第四章 第3节 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角恒等变换，通过基础巩固-中档综合-能力提升三层设计，实现从单一公式应用到综合问题解决的递进，适配一轮复习知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|和差倍角公式直接应用|单选1-5、填空10，如sin47°sin103°+sin43°cos77°直接用正弦和角公式，强化运算能力| |中档|公式变形与多知识点综合|单选6-7、多选8-9、填空11-12，如结合韦达定理求tan2α（填空12），培养推理意识| |综合|实际情境与函数综合应用|解答13-14，如锐角α,β的cosβ求解（解答13），提升模型意识与应用能力|

第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 一、单选题 1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　) A.－ B. C.－ D.1 2.(2026·温州模拟)已知tan＝2，则tan θ＝(　　) A.3 B.2 C. D. 3.(2026·承德调研)已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　) A.－ B. C.－ D. 4.(2026·北京朝阳区模拟)已知sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝(　　) A.－ B. C. D.1 5.(2026·蚌埠模拟)＝(　　) A. B. C. D. 6. 已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A. B. C. D. 7.计算:＝(　　) A.－ B. C.－ D. 二、多选题 8.下列等式成立的有(　　) A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1 9.已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　) A.tan α＝－ B.sin 2α＝ C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－ 三、填空题 10.化简:(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝　　　　.  11.(2026·长沙模拟)若cos，α∈，则cos α＝　　　　.  12.(2026·开封质检)已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α＝　　　　.  四、解答题 13.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.求: (1)sin(α－β)的值; (2)cos β的值. 14.已知函数f(x)＝2cos，x∈R. (1)求f(π)的值; (2)若f，α∈，求f(2α)的值. 第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 一、单选题 1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　) A.－ B. C.－ D.1 答案　B 解析　sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77° ＝cos 43°sin 77°＋sin 43°cos 77° ＝sin(77°＋43°)＝sin 120°＝. 2.(2026·温州模拟)已知tan＝2，则tan θ＝(　　) A.3 B.2 C. D. 答案　C 解析　由题意得，＝2，解得tan θ＝. 3.(2026·承德调研)已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　D 解析　因为α是第三象限角，且cos α＝－， 所以sin α＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××. 4.(2026·北京朝阳区模拟)已知sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝(　　) A.－ B. C. D.1 答案　B 解析　由sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝3， 整理得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝3， 所以cos(α－β)＝. 5.(2026·蚌埠模拟)＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　＝cos 15° ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝. 6. 已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为sin θ＋sin ＝sin＋sin ＝sincos －cossin ＋ sincos ＋cossin ＝2sincos sin＝1， 所以sin. 7.计算:＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　B 解析　 ＝ ＝. 二、多选题 8.下列等式成立的有(　　) A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1 答案　BC 解析　对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误; 对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确; 对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确; 对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误. 9.已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　) A.tan α＝－ B.sin 2α＝ C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－ 答案　AC 解析　cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α) ＝sin2α＝， 因为α∈， 所以sin α＝，cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－， sin 2α＝2sin αcos α＝－， cos 2α＝1－2sin2α＝， tan 2α＝＝－. 三、填空题 10.化简:(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝　　　　.  答案　2 解析　由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°) ＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°， 又tan 20°＋tan 25° ＝tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°) ＝1－tan 20°tan 25°， 所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°) ＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25° ＝2. 11.(2026·长沙模拟)若cos，α∈，则cos α＝　　　　.  答案　 解析　因为α∈， 所以α＋∈， 由cos可得sin ＝， 所以cos α＝cos ＝ ＝. 12.(2026·开封质检)已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α＝　　　　.  答案　1 解析　由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β) ＝－5，且tan(α＋β)tan(α－β)＝6， 则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝＝1. 四、解答题 13.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.求: (1)sin(α－β)的值; (2)cos β的值. 解　(1)因为α，β∈，所以－<α－β<. 又因为tan(α－β)＝－<0， 所以－<α－β<0， 且sin(α－β)＝－cos(α－β)， 又sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1， 解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－. (2)由(1)可得cos(α－β)＝. 因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝. 所以cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝××. 14.已知函数f(x)＝2cos，x∈R. (1)求f(π)的值; (2)若f，α∈，求f(2α)的值. 解　(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2×＝－. (2)因为f＝2cos＝－2sin α ＝，所以sin α＝－. 又α∈， 所以cos α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝. 所以f(2α)＝2cos ＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin ＝2××＋2××. 学科网（北京）股份有限公司 $