4.1 相交线 课件 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦相交线核心内容，涵盖对顶角、垂线、同位角等知识点。通过交通公路抽象相交线、小马过河选路线等情境导入，搭建从现实到数学模型的学习支架，衔接角的位置与数量关系，引导学生逐步建构知识体系。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，如公路相交抽象对顶角；通过合作探究与推理过程发展数学思维，如对顶角相等的推证；结合跳远测量等实例强化数学语言表达。助力学生直观理解概念，教师教学逻辑清晰，提升课堂效率。

4.1 相交线 1.对顶角 1．理解对顶角的概念，能在图形中辨认对顶角． 2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程． 3．会用对顶角的性质进行有关的推理和计算． 学 习 目 标 如今，交通越来越便利，路与路之间相互交汇、交错，然后各自通向不同的远方．从两条相交的公路中，可以抽象出我们今天将要学习的相交线．让我们一起来认识它们吧． 情 境 导 入 我们可以用不同的字母表示不同的直线.如图两条直线AB、CD都经过同一个点O,我们就说这两条直线相交于点O,点O是它们的交点.可以说成“直线AB、CD相交于点O”. A D C B O 讲 授 新 课 两条直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4.我们已经知道，有些角之间存在一定的关系，例如： 角 ∠1和∠2 ∠2和∠3 ... 位置关系 相邻 相邻 ... 数量关系 互补 互补 ... ☀归纳 如果两个角既相邻又互补，那久这两个角互为邻补角.如∠1与∠2. 讲 授 新 课 从位置关系与数量关系上看，图中还有哪些角之间存在某种关系呢?看一看，想一想，将你的发现填入下面的表中： 角 位置关系 数量关系 相对 相等 相对 相等 ∠1和∠3 ∠2和∠4 我们可以直观地发现图中的∠1与∠3是相对的两个角，而且似乎相等. 讲 授 新 课 ∠1 和∠3具有相同的顶点，且∠1的两边OA、OC分别与∠3的两边OB、OD 互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角. ∠2 和 ∠4 也是对顶角. 射线OA的反向延长线是指从点A到点O方向延长得到的一条射线，即射线OB. 讲 授 新 课 例1 如图，∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度？图中存在哪些相等关系？ 解：∠2 = 180°-∠1 = 180°-30°= 150°， ∠3 = 180°-∠2 = 180°-150°= 30°， ∠4 = 180°-∠1 = 180°-30°= 150°， 由此，我们得到∠1 =∠3，∠2 =∠4. 典 例 精 析 其实，对于任意两条直线相交形成的对顶角，由于它们都有一个相同的补角，所以它们是相等的. 例如，图中的∠1、∠3都与∠2互补，即 ∠1+∠2=180°,∠3+∠2=180°. 因此∠1=∠3. 同理∠2=∠4. ☀归纳 于是我们得到对顶角的性质： 对顶角相等. 新 知 小 结 ☀注意 1.互为对顶角的两个角满足的条件: ①有一个公共顶点； ②一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线． 2.对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角． 3.对顶角反映的是两个角的位置关系，两条相交直线形成2对对顶角． 新 知 小 结 例2 如图，直线 AB、CD 相交于点 E，∠AEC = 50°，求∠BED 的度数. 解 因为直线AB、CD相交于点E， 所以∠AEC与∠BED是对顶角. 根据对顶角相等，得 ∠BED = ∠AEC = 50°. 新 知 小 结 1. 下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(　　) D A B C D 随 堂 检 测 2. 下列说法正确的是(　　) A．有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角 B．两条直线相交所形成的四个角中，任意两个角都是对顶角 C．两个角有公共顶点，且两边互为反向延长线，这两个角是对顶角 D．两个角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角 C 随 堂 检 测 3. 如图是对顶角量角器，它测量角的原理是(　　) A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 B 随 堂 检 测 4. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠1＋∠2＝80°， 则∠1＝ (　　) A．45° B．35° C．40° D．30° C 随 堂 检 测 15 5.如图，已知直线AB，CD，MN相交于点O，∠1＝22°， ∠2＝46°，求∠3的度数． 解 因为∠1＝22°，∠2＝46°， 所以∠BOC＝180°－22°－46°＝112°， 所以∠3＝∠BOC＝112°. 随 堂 检 测 16 定义 对顶角 性质 对顶角相等 课 堂 总 结 4.1 相交线 2. 垂线 1.理解垂线的概念，掌握垂线的基本事实； 2.掌握垂直平分线的定义； 3.掌握垂线段及点到直线的距离，并会应用解决问题． 学 习 目 标 如图所示，背着沉重货物的小马要过河，它有3条线路可以走，选哪一条路走的路程最少呢？睿智的你能帮小马选出最近的路吗？ 情 境 导 入 ⇒ O D B A C ① A B O C D ② ☀ 如图①,直线AB与CD相交于点O,我们将直线CD绕着点O旋转，使∠BOD为直角(如图②所示).当两条直线AB、CD所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线AB、CD互相垂直,记作“AB ⟂CD”,它们的交点O 叫做垂足.我们把其中的一条直线叫做另一条直线的垂线. 讲 授 新 课 在日常生活中，经常可以看到线线互相垂直的图形. 讲 授 新 课 垂线知识详解： （1）垂线是直线而不是线段或射线: 遇到线段与射线的垂直问题，都是指它们所在的直线互相垂直． （2）推理格式：如图，因为 AB⊥CD， 所以∠AOC=∠COB=∠BOD =∠AOD = 90°. 反过来：因为∠AOC = 90°，所以AB⊥CD. （3）平面内两直线的位置关系: ①相交；②平行；③重合．其中，垂直是相交的特殊情况，即两条相交直线的夹角为直角． A B O C D 拓 展 提 升 1.经过直线AB外一点P,按如图所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画多少条呢? 1条. 2.如图,你能经过直线AB上一点P,画出垂直于直线AB的直线吗?这 样的垂线能画多少条呢? 1条. 合 作 探 究 ☀归纳 由上述操作可以得到关于垂线的一个基本事实： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 合 作 探 究 对于线段的垂线，有一种特殊且重要的情况.如图,直线CD经过线段AB的中点O,并且垂直于线段AB,则有AO=BO,AB⊥CD.我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.如图所示的直线CD就是线段AB的垂直平分线. 垂直平分线又可称为中垂线. 讲 授 新 课 在如图所示的方格纸中，点A是直线 l 外一点，AB与直线l垂直，点B为垂足 . 点A与直线 l 上各点的距离长短不一，我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线 l 的垂线段. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 例如，线段AB的长度就是点A到直线 l 的距离. 讲 授 新 课 体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？ 答：测量落脚点到起跳线的垂线段的长度来决定跳远的成绩.原因是直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短. 思 考 如图，小海龟位于图中点A处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 随 堂 练 习 例 如图①所示，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上． （1）画直线 DE⊥OB; （2）画直线 DF⊥OA，垂足为F． 解（1）如图②所示，直线DE为所求作的直线. （2）如图②所示，直线DF为所求作的直线. 典 例 精 析 过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足并不一定在线段或射线上，也可能在射线的反向延长线或线段的延长线上. 新 知 小 结 1. 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°， 则AB ________ CD；若AB⊥CD， 则∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝________． ⊥ 90° A B C D O 随 堂 检 测 2．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°16′，则∠2的度数是(　　) A．35°44′ B．34°84′ C．34°74′ D．34°44′ D 返回 目录 3．如图，点A、O、B在同一条直线上，∠1＝35°，∠2＝55°，则OC、OD的位置关系是________． 垂直 随 堂 检 测 4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，OA平分∠EOD，则∠BOD的度数为________． 135° 5．过点P画直线AB的垂线，三角尺放法正确的是(　　) C A B C D 随 堂 检 测 34 6.下列说法错误的个数是(　　) ①一条直线的垂线只有一条； ②一条直线的垂线有无数条； ③过一点画一条直线的垂线只能画一条． A．0 B．1 C．2 D．3 B 随 堂 检 测 7．如图，分别过点C画线段AB的垂线． 解：如图． 随 堂 检 测 36 垂线的定义 垂线 基本事实 垂线段及点到直线的距离 垂直平分线 课 堂 总 结 4.1 相交线 3.同位角、内错角、同旁内角 1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念； 2.结合图形识别同位角、内错角、同旁内角； 学 习 目 标 我们知道，两条直线相交，可以得到四个角.如图，直线 a、b 相交，得到∠1、∠2、∠3、∠4.在这些角中，有的是相对且相等的，有的是相邻且互补的. 试分别指出相等的角和互补的角. 相等的：∠1=∠3；∠2=∠4. 互补的：∠1与∠2互补；∠2与∠3互补； ∠3与∠4互补；∠4与∠1互补. a b 1 2 4 3 情 境 导 入 而在一个平面内，一条直线 l 与两条直线 a、b 分别相交于点 P、Q，这可以说成“直线 l 分别截直线 a、b于点 P、Q”.两条直线被另一条直线所截，可得八个角. a b l P Q 讲 授 新 课 如图，直线 l 截直线 a、b，得到 ∠1，∠2，…，∠8. 从位置关系上看，这些角有的是对顶角，有的是相邻的角；从数量关系上看，对顶角相等，相邻的角互补. 那么除此之外，这八个角中还存在哪些关系呢？ a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 你会发现，在一般情况下，似乎没有其他的相等或互补关系，你也会发现，从位置关系上看，似乎还存在某些关系. 合 作 探 究 从直线 l 来看，∠1 与∠5 处于哪个位置？ 从直线 a、b来看，∠1与∠5又处于哪个位置？ a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 图中的 ∠1 与∠5 的位置有什么关系呢？ 答：图中的∠1 与∠5均处于直线 l 的左侧，且分别在直线a、b的上方. 思 考 a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 ☀归纳 我们可以发现，∠1 与∠5 处于直线 l 的同一侧，且分别在直线 a、b 的同一方. 这样位置的一对角叫做同位角. ☀思考 图中，∠2与∠6也是同位角，除此之外，同位角还有哪些角？ ∠3与∠7，∠4与∠8是同位角. 新 知 小 结 a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 ☀归纳 ∠3 与∠5 处于直线 l 的 ，直线 a、b 的 . 这样位置的一对角叫做内错角. ☀思考 图中的 ∠3 与∠5 的位置和同位角∠1与∠5相比，有什么一样？有什么不一样？ 两侧 中间 图中内错角还有________________. ∠4与∠6 新 知 小 结 a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 ☀归纳 ∠4 与∠5 处于直线 l 的 ，直线 a、b 的 . 这样位置的一对角叫做同旁内角. 图中的 ∠4 与∠5 的位置和同位角、内错角相比，又有什么一样？有什么不一样？ 同一侧 中间 图中同旁内角角还有________________. ∠3与∠6 合 作 探 究 在图中，∠1是直线 a、b 相交所成的一个角，用量角器量出∠1 的度数；画一条直线 c，使直线 c 与直线 b 相交所成的角中有一个与∠1为一对同位角，且这对同位角的度数相等. 随 堂 练 习 例1 如图，指出图中的同位角、内错角、同旁内角. 解: 同位角:∠1与∠B，∠2与∠C， ∠3与∠A，∠4与∠A； 内错角: ∠1与∠4，∠2与∠3; 同旁内角:∠1与∠A ，∠1与∠2，∠2与∠A ，∠3与∠B，∠3与∠4，∠4与∠C，∠B 与∠A ，∠C 与∠A ，∠B 与∠C． 典 例 精 析 1．填空 如图，直线a，b被直线c所截，那∠1的同位角是___________. ∠2的内错角是___________. ∠3的同旁内角是_________. a b c 1 2 3 4 5 ∠4 ∠5 ∠5 随 堂 检 测 2.数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)． 从左至右依次表示(　　) A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、同旁内角、内错角 C．内错角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 D 随 堂 检 测 3．如图，请写出4对同旁内角． 解：∠A与∠B，∠A与∠ACB， ∠A与∠ACE，∠ACB与∠B.(答案不唯一) D E C A B 随 堂 检 测 同位角 同位角、内错角、同旁内角 在两条直线同一方，且在第三条直线的同侧 在两条直线之间，且在第三条直线的两侧 内错角 同旁内角 在两条直线之间，且在第三条直线的同侧 课 堂 总 结 $