，判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (2)命题恒成立；命题，使得，若与中至少有一个为假命题，求的取值范围； (3)若，讨论函数的最小值（其中）． 变式32．（2026·高一·江苏苏州·期中）已知二次函数满足，，且在上的最小值为2. (1)求的解析式； (2)若在上的最小值为2，试求实数的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 1．（2026·高一·浙江杭州·期末）若命题“都成立”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·四川绵阳·阶段检测）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数在区间上是增函数，且当时，，则称为的“k倍增区间”，则（   ） A．为的“1倍增区间” B．二次函数存在“3倍增区间” C．函数存在“1倍增区间” D．若函数存在“1倍增区间”，则m的取值范围是 7．（多选题）（2026·高一·福建南平·开学考试）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 8．（多选题）（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 9．（2026·高一·上海·期末）已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 10．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 11．（2026·高一·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 12．（2026·高一·山东菏泽·期末）已知函数，其中． (1)若在上具有单调性，求的取值范围； (2)若的解集为，求的值，并根据定义证明函数在上单调递增． 13．（2026·高一·山西运城·期末）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求和的值； (2)若. （i）若函数在区间不是单调函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 14．（2026·高一·河南郑州·期末）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 15．（2026·高一·广东江门·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 16．（2026·高一·四川成都·阶段检测）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 函数的单调性 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、函数的单调性 3 知识点二、基本初等函数的单调性 6 知识点三、函数的最大（小）值 6 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：函数单调性判定 7 题型 2：函数单调性证明 9 题型 3：函数单调区间求解 12 题型 4：由单调性求参数范围 14 题型 5：单调性解不等式 17 题型 6：单调性比较大小 19 题型 7：函数最值求解 21 题型 8：抽象函数单调性证明 26 题型 9：二次函数闭区间最值 30 题型 10：恒成立与能成立问题 37 04 过关测试 44 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型 1：函数单调性判定 例1．（2026·高一·河南焦作·期末）已知函数在上有定义，设甲：在上单调递增，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于充分性，由单调递增性质显然有，充分性成立， 对于必要性，考虑，此时，但其在上不是单调递增的，必要性不成立. 故选：A 例2．已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 【答案】C 【解析】对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性， 所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误； 对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确， 对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性. 例如在和上递增，但，故D错误． 故选：C. 例3．（2026·高一·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 变式1．下列说法正确的是（   ） A．所有的函数在其定义域上都具有单调性. B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是. C．若函数为R上的减函数，则. D．若函数在定义域上有，则函数是增函数. 【答案】C 【解析】函数在其定义域上不具有单调性，故A错误； 函数在区间上是减函数，而的单调递减区间是，故B错误； 若函数为R上的减函数，因为，所以，故C正确； 函数，，满足， 而在上单调递增，在上单调递减， 在其定义域R上不是增函数，故D错误. 故选：C 变式2．（2026·高一·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解析】显然由推不出函数单调，个别情况推不出整体的单调性，不满足充分性； 反之函数在区间是严格增函数，可知，满足必要性. 即“”是“函数在区间是严格增函数”的必要不充分条件. 故选:B 变式3．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【解析】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 题型 2：函数单调性证明 例4．（2026·高一·全国·期末）已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明. 【解析】在上递减，理由如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上递减 例5．（2026·高一·上海青浦·阶段检测）证明：函数是严格增函数. 【解析】设，， 任取，且， 则， ，，， 所以，即， 所以函数在上是严格增函数. 例6．已知函数是一次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明. 【解析】（1）设一次函数， 则，解得， 所以. （2）. 可判断在上单调递减，证明如下： 任取且，则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数是上的单调减函数. 变式4．（2026·高一·贵州贵阳·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 【解析】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递减. 证明如下： 设，且， 则， 因为，所以，， 所以，则， 即，所以在上单调递减； 变式5．（2026·高一·陕西安康·期中）已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 【解析】（1）因为函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 可得，所以. （2）在区间上单调递减.证明如下： 由（1）知，函数， 任取，且， 则， 因为，可得，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 变式6．（2026·高一·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【解析】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数. 证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 题型 3：函数单调区间求解 例7．已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【解析】函数，则，解得或， 函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 例8．（2026·高三·全国·一轮复习）函数的单调递增区间为________． 【答案】和 【解析】函数中，故定义域为和， 令函数，则反比例函数在定义域和内单调递减， 在定义域和内单调递增， 的单调递增区间为和． 故答案为：和． 例9．（2026·高一·四川泸州·期中）定义．设函数，则的单调递增区间为______． 【答案】和 【解析】当即时，解得， 所以， 因为二次函数的对称轴为，开口向下，所以递增区间为， 一次函数在定义域上为递增函数， 综上，的单调递增区间为. 故答案为：和. 变式7．函数的单调递增区间是__________. 【答案】和 【解析】当时，，为双勾函数，此时单调增区间为； 当时，，为增函数，单调增区间为， 故答案为：和. 变式8．（2026·高一·山东济宁·期中）函数的单调递增区间是______ 【答案】和 【解析】 画出的图象，如图所示： 由图可知的单调增区间为和， 故答案为：和 变式9．（2026·高一·黑龙江·期中）函数的单调递增区间为________. 【答案】 【解析】由函数在时单调递增， 要使得函数单调递增，则满足，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 题型 4：由单调性求参数范围 例10．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 例11．（2026·高一·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为对任意，，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故答案为：. 例12．（2026·高一·北京·期中）已知函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】因为，即， 又为增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式10．（2026·高一·河北保定·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为函数在上单调递增， 所以或， 所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 变式11．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）函数，若对于任意，当时，都有，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】不妨设，因为对于任意， 当时，都有，即， 所以在上恒成立. 令，则当时，恒有， 即在上单调递增， 当，即时，显然符合题意， 当时，由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由题意可得，解得或. 综上，. 故答案为：. 变式12．（2026·高一·河南·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】若，则在上单调递增，满足题意； 若，易知二次函数的图象关于对称，若在上单调递增， 当，则，解得； 当，则恒成立. 综上可知. 故答案为： 变式13．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）函数在区间上单调递减，则实数a取值范围是______． 【答案】 【解析】当时，在上单调递减，满足； 当时，在上单调递减， 则，即； 综上，. 故答案为： 题型 5：单调性解不等式 例13．（2026·高一·湖南湘西·期末）已知函数在上是增函数，关于轴对称，若成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于关于轴对称，故，所以的图像关于对称， 由于函数在上是增函数，则函数在上是减函数， 由可得， 所以，故，即，解得, 故选：A 例14．（2026·高一·湖南常德·期中）定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则不等式等价于， ，， 是定义在上的增函数， ，， 是增函数，，， 不等式的解集为． 故选：B． 例15．（2026·高一·四川达州·期中）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得 即的取值范围是， 故选：A 变式14．（2026·高一·天津·期中）已知函数，若，则实数a的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上严格单调递减，且当时，， 函数在上严格单调递减，且当时，， 所以为严格减函数， 又因为， 所以，即，即， 解得或. 故选：B 变式15．（2026·高一·河南·期中）已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 变式16．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的减函数， 则不等式等价于， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：D 题型 6：单调性比较大小 例16．（2026·高一·浙江·期末）已知函数 ，且 ，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二次函数的开口向上， 由可知关于直线对称， ，在上单调递减， 所以，即. 故选：C 例17．（2026·高一·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 例18．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 变式17．（2026·高一·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 变式18．（2026·高三·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误. 故选：B 题型 7：函数最值求解 例19．（2026·高一·内蒙古通辽·阶段检测）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【解析】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递减， 证明如下： 任取，不妨设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 即，又因为，所以在上单调递减； （3）由（2）知，在单调递减， 且，，故在上的值域为. 例20．（2026·高一·广西玉林·阶段检测）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域； (3)求解关于的不等式． 【解析】（1）在区间上单调递增，理由如下： 对于，，且， 则， 因为，，且，所以，， 于是，即，故在区间上单调递增； （2）由（1）可知在上单调递增， ，， 所以在上的值域为. （3） ，要使不等式有意义，须有（即）， 由（1）得在区间上单调递增， 故，即， 解得（舍去）或， 所以或. 所以不等式的解集为或. 例21．（2026·高一·湖北襄阳·期中）已知函数满足，函数． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明在上单调递减； (3)求在上的值域． 【解析】（1）由题可得， 所以的解析式为. （2）证明：由（1）函数， 任取， 则， 因为，所以， 所以即， 所以在上单调递减； （3）由（2）可知在上单调递减， 所以， 所以在上的值域为. 变式19．（2026·高一·天津静海·期中）二次函数满足，且 (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)求在上的最小值． 【解析】（1）设二次函数解析式为且，因为，所以， 因为，所以， 整理得，所以，解得， 所以； （2）由，其图象开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，故最小值为， 而，则在上的值域为； （3）当时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，所以； 当，即时，在上单调递减，上单调递增，所以， 综上所述， 当时，， 当时，， 当时，. 变式20．（2026·高一·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【解析】（1）因为，画出其大致图象如下， （2）， 由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 值域为. 变式21．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【解析】（1）若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 变式22．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 题型 8：抽象函数单调性证明 例22．（2026·高一·四川·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 【解析】（1）令，，代入中得，， 解得； 令，代入原式中得，，取，则； 所以. （2）设，且，则. 当时，，所以. ， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）因为， 所以原不等式可化为，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以，即， 解得或. 所以该不等式的解集为. 例23．（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在区间上的函数，对任意均有，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并予以证明； (3)若，解不等式. 【解析】（1）令，代入得， 故. （2）在区间上单调递减，证明如下： 任取，且，则， 因为当时，，所以 由得 ，所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由得，即， 又，所以. 由得， 由（2）知，函数在区间上单调递减， 得解得 因此不等式的解集为. 例24．（2026·高一·云南·期中）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)求关于的不等式的解集． 【解析】（1）令.，则， 故，可得， 令，则， 当时，则，即，与题设不符， 当时，则，符合题意， 所以． （2）在上单调递减，证明如下： 因为当时，，当时，， 由（1）知， 所以， 当，即， 所以， 即在上单调递减，则； 当，则， 所以， 即在上单调递减，则， 综上，易知在上单调递减，得证． （3）由（2）知在上单调递减， 因为， 所以，即， 可得或， 所以不等式解集为． 变式23．（2026·高一·北京·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 【解析】（1）由对任意的，都有，且当时，， 令，可得，即，解得， 当时，令，其中，可得， 因为，所以， 所以当时，. （2）函数在上为单调递减函数. 证明如下：设且，则，由（1）知：， 则，即， 所以函数在上为单调递减函数. （3）由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 因为对于任意的，不等式恒成立， 所以不等式对任意上恒成立， 即不等式对任意上恒成立， 设，因为，可得，所以对任意上恒成立， 又由在上为单调递增函数， 所以，所以，即实数的取值范围为. 变式24．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； 【解析】（1）令，则，所以， 当时，， 因为， 所以， 因为，所以， 故当时， （2）在上单调递减； 任取，且，则， 令，则， ， 由已知可知，当时，，所以， 即，所以在上单调递减； 变式25．（2026·高一·陕西渭南·期中）已知函数对任意实数恒有，当时，，且． (1)求的值，并判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； 【解析】（1）令，则，所以． 令，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． （2）任取，且，则， 则，所以， 所以在上为减函数． 当时，单调递减，所以， 因为，且为奇函数， 所以， 故在区间上的最大值为6． 题型 9：二次函数闭区间最值 例25．（2026·高一·北京西城·期中）已知二次函数，若不等式的解集为 (1)求实数的值； (2)当时，求的最小值． 【解析】（1）因为的解集为， 所以，解得， 所以实数的值为. （2）因为，二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 所以； 当，即时，； 当时，在上单调递增， 所以， 所以的最小值. 例26．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 【解析】（1）（ⅰ）由题意得， 由题可知对称轴， 所以，， 所以在区间上的最大值是， 所以，即， 所以的解析式为. （ⅱ）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为 ①当时，即时，在上单调递减， 此时的最小值为， ②当时，在上单调递增， 此时的最小值为， ③当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时的最小值为， 综上，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 当时，的最小值为. （2）令，则，所以， 因为对任意，恒成立，所以恒成立， 所以， ， 所以，此时， 所以，当，，时取等号， 此时，成立， 即成立， 故的最大值为. 例27．（2026·高一·重庆九龙坡·期中）已知二次函数的图象经过三点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值. 【解析】（1）设函数解析式为， 因为二次函数的图象经过三点， 则，解得， 所以的解析式为. （2），即，可化为， 当时，恒成立，即，其中， 令， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （3）的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，则， 当，即时，， 当时，函数在区间上单调递增，则， 综上. 变式26．（2026·高一·天津·期中）已知二次函数满足，， (1)求表达式； (2)当，求最大值和最小值； (3)在上的最小值为，求实数的值. 【解析】（1）设（）， 因为，所以，则. 又， 得， 展开得， 所以，解得，， 故. （2）由（1）知， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以在上的最大值3，最小值. （3）， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 当时，在上单调递减， 此时，解得，符合题意； 当时，在上单调递增， 此时，解得，符合题意； 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时， 整理得，解得，不符合题意. 综上，或. 变式27．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数 (1)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若二次函数满足，且 （i）求的解析式； （ii）若函数在上的最小值为-5，求的值. 【解析】（1）因为不等式的解集为， 所以，2是方程的两根， 由韦达定理得：，即， 不等式转化为，即， 即，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）（i）设二次函数， 因为， 所以， 即，则，解得， 所以，又， 则，解得， 所以； （ii）， 其对称轴为， 当，即时，在上递增，则， 令，解得，满足； 当，即时，在处取得最小值， ，即， 解得或，不满足； 当，即时，在上递减，则， 令，解得，满足； 综上：的值为7或. 变式28．（2026·高一·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数 (1)在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； (2)设当（）时，函数的最小值为，求的解析式. 【解析】（1）由，函数的图象总在一次函数的图象的下方， 得在上恒成立， 函数图象开口向上，对称轴为，则函数在上单调递减， 则当时，，因此， 所以实数的取值范围为. （2）函数图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 所以． 变式29．（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【解析】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 题型 10：恒成立与能成立问题 例28．（2026·高一·河北张家口·期末）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求函数在区间上的值域； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以； 画函数的图象如图所示： （2）当时，函数在 上单调递减，在单调递增； ， 当时，函数在 单调递减，在单调递增； ； 综上所述，函数在上的最小值为 ，最大值为，故值域为 （3）当时，函数 由恒成立，化简得到当时，恒成立； 由基本不等式， 当且仅当，即 时取等号，有最小值4， 因为时，恒成立，所以； 所以实数的取值范围是. 例29．（2026·高一·天津·期末）已知二次函数的图象关于直线对称，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为4，设. (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最小值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【解析】（1）二次函数的图象关于直线对称，且在轴上截得的线段长为4， 故的零点为，故设， 而，故，故. （2）， 当即时，； 当即时，； 当时，， 故. （3）， 当时，，而，故， 而任意，总存在，使得成立， 故在上有解，故在上有解， 当时，不成立； 当时，有在上有解， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立，而， 故，故即. 例30．（2026·高一·重庆江北·阶段检测）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，函数，所以不等式化简为. 当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得， 化简得，解得或，又，所以； 当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得，无解. 综上，不等式的解集为. （2）不等式化简为，其在区间上恒成立， 所以当时，不等式为，变形为. 令，设且， 则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以在时取最大值为. 所以要使得不等式在区间上恒成立，则只需即可，即. 变式30．（2026·高一·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 变式31．（2026·高一·四川遂宁·期中）已知，其中的图象经过点和 (1)求出的解析式，判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (2)命题恒成立；命题，使得，若与中至少有一个为假命题，求的取值范围； (3)若，讨论函数的最小值（其中）． 【解析】（1）由函数，其中的图象经过点和 可得，解得，所以， 函数在上单调递减， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上单调递减 （2）因为命题恒成立，即在恒成立， 由（1）知函数在上单调递减，可得，所以， 又由，使得，则，解得， 当命题和均为真命题时，可得， 所以和中至少有一个为假命题时，可得或， 所以实数的取值范围为. （3）由（1）知在上为单调递减函数，可得， 设，则， 因为， 可得， 因为的图象开口向上，且对称轴为， 当时，即时，在单调递增，可得； 当时，即时，在单调递减，在单调递增， 可得； 当时，即时，在单调递减，可得， 综上可得：当时，；当时，； 当时， . 变式32．（2026·高一·江苏苏州·期中）已知二次函数满足，，且在上的最小值为2. (1)求的解析式； (2)若在上的最小值为2，试求实数的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1）由可知关于对称，且在上的最小值为； 故可设， 由可得，； 所以函数的解析式为； （2）由（1）可知， 设在上的最小值为 ①当时，， 此时在区间上单调递减，可得，令，解得：； ②当时，， 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得，满足条件； ③当时， 此时在区间上单调递增，，令，解得： 综上，实数的取值范围为 （3）由题知，当时，； 即对任意，使恒成立， 令，当时， 即对于，使得恒成立， 也即对于，使得恒成立， 可得， 令，所以， 因为在区间上单调递增，所以当时，； 因此可得，即实数的取值范围为 1．（2026·高一·浙江杭州·期末）若命题“都成立”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，为真命题， 则对于恒成立， 所以, 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，所以. 2．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于命题，在上有解，而为减函数， 所以当时，，解得. 对于命题，不等式恒成立，可化为在上恒成立. 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，，所以，所以. 和有且仅有一个正确，只有两种情况： ①真假，此时，解得； ②假真，此时，则. 综上，. 3．（2026·高一·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，不妨设， 则由，可得， 则，所以， 令，则，所以函数在上单调递减， 由，得，由，得， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 4．（2026·高一·四川绵阳·阶段检测）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得函数定义域为，函数是“函数”， 所以函数值域为， 又当时，时单调递增，所以， 所以. 故选：B 5．（2026·高一·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 6．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数在区间上是增函数，且当时，，则称为的“k倍增区间”，则（   ） A．为的“1倍增区间” B．二次函数存在“3倍增区间” C．函数存在“1倍增区间” D．若函数存在“1倍增区间”，则m的取值范围是 【答案】ABD 【解析】对于A：函数在单调递增，值域为，即，是的“1倍增区间”，A正确； 对于B：函数，其单调增区间是， 取，则在单调递增，值域为，即， 即二次函数存在“3倍增区间”，B正确； 对于C：在和单调递增，若存在“1倍增区间”，则（1）， 因为方程，即无实根，所以方程组（1）无解，故不存在“1倍增区间”，C错误； 对于D：函数在单调递增，若存在“1倍增区间”，则（2）， 令，则， 方程组（2）有解，即方程，也即在有两个不同的实根， 令，则，解得，D正确. 7．（多选题）（2026·高一·福建南平·开学考试）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】对于A，当时，，与集合元素互异性矛盾， 当时，解得或， 时，与集合元素互异性矛盾， 时，，符合题意，所以，故A错误； 对于B，设，则， 因为在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，故B正确； 对于C，不等式，等价于，解得或，故C正确； 对于D，因为原式为一元二次不等式，所以， 若一元二次不等式恒成立， 则有，解得：，故D错误． 8．（多选题）（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 【答案】CD 【解析】对于A，，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确. 故选：CD. 9．（2026·高一·上海·期末）已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 【答案】/ 【解析】因为两个非负实数、满足， 所以，， 所以， 令，对称轴为， 由二次函数单调性可知当时，取得最小值. 10．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为为增函数，所以，解得， 则实数的取值范围是. 11．（2026·高一·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】当时，函数在上单调递增，可得，又函数在上单调递减，可得， 由，总，使成立，可知，解得； 当时，函数在上单调递减，可得， 同理可知，解得. 综上，或. 所以实数的取值范围是. 12．（2026·高一·山东菏泽·期末）已知函数，其中． (1)若在上具有单调性，求的取值范围； (2)若的解集为，求的值，并根据定义证明函数在上单调递增． 【解析】（1）当时，即时，函数在单调递增， 当时，即时，函数在单调递减， 综上，的取值范围是． （2）由的解集为， 所以，得，，                  因此 ．               任取，且 ， 则 ， 因为，所以，所以，即． 所以在上单调递增． 13．（2026·高一·山西运城·期末）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求和的值； (2)若. （i）若函数在区间不是单调函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 【解析】（1）由题意得，，1是方程的两根， 则，解得. （2）（i）若，则. 对称轴为： 函数在区间不是单调函数， ， ， a的取值范围为. （ii）若，则， 由题知，是二次函数，则. 当时，，则不等式的解集为 当时，，则不等式的解集为 当时，，则不等式的解集为. 当时，则不等式的解集为 14．（2026·高一·河南郑州·期末）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 当，即时， 在上单调递增，无最小值，不符合题意； 当，即时， ， 当且仅当时，等号成立， 由题意得，解得. 综上所述，实数的值为2. （2）， 当，即时，， 若函数在单调递增， 则，解得， 当，即时， 若函数在单调递增， 则或， 解得， 综上，实数的取值范围为. 15．（2026·高一·广东江门·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数在区间上单调递增，开口向上，其对称轴为. 所以要满足题意，则，解得. （2）不等式变为， 化简得，因为该不等式的解集为， 所以当时，不等式变为，符合题意； 当时，要使得不等式的解集为，则， 解得. 综上，实数的取值范围为. 16．（2026·高一·四川成都·阶段检测）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【解析】（1）根据已知， 可得. （2）由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； （3）令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $