第15讲 函数的奇偶性（3大知识点+9大题型）讲义-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版）

第15讲 函数的奇偶性 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点01 函数的奇偶性概念 3 知识点02 判断函数奇偶性的常用方法 4 知识点03 关于函数奇偶性的常见结论 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：奇偶性判定与证明 6 题型 2：由奇偶性求解析式 7 题型 3：由奇偶性求值 7 题型 4：由奇偶性求参数 8 题型 5：奇函数加 M 型应用 8 题型 6：抽象函数奇偶性问题 9 题型 7：奇偶性与单调性综合 10 题型 8：奇偶性识别函数图象 12 题型 9：奇偶性与对称性综合 14 04 过关测试 17 知识点01 函数的奇偶性概念 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点02 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点03 关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 题型 1：奇偶性判定与证明 例1．（2026·高一·海南儋州·期中）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. 例2．（2026·高一·安徽六安·期中）已知函数． (1)求的定义域 (2)证明在上是减函数 (3)判断的奇偶性． 例3．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 变式1．（2026·高一·重庆渝北·期中）判断函数的奇偶性 变式2．（2026·高一·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 题型 2：由奇偶性求解析式 例4．（2026·高一·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 例5．若是上的奇函数，当时，则当时______ 例6．（2026·高一·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 变式3．（2026·高一·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 变式4．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则的解析式是_________. 题型 3：由奇偶性求值 例7．（2026·江西上饶·二模）已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 例8．（2026·高一·上海·期末）函数，为常数，若，则的值为______． 例9．（2026·高一·四川泸州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为__________． 变式5．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______ 变式6．（2026·高一·山西运城·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则______. 题型 4：由奇偶性求参数 例10．设 是定义在上的奇函数，则______ 例11．若函数是上的偶函数，则的值为______． 例12．（2026·高一·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，则____________. 变式7．（2026·高一·上海·期中）若是偶函数，则_______． 变式8．（2026·高一·安徽六安·期中）函数是偶函数，则__________. 变式9．（2026·高一·广东广州·期中）函数为偶函数，则函数的值为________ 题型 5：奇函数加 M 型应用 例13．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 例14．若对，有，若有最大值和最小值，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 例15．（2026·高一·江西景德镇·期中）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式10．（2026·高一·辽宁鞍山·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式11．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）若定义上的函数满足：对任意有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2022 B．2018 C．4036 D．4044 变式12．（2026·高一·湖南·阶段检测）若关于x的函数在上的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（    ） A． B．505 C．1010 D．2020 题型 6：抽象函数奇偶性问题 例16．（2026·高一·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 例17．（2026·高一·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 例18．（2026·高一·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 变式13．（2026·高一·上海·期中）（1）若，函数为偶函数，求的值； （2）定义在上的函数满足：对任意，都有，求证：函数是奇函数. 变式14．（2026·高一·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 题型 7：奇偶性与单调性综合 例19．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 例20．（2026·高一·广东广州·期中）已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 例21．（2026·高一·黑龙江佳木斯·开学考试）函数是定义在上的奇函数，且. (1)证明在上的单调性； (2)解关于的不等式. 变式15．（2026·高一·福建厦门·期末）已知函数是上的偶函数． (1)求函数的解析式，并用定义证明在上单调递增； (2)求不等式的解集． 变式16．（2026·高一·山东泰安·期末）已知函数. (1)根据定义研究的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 变式17．（2026·高一·福建厦门·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称. (1)用定义证明是定义域上的增函数； (2)解不等式. 变式18．（2026·高一·山东·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； (3)对，都有，求实数的取值范围． 附：． 题型 8：奇偶性识别函数图象 例22．（2026·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 例23．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 例24．（2026·高二·山西运城·期末）已知图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成. 若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式19．（2026·高一·四川南充·期中）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式20．（2026·高一·重庆·期中）函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 变式21．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型 9：奇偶性与对称性综合 例25．（2026·高一·江西宜春·期中）我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)求函数的对称中心； (2)求由函数的图象、函数的图象及围成的封闭图形的面积； (3)函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 例26．函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数. (1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心； (2)请利用函数的对称性的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明） 例27．（2026·高一·广东茂名·期中）我们知道，函数的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.类比上述推广结论，函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是_________ ；函数 图像的对称中心为______. 变式22．（2026·高一·上海浦东新·期末）已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心______. 变式23．（2026·高一·湖北武汉·期中）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则_______. 1．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 4．（2026·高三·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 6．（2026·高三·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 7．（2026·广东江门·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．（多选题）（2026·高一·江苏盐城·期末）已知函数则下列结论正确的是（    ） A．，都有 B．且，都有 C．的值域为 D．关于的方程有3个不等实数根 9．（多选题）（2026·高一·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 10．（多选题）（2026·高一·云南昭通·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．在上单调递增 11．（多选题）（2026·高一·湖南娄底·期末）设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．的值域为 C．为偶函数 D．在上单调递增 12．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，则横坐标之和__________. 13．（2026·河北雄安·三模）函数的图象的对称中心为________． 14．（2026·高一·青海海东·期末）已知为定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 15．（2026·高一·全国·期末）已知函数其中，若，则的取值范围是___________ 16．（2026·高一·安徽·开学考试）已知函数满足：当时． (1)若是偶函数，求时的解析式； (2)用定义证明在上单调递增． 17．（2026·高一·浙江·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数， (1)求证：函数在区间上单调递增； (2)解关于的不等式． 18．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 19．（2026·高一·江苏连云港·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，若对任意的，对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 20．（2026·高一·湖南长沙·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，. (1)若函数与函数的图像关于轴对称，函数与函数的图像关于中心对称，求的值. (2)求，函数的函数表达式. (3)若存在，使得，求的最小值. 21．（2026·高一·山东枣庄·期末）已知函数． (1)判断在上单调性，并利用定义证明； (2)奇函数的定义域为．当时，，求的解析式． 22．（2026·高一·广东惠州·期末）设函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数. (1)比较与的大小关系； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的判断； (3)若，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 函数的奇偶性 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点01 函数的奇偶性概念 3 知识点02 判断函数奇偶性的常用方法 4 知识点03 关于函数奇偶性的常见结论 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：奇偶性判定与证明 6 题型 2：由奇偶性求解析式 8 题型 3：由奇偶性求值 10 题型 4：由奇偶性求参数 11 题型 5：奇函数加 M 型应用 12 题型 6：抽象函数奇偶性问题 15 题型 7：奇偶性与单调性综合 18 题型 8：奇偶性识别函数图象 24 题型 9：奇偶性与对称性综合 28 04 过关测试 32 知识点01 函数的奇偶性概念 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点02 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点03 关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 题型 1：奇偶性判定与证明 例1．（2026·高一·海南儋州·期中）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. 【解析】（1）由题意，解得， 所以的定义域为； （2）为偶函数. 由（1）知：的定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数. 例2．（2026·高一·安徽六安·期中）已知函数． (1)求的定义域 (2)证明在上是减函数 (3)判断的奇偶性． 【解析】（1）由题意有，所以函数的定义域为， （2）任取，则， 因为，所以即， 所以在上是减函数； （3）函数的定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数. 例3．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【解析】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 变式1．（2026·高一·重庆渝北·期中）判断函数的奇偶性 【解析】函数有意义，，解得且， 所以函数的定义域为，该定义域关于数0不对称， 所以函数是非奇非偶函数. 变式2．（2026·高一·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【解析】（1）因为，所以． 又因为， 所以为奇函数． （2）因为函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以． 所以既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是， 对，都有． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，故为偶函数． 题型 2：由奇偶性求解析式 例4．（2026·高一·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【解析】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： 例5．若是上的奇函数，当时，则当时______ 【答案】 【解析】因为是奇函数，所以， 即当时，有． 故答案为：． 例6．（2026·高一·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 【答案】 【解析】当时，， 则当时，，有， 因为是定义域为的奇函数，所以， 故 在时的解析式是. 故答案为： 变式3．（2026·高一·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 【答案】 【解析】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 变式4．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则的解析式是_________. 【答案】 【解析】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且； 因为当时，； 所以当时，，所以； 因为； 所以的解析式是. 故答案为： 题型 3：由奇偶性求值 例7．（2026·江西上饶·二模）已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 【答案】 【解析】因为是奇函数，所以， 又为定义在上的奇函数，则，故. 例8．（2026·高一·上海·期末）函数，为常数，若，则的值为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 则， 可得，而， 得到，解得. 例9．（2026·高一·四川泸州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为__________． 【答案】 【解析】因为，所以函数的周期为， 所以， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以 变式5．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______ 【答案】1 【解析】因为，，所以， 又是定义在R上的奇函数，故， . 变式6．（2026·高一·山西运城·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则______. 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，又，所以， 由当时，， 所以，解得. 故答案为： 题型 4：由奇偶性求参数 例10．设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【解析】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 例11．若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【解析】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 例12．（2026·高一·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，则____________. 【答案】0 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 此时，，则，故是奇函数， 故. 故答案为： 变式7．（2026·高一·上海·期中）若是偶函数，则_______． 【答案】1 【解析】由题设，函数定义域为R，且恒成立， 所以，即恒成立， 则对于 ，恒有或， 若，则，不合题意； 故，所以. 故答案为：1 变式8．（2026·高一·安徽六安·期中）函数是偶函数，则__________. 【答案】 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以， 解得：. 此时，符合题意. 故 . 故答案为： 变式9．（2026·高一·广东广州·期中）函数为偶函数，则函数的值为________ 【答案】0 【解析】因为函数为偶函数， 则，可得， 整理可得，结合x的任意性可得. 故答案为：0. 题型 5：奇函数加 M 型应用 例13．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 例14．若对，有，若有最大值和最小值，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】函数的定义域由决定，为. 令，则，，即为奇函数， 令，可得，令，则，可得， 因此，. 设在上的最大值为，最小值为，则存在使得. 由，及，可得，即. 又存在使得，由，及，可得，即. 综上，函数的最大值与最小值之和为6. 故选：B． 例15．（2026·高一·江西景德镇·期中）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【解析】， 令，因为是奇函数，所以， ，所以函数是奇函数， 所以函数的最大值为，最小值为，由奇函数得性质可得，， 解得. 故选：A. 变式10．（2026·高一·辽宁鞍山·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】， 令，则其定义域为，又， 所以为奇函数，则， 所以，则. 故选：B. 变式11．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）若定义上的函数满足：对任意有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2022 B．2018 C．4036 D．4044 【答案】D 【解析】对任意有，则令， 令， 令，则，故为上的奇函数， 故. 故选：D. 变式12．（2026·高一·湖南·阶段检测）若关于x的函数在上的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（    ） A． B．505 C．1010 D．2020 【答案】B 【解析】函数， 令， 则， 所以为奇函数， 因为关于的函数在，上的最大值为，最小值为，且， 则的最大值为，最小值为， 所以， 则． 故选：B 题型 6：抽象函数奇偶性问题 例16．（2026·高一·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【解析】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 例17．（2026·高一·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【解析】（1）证明：根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. （2）证明：任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 例18．（2026·高一·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 【解析】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数. （3）不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 变式13．（2026·高一·上海·期中）（1）若，函数为偶函数，求的值； （2）定义在上的函数满足：对任意，都有，求证：函数是奇函数. 【解析】（1）由于， 由于为偶函数，故，则，则， （2）函数为奇函数.证明如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 变式14．（2026·高一·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【解析】（1） 取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而， 所以在上单调递减. 题型 7：奇偶性与单调性综合 例19．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【解析】（1）函数为奇函数，理由如下： 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数. （2）证明：取，规定， 则 因为，所以， 所以，即， 由，所以函数在上单调递减. （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由， 所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或， 解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 例20．（2026·高一·广东广州·期中）已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； （2）在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； （3）由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 例21．（2026·高一·黑龙江佳木斯·开学考试）函数是定义在上的奇函数，且. (1)证明在上的单调性； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得； 又，则，解得； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，所以. 设， 则. 又，则，，，， 则，即， 则函数在上为增函数. （2）由（1）知为奇函数且在上为增函数， 所以，即，也即， 所以，解得， 故不等式的解集为. 变式15．（2026·高一·福建厦门·期末）已知函数是上的偶函数． (1)求函数的解析式，并用定义证明在上单调递增； (2)求不等式的解集． 【解析】（1）由函数是上的偶函数，得对任意恒成立， 即对任意恒成立，整理得对任意恒成立， 所以，此时函数的解析式为； 任取，且， 则， 由，得，，， 因此，则，即， 故函数在上单调递增. （2）由（1）知，定义在上的偶函数在上单调递增，则在上单调递减， 由，则得，解得. 故原不等式的解集为. 变式16．（2026·高一·山东泰安·期末）已知函数. (1)根据定义研究的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）设，且， ， 因为，且， 所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减； （2）因为函数定义域为关于原点对称， ， 所以函数是定义在上的奇函数， 所以，得， 由（1）可得，解得，即， 所以实数的取值范围是. 变式17．（2026·高一·福建厦门·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称. (1)用定义证明是定义域上的增函数； (2)解不等式. 【解析】（1）由题意可知：，解得，则， 且，可知是定义在上的奇函数， 所以符合题意，即， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在定义域上单调递增. （2）因为是定义在上的奇函数，且， 则， 又因为在定义域上单调递增，则，解得， 所以不等式解集为. 变式18．（2026·高一·山东·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； (3)对，都有，求实数的取值范围． 附：． 【解析】（1） , 因为为奇函数，， 所以， 所以，且，解得， 所以函数的对称中心. （2）由（1），在上单调递增. 证明如下： 设， 则 ， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（1）知， 所以，， 所以， 即， 所以， 因为单调递增，所以对成立， 即对成立， 所以对，，令，则恒成立， 由知，当时，， 所以. 题型 8：奇偶性识别函数图象 例22．（2026·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 例23．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图乙知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数， 对于A，当时，，甲在y轴右侧图象与图乙的不相同，不合，故A错； 对于B：时，，图乙在x轴下方有图象，故B错． 对于D：当时，，其图象在y轴左侧与图乙的不相同，不合，故D错； 故选:C 例24．（2026·高二·山西运城·期末）已知图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成. 若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象知，，， 显然函数是奇函数，则， 因此，函数的图象与的图象没有公共点，而的图象是的图象向右平移2个单位而得， 于是得，当且仅当，解得，而，即有， 所以正实数的取值范围为. 故选：D 变式19．（2026·高一·四川南充·期中）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数为偶函数，函数为奇函数，补全这两个函数的图象如下图所示： 因为，则或， 由图可得，不等式组的解集为， 不等式组的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 变式20．（2026·高一·重庆·期中）函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，定义域为， 故函数是偶函数， 排除选项A；又，排除C,D, 故选：B. 变式21．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B选项； 当时，，得，故排除A选项； 又，排除D选项， 故选：C. 题型 9：奇偶性与对称性综合 例25．（2026·高一·江西宜春·期中）我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)求函数的对称中心； (2)求由函数的图象、函数的图象及围成的封闭图形的面积； (3)函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1）假设的图象存在对称中心， 则的图象关于原点中心对称， 因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立， 所以，解得， 所以的图象存在对称中心. （2）时，，如图，函数的图象、函数的图象及围成的封闭图形的面积， 函数关于对称，轴左侧的阴影和轴以及轴右侧，函数的图象围成的面积相等，这样所求面积转化为轴，，和围成的矩形的面积，. （3）函数在区间上单调递减，其在区间上值域为， 由题可知，，即对恒成立. 由得或； 即或对恒成立， 所以或，故的取值范围为. 例26．函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数. (1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心； (2)请利用函数的对称性的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明） 【解析】（1）设的图象的对称中心为，则为奇函数， 所以，即， 所以， 即， 整理得，（对函数定义域内的任意都成立）， 所以，解得， 所以函数的图象的对称中心为； （2）由（1）知函数图象的对称中心为， 所以， 则， 又，所以； （3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是. 例27．（2026·高一·广东茂名·期中）我们知道，函数的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.类比上述推广结论，函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是_________ ；函数 图像的对称中心为______. 【答案】 是偶函数 (-1，2) 【解析】若函数的图像关于直线成轴对称图形，则有 所以为偶函数. 若为偶函数，则有， 所以函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件为是偶函数. 设函数图像的对称中心为，则函数为奇函数 即为奇函数 所以解得 故答案为：(1) 是偶函数  (2) (-1，2) 变式22．（2026·高一·上海浦东新·期末）已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心______. 【答案】 【解析】根据题意，函数为定义在上的奇函数，其对称中心为， 将的图象向右平移1个单位得，再向下平移2个单位可得的图象， 所以函数的图象的一个对称中心为； 故答案为：. 变式23．（2026·高一·湖北武汉·期中）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则_______. 【答案】16 【解析】为奇函数 函数关于点对称 函数关于点对称 与图像的8个交点关于点对称 ,,, 可得 同理可知 故答案为： 1．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 2．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数图象上任意一点的坐标为. ∵ 的图象与的图象关于点成中心对称， ∴ 点关于点的对称点为，且该点在的图象上， ∴ ，即. ∵ 的定义域是，∴ ， 即 ，解得 ，故的定义域为. 对于函数，则需满足， 即 ，解得 ∴ 的定义域为，即，， ∴ .故选C. 3．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【解析】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 4．（2026·高三·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 5．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 6．（2026·高三·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【解析】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 7．（2026·广东江门·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又周期为2，故，所以， 又，所以， 所以，所以. 8．（多选题）（2026·高一·江苏盐城·期末）已知函数则下列结论正确的是（    ） A．，都有 B．且，都有 C．的值域为 D．关于的方程有3个不等实数根 【答案】ABD 【解析】因为恒成立，所以函数的定义域为. ，，且，所以，所以A正确. 设且， ， 因为，且，所以，. 所以，即，所以函数在上单调递增. 由A知，函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以在上单调递增. 所以函数在上单调递增. 且，都有与同号，所以B正确. 当时，； 当时，；. 所以的值域为.所以C错误. 关于的方程等价于，即，即. 所以或，所以关于的方程有3个不等实数根，分别为，所以D正确. 故选：ABD. 9．（多选题）（2026·高一·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【答案】AB 【解析】对于A选项，因为函数满足， 令可得，解得， 令，则，即，故函数为奇函数，A对； 对于B选项，任取、且， 则， 故函数是上的增函数，B对； 对于C选项，因为，故，， 故，C错； 对于D选项，由得， 因为函数是上的增函数，则，解得， 故的解集为，D错. 故选：AB. 10．（多选题）（2026·高一·云南昭通·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．在上单调递增 【答案】ACD 【解析】由图可知，的定义域为，值域为， 的图象关于原点对称，所以为奇函数， 在上单调递增，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 11．（多选题）（2026·高一·湖南娄底·期末）设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．的值域为 C．为偶函数 D．在上单调递增 【答案】BC 【解析】在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示： 根据题中定义，得： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 画出函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可以判断： 函数有最小值为，无最大值，函数的值域为； 图形关于纵轴对称，是偶函数，函数在不单调递增. 故选：BC 12．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，则横坐标之和__________. 【答案】 【解析】因为是偶函数，所以函数的图象关于纵轴对称， 又因为函数向右平移2个单位得到函数的图象， 所以函数的图象关于直线对称， 因为， 所以函数也关于直线对称， 所以， 故答案为： 13．（2026·河北雄安·三模）函数的图象的对称中心为________． 【答案】 【解析】设函数的图象的对称中心为， 则有， 即， 整理得， 则有，解得， 故函数的图象的对称中心为. 14．（2026·高一·青海海东·期末）已知为定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】由题设在上单调递减，且， 所以，则且，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 15．（2026·高一·全国·期末）已知函数其中，若，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】由函数，其中， 当时，则且， 则， ，所以， 当时，则且， ，所以， ，所以， 综上可得，当时，函数满足， 所以函数的图像关于对称， 又由二次函数的性质，可得函数在单调递减，在单调递增， 画出函数的图像，如图所示， 则不等式，即为， 所以，即 整理得，解得或， 因为，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（2026·高一·安徽·开学考试）已知函数满足：当时． (1)若是偶函数，求时的解析式； (2)用定义证明在上单调递增． 【解析】（1）当是偶函数，可得， 所以当时，，则，即， 所以时，. （2）设，则， 由，可得， 所以，即， 所以在上单调递增. 17．（2026·高一·浙江·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数， (1)求证：函数在区间上单调递增； (2)解关于的不等式． 【解析】（1）因为为奇函数， 则， 设任意的，满足， 则， 因为，，所以， 故函数在区间上单调递增． （2）由， 由函数定义域得， 由函数单调性得， 故的解集为． 18．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由题意知是定义在R上的偶函数， 当时，； 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）由函数，所以函数的单调递增区间为和 又在区间上单调递增， 故，所以. 19．（2026·高一·江苏连云港·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，若对任意的，对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，整理得到，所以，则， 又，所以，解得. 所以，. （2）由（1）可知. 函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，则，，， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知，又，，所以函数在上的值域为. 可将问题转化为，当时，恒成立. 若，则在区间上为增函数，由，得到， 若，则，此时在上恒成立， 若，则在上为减函数，由，得到. 综上可知：，即实数的取值范围为 20．（2026·高一·湖南长沙·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，. (1)若函数与函数的图像关于轴对称，函数与函数的图像关于中心对称，求的值. (2)求，函数的函数表达式. (3)若存在，使得，求的最小值. 【解析】（1）由函数与函数的图象关于成中心对称，则，即； 由函数与函数的图象关于成轴对称，则，即， 由，则 所以. （2）当时，，则， 令，即，则； 当时，，则， 令，即，则. 综上所述，. （3）当时，，易知函数的最大值为， 由，则函数在的最大值为，其中， 易知，，即， 则，即数列单调递增， 由，，则当时，， 令，化简可得，解得. 综上所述，的最小值为. 21．（2026·高一·山东枣庄·期末）已知函数． (1)判断在上单调性，并利用定义证明； (2)奇函数的定义域为．当时，，求的解析式． 【解析】（1）函数在上单调递减. 证明：任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以函数在上单调递减. （2）因为是定义域为上的奇函数， 所以， 当时，， 当时，，此时， 由，所以， 即当时，， 所以. 22．（2026·高一·广东惠州·期末）设函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数. (1)比较与的大小关系； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的判断； (3)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，函数在上是减函数，所以. （2）函数在上是增函数，证明如下： 任取，则， 因为函数在上是减函数， 故，又因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 所以函数在上是增函数. （3）由，即， 因为函数是定义在上的偶函数， 则， 又因为函数在上是减函数， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $