第10讲 有理数的混合运算（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固）高效提优讲义2026-2027学年六年级数学沪教版五四制

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理乘方的定义与注意事项，明确混合运算“括号-乘方-乘除-加减”的顺序，衔接十进制与二进制互化方法，涵盖自定义运算规则及实际应用，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以思维导图总览知识体系，通过5大核心考点精讲（含乘方辨析、二进制转换、自定义运算等典例），培养学生抽象能力与运算能力。结合行程、费用等实际问题，强化应用意识，随堂检测与课后巩固助力课中教学效果提升及课后查漏补缺。

第10讲 有理数混合运算（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握有理数混合运算的法则 —— 能正确确定运算顺序，熟练进行含乘方、乘除、加减的混合计算。 · 理解乘方与乘法的意义 —— 能区分“n个相同因数相乘”与“n个相同加数相加”，并灵活转化。 · 掌握十进制与二进制的互化方法 —— 理解“逢几进一”的计数原理，能按权展开进行转换。 · 能正确计算自定义运算 —— 根据给定的新运算规则，代入数值并按有理数运算法则求解。 · 运用混合运算解决实际问题 —— 能结合生活情境（行程、费用、统计等）列出算式并准确计算。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 有理数的乘方 定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方，记作 an，读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”。 · 底数：a —— 相同的因数。 · 指数：n —— 因数的个数。 · 幂：an 的结果。 an = a × a × … × a （ n 个） 注意事项： · 当底数是 负数 或 分数 时，必须加括号，如 (−2)3、122。 · −an 与 (−a)n 含义不同：−an 表示 an 的相反数；(−a)n 表示 n 个 −a 相乘。 · 任何非零数的 0 次方 等于 1（a0 = 1，a ≠ 0）。 ☆ 2. 有理数的混合运算顺序 有理数混合运算遵循以下优先级（从高到低）： 1. 括号：先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 2. 乘方：计算所有乘方运算。 3. 乘除：按从左到右的顺序计算乘法和除法。 4. 加减：按从左到右的顺序计算加法和减法。 运算律简化： 在混合运算中，合理运用 加法交换律、结合律 和 乘法交换律、结合律、分配律 可使计算更简便。 ☆ 3. 十进制与二进制 · 十进制：逢十进一，使用数码 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。 如：2025 = 2×10³ + 0×10² + 2×10¹ + 5。 · 二进制：逢二进一，使用数码 0,1。 如：二进制 1101 = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 13（十进制）。 · 转换方法：将二进制数从右向左，第 k 位（从0开始）的数字乘以 2k，再求和。 11011= 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰= 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27 ( 1×2 ) ☆ 4. 自定义运算 题目中会给出一种新的运算符号（如 ※、⊕、⊗ 等）及其对应的运算法则。解题时，只需 将给定的数值代入法则，按照有理数的常规运算顺序计算即可。 · 关键：准确理解新运算的规则，注意括号和运算顺序。 · 常见形式：a※b = ab − a + b，或分段函数形式的定义。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/说明 注意事项 乘方 an 表示 n 个 a 相乘，a 为底数，n 为指数。 负数或分数作底数时需加括号；−an 与 (−a)n 不同。 混合运算顺序 括号 → 乘方 → 乘除 → 加减（同级从左到右）。 灵活运用运算律（交换、结合、分配）简化计算。 十进制与二进制 十进制逢十进一；二进制逢二进一。按权展开可相互转换。 二进制转十进制：从右向左第 k 位 × 2k 求和。 自定义运算 根据题目给出的新运算规则代入数值计算。 注意运算顺序，先算括号内的新运算。 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】有理数的乘方与混合运算 第1～7题 方法总结： · 合并同类项：相同底数、相同指数的项可以合并（如 4³ + 4³ + 4³ + 4³ = 4 × 4³ = 4⁴）。 · 乘方与乘法区分：n 个相同加数相加 → n × a；n 个相同因数相乘 → an。 · 含绝对值的运算：先算绝对值，再算乘方，最后算乘除加减。 · 整体代入：利用相反数、倒数、绝对值等关系整体代入求值。 1．（2026•厦门校级模拟）下列与算式43+43+43+43的运算结果相等的是（　　） A．44 B．34 C．47 D．412 【分析】先合并同类项，再用同底数幂的乘法公式计算即可． 【解答】解：43+43+43+43 ＝（1+1+1+1）×43 ＝4×43 ＝44； 故选：A． 【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则和同底数幂相乘的法则． 2．（2026•安州区开学）小亮看了一本书的，正好看了35页，这本书有（　　）页． A．63 B．175 C．315 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法．把这本书的总页数看成单位“1”，它的对应的数量是35页，由此用除法求出这本书的总页数． 【解答】解：把这本书的总页数看成单位“1”，它的对应的数量是35页可得： （页）， 所以这本书一共有63页． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，关键是找出单位“1”． 3．（2025秋•南阳月考）计算的结果是（　　） A．2m+3n B．2m+3n C．m2+3n D．2m+n3 【分析】利用乘方的定义，乘法的定义列出代数式，即可解答． 【解答】解：根据乘方的定义，乘法的定义列出代数式可得： m个2相加＝2×m＝2m，n个3相乘＝3n， ∴原式 ＝ 2m+3n． 故选：B． 【点评】本题考查乘方、乘法的定义，熟练掌握乘方的定义是解题的关键． 4．（2025秋•烟台期末）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（　　） A．x＝1，y＝4 B．x＝1，y＝﹣4 C．x＝2，y＝1 D．x＝﹣2，y＝3 【分析】根据题意逐项判断即可． 【解答】解：A．当x＝1，y＝4时，x2﹣y2＝12﹣42＝﹣15，故本选项不符合题意； B．当x＝1，y＝﹣4时，x2+y2＝12+（﹣4）2＝1+16＝17，故本选项不符合题意； C．当x＝2，y＝1时，x2+y2＝22+1＝5，故本选项符合题意； D．当x＝﹣2，y＝3时，x2﹣y2＝（﹣2）2﹣32＝﹣5，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算、有理数大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．（2025秋•崂山区期末）计算（　　） A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．6 【分析】先算乘方，同时去绝对值，再算乘法，然后算加法即可． 【解答】解： ＝25×（）+4 ＝﹣10+4 ＝﹣6， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．（2026春•江北区校级期中）872+87×13的值为　8700　 ． 【分析】先提公因数，然后计算括号内的式子，再算括号外的乘法即可． 【解答】解：872+87×13 ＝87×（87+13） ＝87×100 ＝8700， 故答案为：8700． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．（2025秋•祁东县期末）若x、y互为相反数，a、b互为倒数，c的绝对值等于2，则　5　 ． 【分析】先根据相反数、倒数和绝对值可得x+y＝0，ab＝1，c＝±2，则c2＝4，再代入计算即可得． 【解答】解：由条件可知x+y＝0，ab＝1，c＝±2， ∴c2＝4， ∴． 故答案为：5． 【点评】本题考查了代数式求值、相反数、倒数、绝对值，熟练掌握相关定义是解题关键． 【考点2】十进制与二进制 第8～11题 方法总结： · 二进制 → 十进制：从右向左，第 k 位 × 2k，再求和。 · 十进制 → 二进制：使用“除2取余法”，将余数倒序排列。 · 理解“逢几进一”：几进制就使用 0 ~ (基数−1) 的数字。 8．（2025秋•惠东县期末）我们常用的十进制，如；2025＝2×103+0×102+2×101+5，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中111＝1×22+1×21+1．相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 【分析】根据十进制中的25相当于二进制中的1×24+1×23+0×22+0×21+1即可解答． 【解答】解：根据二进制的表示方法可知，25＝1×24+1×23+0×22+0×21+1， 故十进制中的25相当于二进制中的11001． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 9．（2026•锡林郭勒盟一模）日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算． 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53． ∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53． 故选：D． 【点评】本题考查十进制中的数二进制、十进制中的数的相互转化的方法：二进制转十进制，从最后一位开始算，依次列为第0、1、2…位，第n位的数（0或1）乘以2的n次方．得到的结果相加就是答案． 10．（2025秋•长沙期末）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为001，转化为十进制数是0×22+0×21+1×20＝1，“巽”卦所表示二进制数为011，转化为十进制数是0×22+1×21+1×20＝3．（规定20＝1）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是：（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【分析】根据题意，可知符号为“”，表示的二进制数为100010，然后转化为十进制数即可． 【解答】解：由题意可得， 符号为“”，表示的二进制数为100010， 二进制数为100010转化为十进制数为：1×25+0×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝34， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确二进制数转化为十进制数的方法． 11．（2025秋•龙马潭区期末）龙马潭区截至2025年底的常住人口约为50万人，十进制数50转化为二进制数为（　　） A．110010 B．101100 C．110100 D．100101 【分析】使用除2取余法即可求解，将每次除2得到的余数倒序排列就是对应的二进制数，据此解答即可． 【解答】解：使用除2取余法即可求解可得： 50÷2＝25，余数为0； 25÷2＝12，余数为1； 12÷2＝6，余数为0； 6÷2＝3，余数为0； 3÷2＝1，余数为1； 1÷2＝0，余数为1； ∴得到二进制数110010， 故选：A． 【点评】本题考查十进制数转化为二进制数，熟练掌握该知识点是关键． 【考点3】自定义运算 第12～17题 方法总结： · 直接代入：将数值代入新运算的规则中，按常规顺序计算。 · 注意括号：先算括号内的新运算，再算括号外的。 · 分段定义：若运算是分段函数形式，先判断数值满足哪个条件，再代入对应式子。 12．（2025秋•太平区期末）现定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，如：1※2＝22﹣1×2＝2，则（1※2）※（﹣3）等于（　　） A．15 B．﹣15 C．3 D．﹣3 【分析】根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再计算括号外的即可． 【解答】解：根据题意得： ∵a※b＝b2﹣ab， ∴1※2＝22﹣1×2＝4﹣2＝2， ∴（1※2）※（﹣3）＝2※（﹣3）＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）＝9+6＝15， 综上所述：A选项符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 13．（2025秋•临渭区期末）学习情境•新定义定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　3　 ． 【分析】根据新定义进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴ ＝（3×4）⊗（） ＝12 ＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查新定义，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（2026•宣威市开学）定义新运算“※”：a※b＝ab﹣a+b，则（﹣3）※4＝　﹣5　 ． 【分析】先根据新定义运算法则列出算式，再利用有理数混合运算法则计算即可． 【解答】解：（﹣3）※4＝（﹣3）×4﹣（﹣3）+4＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 15．（2025秋•威信县月考）我们用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定当a≥b时，a⊕b＝2a﹣b；当a＜b时，a⊕b＝3b﹣2a，则（4⊕5）⊕（﹣2）＝　16　 ． 【分析】先判断4与5的大小关系，按对应规则计算4⊕5；再将所得结果与﹣2比较大小，继续按新运算规则计算最终结果． 【解答】解：当a≥b时，a⊕b＝2a﹣b；当a＜b时，a⊕b＝3b﹣2a， ∵4＜5， ∴4⊕5＝3×5﹣2×4＝15﹣8＝7， ∵7≥﹣2， ∴7⊕（﹣2）＝2×7﹣（﹣2）＝14+2＝16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知以上知识是解题的关键． 16．（2025秋•聊城期末）定义一种新运算：m⊕n＝2m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为　24　 ． 【分析】将m＝﹣3和n＝2代入公式m⊕n＝2m2﹣mn进行计算即可． 【解答】解：∵m⊕n＝2m2﹣mn， ∴（﹣3）⊕2 ＝2×（﹣3）2﹣（﹣3）×2 ＝2×9﹣（﹣6） ＝18+6 ＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 17．（2025秋•紫金县期末）如图，刘老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图片后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是 jia363672　 ． 账号：wenxinzhijia wen⊕5*3*6＝wen301848 xin⊕2*6*7＝xin144256 jia⊕6*6*6＝密码 【分析】通过观察发现，密码的前两位数是第一个数字与第三个数的乘积，中间两位数字是第二个数与第三个数的乘积，最后两个数是所得的两个积的和． 【解答】解：通过观察可知密码的前两位数是6×6＝36， 中间两位数是6×6＝36， 最后两位数是36+36＝72， 故答案为：jia363672． 【点评】本题考查有理数的混合运算，通过观察所给的密码，探索出密码与所给数字之间的运算关系是解题的关键． 【考点4】混合运算（含乘方、绝对值、分数） 第18～22题 方法总结： · 严格遵循顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号。 · 乘法分配律：a(b + c) = ab + ac，可简化计算。 · 负号处理：注意 −an 与 (−a)n 的区别，以及 −(−a) 的符号。 · 绝对值：先算绝对值内部的表达式，再取非负值。 18．（2025秋•绵阳期末）计算：． 【分析】先运算乘方以及化简绝对值，再把除法化为乘法，然后运算乘法，最后运算加法，即可作答． 【解答】解：原式 ＝3+（﹣8）+9 ＝4． 【点评】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 19．（2025秋•碑林区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据乘法分配律进行计算； （2）根据有理数混合运算的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣18+（﹣20）﹣（﹣21） ＝﹣38+21 ＝﹣17； （2）原式＝﹣1+3×2+5×（﹣2） ＝﹣1+6﹣10 ＝﹣5． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则和运算定律来计算． 20．（2025秋•青羊区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可； （2）根据乘法分配律进行计算． 【解答】解：（1）原式＝﹣8 ＝﹣2+24 ＝22； （2）原式＝﹣1﹣（242 ＝﹣1﹣2+2 ＝﹣1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则和运算定律来计算． 21．（2025秋•玉溪期末）计算：． 【分析】遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序逐步计算． 【解答】解：原式＝﹣1﹣[2﹣（﹣8）]+（﹣1） ＝﹣1﹣（2+8）﹣1 ＝﹣1﹣10﹣1 ＝﹣12． 【点评】本题考查有理数的混合运算，涉及乘方运算、括号运算及四则混合运算的顺序，熟练掌握运算法则是关键． 22．（2025秋•忠县期末）计算：． 【分析】先计算乘方，然后计算乘除，再计算加减． 【解答】解：原式 ＝﹣25+9+8 ＝﹣8． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． 【考点5】实际应用 第23～28题 方法总结： · 正负数表示：用正负数表示相反意义的量（如向北为正、向南为负）。 · 行程问题：求和得总路程，注意绝对值的含义（耗油量、总距离等）。 · 费用优化：分别计算不同方案的费用，比较后选择最优。 · 分数裂项：1n(n+1) = 1n − 1n+1，用于简便求和。 23．（2025秋•金山区校级期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单锅底1份38.00 精品羊肉1份48.00 雪花牛肉1份58.00 毛肚1份68.00 贡丸1份28.00 金针菇1份18.00 蔬菜拼盘1份28.00 可乐（饮料）1瓶10.00 共计296.00元 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ 【分析】分别计算三种优惠方式的实际支付金额，比较后选择最小值即可． 【解答】解：分别计算三种优惠方式的实际支付金额可得： 第一种优惠方式的实际支付金额为：88×2+（296﹣200）＝272（元）； 第二种优惠方式的实际支付金额为：296×0.88＝260.48（元）； ∵296﹣38﹣10＝248（元），248÷80＝3......8， ∴第三种优惠方式的实际支付金额为：296﹣3×10＝266（元）． ∴选择第二种支付方式最优惠． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算与实际应用，读懂题意，列出算式并正确计算是做题的关键． 24．（2025秋•成华区期末）最近几年时间，我国新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产量和销量都大幅增加．小明家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表）．以50km为标准，多于50km的用正数表示，不足50km的用负数表示，刚好50km的记为0． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km ﹣6 ﹣13 ﹣18 0 +23 +34 +30 （1）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （2）小明家原汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价格为7.2元/升，而此辆新能源汽车每行驶100km耗电量为15千瓦时，平均充电费用为每千瓦时1.2元．小明家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 【分析】（1）理解正负数的表示含义，即正数表示多于标准的路程数，例如第五天路程表示为+23，即实际行驶了50+23＝73千米，负数表示少于标准的路程数，例如第一天路程表示为﹣6，即实际行驶了50﹣6＝44千米，据此解答即可； （2）利用七天行驶的总路程数，求出每百千米的耗油和耗电量，然后，乘以对应的每升油价和每千瓦时电价，计算出汽油车与新能源汽车七天的行驶费用，最后相减即可计算出结果． 【解答】解：（1）根据正负数的表示含义计算可得： 7×50+（﹣6﹣13﹣18+0+23+34+30）＝400（千米）， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （2）设：汽油车和新能源车行驶七天的费用分别为w汽和w新，则： w汽＝400÷100×6.5×7.2＝187.2（元）， w新＝400÷100×15×1.2＝72（元）， ∴w汽﹣w新＝187.2﹣72＝115.2（元）， 答：这七天的行驶费用比原来节省了115.2元． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解题意根据题目描述数量间的表达含义，进行有理数的四则运算，计算出问题中的目标量是解题关键． 25．（2025秋•襄汾县校级期末）每年十月底至十一月初，随着西伯利亚寒潮渐起，黄河三门峡湿地迎来了一年一度的“贵客”——首批迁徙而来的西伯利亚大天鹅．根据观测，这类天鹅在平缓迁徙阶段日均飞行距离约为100公里，但实际每天飞行情况受天气、体力等因素影响，与日均飞行距离相比有出入．下表记录了这类天鹅一周七天的飞行情况，超过日均飞行距离的部分记为正，不足的部分记为负． 星期 一 二 三 四 五 六 日 记录（公里） +20 ﹣5 +30 0 +40 ﹣10 +25 （1）这周天鹅实际总共飞行了多少公里？ （2）已知西伯利亚到三门峡的总距离约为3000公里．根据这一周的实际飞行距离，试分析在开始迁徙后的28天内，天鹅能否到达三门峡，并说明理由． 【分析】（1）将表中7天的数据相加，再加上700，就是这周天鹅实际总共飞行的距离； （2）结合（1）给出的结果可以估计日均飞行的距离，便可以得出结论． 【解答】解：（1）∵20﹣5+30+0+40﹣10+25＝100，7×100＝700， 100+700＝800， ∴这周天鹅实际总共飞行了800公里； （2）能，理由如下： ∵3000÷（800÷7）28， ∴在开始迁徙后的28天内，天鹅能到达三门峡． 【点评】本题考查了有理数的运算，结合正负数的实际意义，准确进行运算是解题的关键． 26．（2025秋•市南区期末）某数据中心对2024年“十一”国庆假期七天青岛的客流量进行不完全统计，数据如下（正号表示客流量比前一天增加，负号表示客流量比前一天减少），已知9月30日青岛的客流量为13万人． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 变化/万人 +10 +3.9 +0.3 ﹣1.4 ﹣2.3 ﹣1.6 ﹣3.4 （1）这七天假期里，青岛客流量最多的是10月　3　 日，达到　27.2　 万人； （2）要判断假期“前半程出行热”和“后半程错峰游”，哪个特征更为明显，我们可以用（前3天指10月1日﹣3日，后3天指10月5日﹣7日）来判断．若P＞1.2，说明“前半程出行热”特征明显；若P＜0.9，说明“后半程错峰游”特征明显．请你通过计算判断这七天假期的特征． 【分析】（1）依次求解10月1日至10月7日的游客数量即可得到答案． （2）根据，再计算并与1.2比较即可． 【解答】解：（1）依次求解10月1日至10月7日的游客数量如下： 10月1日的游客为：13+10＝23（万人）， 10月2日的游客为：23+3.9＝26.9（万人）， 10月3日的游客为：26.9+0.3＝27.2（万人）， 10月4日的游客为：27.2﹣1.4＝25.8（万人）， 10月5日的游客为：25.8﹣2.3＝23.5（万人）， 10月6日的游客为：23.5﹣1.6＝21.9（万人）， 10月7日的游客为：21.9﹣3.4＝18.5（万人）， ∴这七天假期里，青岛客流量最多的是10月3日，达到27.2万人． 故答案为：3，27.2； （2） ≈1.21＞1.2， ∴“前半程出行热”特征明显． 【点评】本题考查的是正负数的应用，有理数的加法的应用，混合运算的应用．熟练掌握以上知识点是关键． 27．（2024秋•渠县校级期中）观察下列等式：1，，， 把以上三个等式两边分别相加得：1． （1）猜想并写出：　　 ； （2）规律应用：计算：； （3）拓展提高：计算：． 【分析】（1）类比给出的数字特点拆分即可； （2）把分数写成两个连续自然数为分母，分子为1的分数差计算即可； （3）提取，再把分数写成两个连续自然数为分母，分子为1的分数差计算即可． 【解答】解：（1）； （2） ＝1 ＝1 ； （3） （1） （1） ． 【点评】此题考查有理数的混合运算，根据数字的特点，掌握拆分的方法是解决问题的关键． 28．（2026•桐城市开学）交警大队一辆警车从警局出发沿着一条南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，约定向北为正方向，当天执勤行驶记录如下（单位：千米）+8，﹣3，+15，﹣5，﹣6，+12，﹣10，下午结束工作后回到警局．问： （1）警车离出发点最远在警局的什么位置？ （2）若该警车每千米耗油0.3升，那么该天共耗油多少升？ 【分析】（1）把每次行驶记录相加，可判断最远的位置； （2）根据行车路程可算出耗油量． 【解答】解：（1）由题意可得， 第一次：8千米， 第二次：+8﹣3＝5（千米）， 第三次：+5+15＝20（千米）， 第四次：20﹣5＝15（千米）， 第五次：15﹣6＝9（千米）， 第六次：9+12＝21（千米）， 第七次：21﹣10＝11（千米）， ∵5＜8＜9＜11＜15＜20＜21， ∴警车离出发点最远在警局的北面21千米处； （2）0.3×（|8|+|﹣3|+15+|﹣5|+|﹣6|+12+|﹣10|+11） ＝0.3×70 ＝21（升）， 答：该天消耗了21升油． 【点评】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 随堂检测 · 精选练习 以下为随堂练习对应的知识点标签： 练习1：绝对值与乘方混合运算 练习2：新定义运算（代入求值） 练习3：倒数、相反数与代数式求值 练习4：二进制转十进制 练习5：多项式乘法规律（平方差） 练习6：乘方与乘除混合运算 练习7：正负数应用（生产计划） 练习8：分数裂项（连续自然数） 练习9：分数裂项与规律应用 练习10：平方和规律（连续整数） 【练习1】（2026•泰州模拟）计算|﹣5|+（﹣2）3的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13 【分析】先分别计算绝对值和乘方，再计算加法即可． 【解答】解：原式＝5+（﹣8）＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 【练习2】（2026春•拱墅区校级期中）一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足a※b＝（a﹣2b）（a+b）﹣a2，则（﹣2）※3的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣24 D．24 【分析】根据定义的新运算列式计算即可． 【解答】解：（﹣2）※3 ＝（﹣2﹣2×3）×（﹣2+3）﹣（﹣2）2 ＝（﹣2﹣6）×1﹣4 ＝﹣8﹣4 ＝﹣12， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【练习3】（2025秋•岳池县校级期末）a、b互为倒数，m、n互为相反数，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用倒数，相反数的定义求出ab＝1，m+n＝0的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵a和b互为倒数，m和n互为相反数， ∴ab＝1，m+n＝0， ∴． 故选：A． 【点评】此题考查了倒数，相反数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【练习4】（2025秋•盘龙区期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．如二进制数101转换为十进制数是1×22+0×21+1×20＝5，二进制数1101转换为十进制数是1×23+1×22+0×21+1×20＝13，其中规定：a0＝1（a≠0），那么二进制数10010转换为十进制数是（　　） A．18 B．16 C．14 D．8 【分析】将二进制数10010转换为十进制数，需从右向左每位数字乘以2的相应幂次后求和． 【解答】解：∵二进制数1101转换为十进制数是1×23+1×22+0×21+1×20＝13， ∴二进制数10010转化为十进制数为 1×24+0×23+0×22+1×21+0×20 ＝1×16+0×8+0×4+1×2+0×1 ＝16+0+0+2+0 ＝18， ∴二进制数10010转换为十进制数是18． 故选：A． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知二进制转换为十进制的方法是解题的关键． 【练习5】（2026春•榕城区期中）你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． （1）分别化简下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1　 ； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1　 ； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1　 ； … （x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1　 ； （2）请你利用上面的结论计算：22025+22024+⋯+2+1． 【分析】（1）归纳总结得到规律，写出结果即可； （2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1； 故答案为：（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣1； （2）22025+22024+…+2+1 ＝（2﹣1）×（22025+22024+…+2+1） ＝22026﹣1． 【点评】此题考查了平方差公式以及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【练习6】（2025秋•庐江县校级期末）计算：． 【分析】先算乘方，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可． 【解答】解： ＝﹣8+2×（﹣7）×2 ＝﹣8﹣28 ＝﹣36． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键对相应的运算法则的掌握． 【练习7】（2026•大洼区校级开学）为倡导绿色出行，某自行车厂积极响应，计划一周生产560辆共享单车，但由于技术调试等因素，实际每日产量与计划量（每日80辆）相比有所波动．下表是这周的实际生产情况，每日超过计划量的记为“+”，不足计划量的记为“﹣”． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 ﹣16 +10 ﹣5 +12 ﹣8 +15 ﹣4 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　31　 辆； （2）这一周自行车厂是否完成生产计划量？请说明理由； （3）若每生产一辆共享单车投入使用后平均可帮助减排二氧化碳3千克，则这一周的实际产量投入使用后能帮助减排二氧化碳多少千克？ 【分析】（1）用差值的最大值减最小值即可； （2）将各差值相加后根据结果的正负判断即可； （3）用计划产量加上总差值，再乘以3即可． 【解答】解：（1）用差值的最大值减最小值可得： 15﹣（﹣16）＝31辆， 故答案为：31； （2）这一周自行车厂完成了生产计划量，理由如下： ﹣16+10﹣5+12﹣8+15﹣4＝4＞0， 故这一周自行车厂完成了生产计划量； （3）（80×7+4）×3 ＝564×3 ＝1692（千克）， 答：这一周的实际产量投入使用后能帮助减排二氧化碳1692千克． 【点评】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的实际应用．理解题意是关键． 【练习8】（2025秋•仁寿县校级期中）观察下列各式： 1，， （1）根据以上式子填空： ①　　 ； ②　　 （n是正整数）． （2）根据以上式子及你所发现的规律计算： ． 【分析】（1）由于1：1，，利用题目规律即可求出结果； （2）首先把题目利用（1）的结论变为，然后利用有理数的加减混合运算法则计算即可求解． 【解答】解：（1）①； ②（n是正整数）； （2） ＝1 ． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，解题时首先正确理解题目中隐含的规律，然后利用规律把题目变形，从而使计算变得比较简便． 【练习9】（2026•肥东县校级一模）观察算式： ， ， ； … （1）按规律填空： ①　　 ； ②　　 ； ③如果n为正整数，那么　　 ； （2）计算（由此拓展写出具体过程）： ①； ②1． 【分析】（1）根据题意找出规律，根据此规律即可得出结论； （2）把所给的式子进行化简，找出规律即可． 【解答】解：∵观察算式： ， ， ； … ∴（1）①11； ②1； ③如果n为正整数，那么1． 故答案为：，；． （2）①∵； ； 12； 12， ∴（1）； ②∵1，1， 11﹣（1）﹣（），11， ∴11． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键． 【练习10】（2024秋•淄川区期中）阅读探究：12；12+22；12+22+32；12+22+32+42；… （1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值； （2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； （3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152． 【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式利用得出的规律计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题意得：原式55； （2）根据题意得：12+22+32+…+n2（n为正整数）； （3）根据题意得：12+22+32+42+52＝55①， 12+22+32+42+52+62+72+82+92+102+112+122+132+142+1521240②， 则②﹣①得：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152＝1185． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：有理数加减乘除判断 作业2：乘法与乘方意义辨析 作业3：新定义运算（综合） 作业4：二进制转十进制（进阶） 作业5：程序框图与代数式求值 作业6：含乘方的混合运算（综合） 作业7：折扣与满减实际应用 作业8：算式纠错与逆向运算 作业9：正负数与车费计算 作业10：分数裂项（间隔型） 作业11：错位相减法（等比数列求和） 作业12：运算律与简便计算 【作业1】（2025秋•永川区期末）下列算式正确的是（　　） A．（﹣5）+（+3）＝﹣8 B．（﹣5）﹣（+3）＝﹣2 C． D．|﹣3|×（﹣2）2＝﹣12 【分析】利用有理数的相关运算法则逐项判断即可． 【解答】解：（﹣5）+（+3）＝﹣2，则A不符合题意； （﹣5）﹣（+3）＝﹣8，则B不符合题意； （﹣3）÷（）＝6，则C符合题意； |﹣3|×（﹣2）2＝12，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【作业2】（2025秋•伊金霍洛旗期末）计算（　　） A．3n+2m B．n3+2m C．3n+2m D．3n+m2 【分析】由乘法的意义知n个3相加可表示为3n，由乘方意义可得m个2相乘表示为2m，即可获得答案． 【解答】解由乘法的意义知n个3相加可表示为3n，由乘方意义可得m个2相乘表示为2m可知： ． 故选：A． 【点评】本题考查了乘法和乘方的意义，理解乘方和乘法的意义是解题关键． 【作业3】（2025秋•浦北县期末）若定义新运算规定：a※b＝a×b﹣（b﹣1）÷a，则计算2※（﹣3）的结果为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．10 【分析】将对应数值代入给定的新运算公式，按照有理数四则运算法则计算即可． 【解答】解：将对应数值代入给定的新运算公式可知： 2※（﹣3）＝2×（﹣3）﹣[（﹣3）﹣1]÷2 ＝﹣6﹣（﹣4）÷2 ＝﹣6﹣（﹣2） ＝﹣6+2 ＝﹣4． 故选：B． 【点评】本题考查新定义运算，熟练掌握运算法则是关键． 【作业4】（2025秋•大渡口区校级期末）二进制数是由两个基本数字0和1组成，二进制数可以转化为十进制数．如二进制数1011转化为十进制数为1×23+0×22+1×2+1×20＝11，则二进制数11010转化为十进制数为（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【分析】根据二进制转十进制的方法以及含乘方的有理数混合运算法则求解即可． 【解答】解：∵二进制数1011转化为十进制数为1×23+0×22+1×2+1×20＝11， ∴二进制数11010转化为十进制数为： 1×24+1×23+0×22+1×21+0×20 ＝1×16+1×8+0×4+1×2+0×1 ＝16+8+0+2+0 ＝26． ∴二进制数11010转化为十进制数为26． 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则以及二进制转十进制的方法是解题的关键． 【作业5】（2025秋•江北区期末）如图是小楠设计的运算程序框图．若输入的数m为2，则输出的结果n是（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．﹣97 D．﹣79 【分析】由程序框图得，输入数m后，再计算然后判断结果是否小于﹣9，即可求解． 【解答】解：由题意得，当m＝2时，则22×（﹣2）+1＝﹣7＞﹣9，重新输入； 当m＝﹣7时，则（﹣7）2×（﹣2）+1＝﹣97＜﹣9，输出， 即输出的结果n是﹣97． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【作业6】（2026•辽源校级一模）计算：． 【分析】根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣1﹣4 ＝﹣5． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 【作业7】（2026•绥化校级开学）某品牌的旅游鞋搞促销活动，在A商场按“每满100元减40元”的方式销售，在B商场打六折销售，妈妈准备给小丽买一双标价120元的这种品牌的旅游鞋． （1）在A、B两个商场买各应付多少钱？ （2）选择哪个商场更省钱？A、B两个商场的价格相差多少钱？ 【分析】（1）根据两个商场不同的促销规则，分别计算出优惠后的应付价格，A商场按每满100元减40元计算，120元可享受一次满减，用原价减去优惠额即可，B商场打六折就是按原价的60%计算，用原价乘60%即可得到结果； （2）比较两个商场的应付价格，判断哪个更省钱，再作差得到价格差即可． 【解答】解：（1）根据两个商场不同的促销规则，分别计算出优惠后的应付价格，A商场按每满100元减40元计算，120元可享受一次满减，用原价减去优惠额即可，B商场打六折就是按原价的60%计算，用原价乘60%可得： A商场的付款金额为：120﹣40＝80元； B商场打六折的付款金额为：120×60%＝72元； （2）由于80元＞72元， 则选择B商场更省钱，价格相差80﹣72＝8元． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是关键． 【作业8】（2026•裕华区一模）已知算式“（﹣2）×4﹣8”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为﹣11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【分析】（1）先算乘法，再算减法； （2）列方程可解得答案； （3）先算出淇淇的结果，再列式计算即可． 【解答】解：（1）（﹣2）×4﹣8 ＝﹣8﹣8 ＝﹣16； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x， 根据题意得：（﹣2）×4﹣x＝﹣11， 解得：x＝3， ∴嘉嘉把“8”错写成了3； （3）淇淇的结果为 （﹣2）+4﹣8 ＝2﹣8 ＝﹣6， ﹣6﹣（﹣16）＝10， ∴淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 【点评】本题考查有理数混合运算，涉及一元一次方程，解题的关键是掌握有理数相关运算法则． 【作业9】（2025秋•新抚区期末）综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，+2.5，﹣4，﹣10． 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【分析】任务1：根据正数和负数的实际意义列式计算即可； 任务2：根据正数和负数的实际意义列式计算即可； 任务3：根据题意列式计算即可． 【解答】解：任务1：由题意可得：﹣3+6+2.5﹣4﹣10＝﹣8.5（km）， ∴饭店在小丽家的西边8.5m处． 任务2：由题意可得：8+（6﹣3）×2＝14（元）， 答：礼品店到蛋糕店所需费用14元； 任务3：由题意可得：水果店到饮料店费用：8+（4﹣3）×2＝10（元）； 饮料店到饭店费用：8+（10﹣3）×2＝22（元）， ∴总车费：8+10×0.8+8+10+22×0.7＝52.6（元）． 答：礼品店到蛋糕店用8折券，饮料店到饭店用7折券，最低总车费为52.6元． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【作业10】（2025秋•裕华区校级期中）请先阅读下列一段内容，然后解答问题． 因为1，，，…， ， 所以 ＝（1）+（）+（）+…+（）＝1 （1）请你计算： （2）． 【分析】（1）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果； （2）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝11； （2）原式（1）（1）． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【作业11】（2026秋•惠阳区校级期中）数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令s＝1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，① 则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210，② ②﹣①得s＝210﹣1． 根据以上方法请计算： （1）1+2+22+23+…+22015；（写出过程，结果用幂表示） （2）1+3+32+33+…+32015＝　　 ．（结果用幂表示） 【分析】（1）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题； （2）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）设s＝1+2+22+23+…+22015①， 则2s＝2+22+23+…+22015+22016②， ②﹣①，得 s＝22016﹣1， 即1+2+22+23+…+22015＝22016﹣1； （2）设s＝1+3+32+33+…+32015①， 则3s＝3+32+33+…+32015+32016②， ②﹣①，得 2s＝32016﹣1， ∴s， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【作业12】（2025秋•温岭市期中）解答下列问题： （1）计算：6÷（）方方同学的计算过程如下： 原式＝6÷（）+612+18＝6． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． （2）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①999×（﹣15）；②999×118333×（）﹣999×18． 【分析】（1）根据有理数的除法可以解答本题； （2）①根据题目中的例子可以解答本题； ②根据乘法分配律可以解答本题． 【解答】解：（1）方方同学的计算过程不正确， 正确的解法为：6÷（）＝6÷（）＝6×（﹣6）＝﹣36； （2）①999×（﹣15） ＝（1000﹣1）×（﹣15） ＝1000×（﹣15）﹣1×（﹣15） ＝﹣15000+15 ＝﹣14985； ②999×118333×（）﹣999×18 ＝999×118999×（）﹣999×18 ＝999×（） ＝999×100 ＝99900． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 有理数混合运算（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握有理数混合运算的法则 —— 能正确确定运算顺序，熟练进行含乘方、乘除、加减的混合计算。 · 理解乘方与乘法的意义 —— 能区分“n个相同因数相乘”与“n个相同加数相加”，并灵活转化。 · 掌握十进制与二进制的互化方法 —— 理解“逢几进一”的计数原理，能按权展开进行转换。 · 能正确计算自定义运算 —— 根据给定的新运算规则，代入数值并按有理数运算法则求解。 · 运用混合运算解决实际问题 —— 能结合生活情境（行程、费用、统计等）列出算式并准确计算。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 有理数的乘方 定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方，记作 an，读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”。 · 底数：a —— 相同的因数。 · 指数：n —— 因数的个数。 · 幂：an 的结果。 an = a × a × … × a （ n 个） 注意事项： · 当底数是 负数 或 分数 时，必须加括号，如 (−2)3、122。 · −an 与 (−a)n 含义不同：−an 表示 an 的相反数；(−a)n 表示 n 个 −a 相乘。 · 任何非零数的 0 次方 等于 1（a0 = 1，a ≠ 0）。 ☆ 2. 有理数的混合运算顺序 有理数混合运算遵循以下优先级（从高到低）： 1. 括号：先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 2. 乘方：计算所有乘方运算。 3. 乘除：按从左到右的顺序计算乘法和除法。 4. 加减：按从左到右的顺序计算加法和减法。 运算律简化： 在混合运算中，合理运用 加法交换律、结合律 和 乘法交换律、结合律、分配律 可使计算更简便。 ☆ 3. 十进制与二进制 · 十进制：逢十进一，使用数码 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。 如：2025 = 2×10³ + 0×10² + 2×10¹ + 5。 · 二进制：逢二进一，使用数码 0,1。 如：二进制 1101 = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 13（十进制）。 · 转换方法：将二进制数从右向左，第 k 位（从0开始）的数字乘以 2k，再求和。 11011= 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰= 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27 ( 1×2 ) ☆ 4. 自定义运算 题目中会给出一种新的运算符号（如 ※、⊕、⊗ 等）及其对应的运算法则。解题时，只需 将给定的数值代入法则，按照有理数的常规运算顺序计算即可。 · 关键：准确理解新运算的规则，注意括号和运算顺序。 · 常见形式：a※b = ab − a + b，或分段函数形式的定义。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/说明 注意事项 乘方 an 表示 n 个 a 相乘，a 为底数，n 为指数。 负数或分数作底数时需加括号；−an 与 (−a)n 不同。 混合运算顺序 括号 → 乘方 → 乘除 → 加减（同级从左到右）。 灵活运用运算律（交换、结合、分配）简化计算。 十进制与二进制 十进制逢十进一；二进制逢二进一。按权展开可相互转换。 二进制转十进制：从右向左第 k 位 × 2k 求和。 自定义运算 根据题目给出的新运算规则代入数值计算。 注意运算顺序，先算括号内的新运算。 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】有理数的乘方与混合运算 第1～7题 方法总结： · 合并同类项：相同底数、相同指数的项可以合并（如 4³ + 4³ + 4³ + 4³ = 4 × 4³ = 4⁴）。 · 乘方与乘法区分：n 个相同加数相加 → n × a；n 个相同因数相乘 → an。 · 含绝对值的运算：先算绝对值，再算乘方，最后算乘除加减。 · 整体代入：利用相反数、倒数、绝对值等关系整体代入求值。 1．（2026•厦门校级模拟）下列与算式43+43+43+43的运算结果相等的是（　　） A．44 B．34 C．47 D．412 2．（2026•安州区开学）小亮看了一本书的，正好看了35页，这本书有（　　）页． A．63 B．175 C．315 3．（2025秋•南阳月考）计算的结果是（　　） A．2m+3n B．2m+3n C．m2+3n D．2m+n3 4．（2025秋•烟台期末）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（　　） A．x＝1，y＝4 B．x＝1，y＝﹣4 C．x＝2，y＝1 D．x＝﹣2，y＝3 5．（2025秋•崂山区期末）计算（　　） A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．6 6．（2026春•江北区校级期中）872+87×13的值为　 　 ． 7．（2025秋•祁东县期末）若x、y互为相反数，a、b互为倒数，c的绝对值等于2，则　 　 ． 【考点2】十进制与二进制 第8～11题 方法总结： · 二进制 → 十进制：从右向左，第 k 位 × 2k，再求和。 · 十进制 → 二进制：使用“除2取余法”，将余数倒序排列。 · 理解“逢几进一”：几进制就使用 0 ~ (基数−1) 的数字。 8．（2025秋•惠东县期末）我们常用的十进制，如；2025＝2×103+0×102+2×101+5，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中111＝1×22+1×21+1．相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 9．（2026•锡林郭勒盟一模）日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 10．（2025秋•长沙期末）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为001，转化为十进制数是0×22+0×21+1×20＝1，“巽”卦所表示二进制数为011，转化为十进制数是0×22+1×21+1×20＝3．（规定20＝1）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是：（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 11．（2025秋•龙马潭区期末）龙马潭区截至2025年底的常住人口约为50万人，十进制数50转化为二进制数为（　　） A．110010 B．101100 C．110100 D．100101 【考点3】自定义运算 第12～17题 方法总结： · 直接代入：将数值代入新运算的规则中，按常规顺序计算。 · 注意括号：先算括号内的新运算，再算括号外的。 · 分段定义：若运算是分段函数形式，先判断数值满足哪个条件，再代入对应式子。 12．（2025秋•太平区期末）现定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，如：1※2＝22﹣1×2＝2，则（1※2）※（﹣3）等于（　　） A．15 B．﹣15 C．3 D．﹣3 13．（2025秋•临渭区期末）学习情境•新定义定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　 　 ． 14．（2026•宣威市开学）定义新运算“※”：a※b＝ab﹣a+b，则（﹣3）※4＝　 　 ． 15．（2025秋•威信县月考）我们用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定当a≥b时，a⊕b＝2a﹣b；当a＜b时，a⊕b＝3b﹣2a，则（4⊕5）⊕（﹣2）＝　 　 ． 16．（2025秋•聊城期末）定义一种新运算：m⊕n＝2m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为　 　 ． 17．（2025秋•紫金县期末）如图，刘老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图片后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是 　 　 ． 账号：wenxinzhijia wen⊕5*3*6＝wen301848 xin⊕2*6*7＝xin144256 jia⊕6*6*6＝密码 【考点4】混合运算（含乘方、绝对值、分数） 第18～22题 方法总结： · 严格遵循顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号。 · 乘法分配律：a(b + c) = ab + ac，可简化计算。 · 负号处理：注意 −an 与 (−a)n 的区别，以及 −(−a) 的符号。 · 绝对值：先算绝对值内部的表达式，再取非负值。 18．（2025秋•绵阳期末）计算：． 19．（2025秋•碑林区校级期末）计算： （1）； （2）． 20．（2025秋•青羊区校级期末）计算： （1）； （2）． 21．（2025秋•玉溪期末）计算：． 22．（2025秋•忠县期末）计算：． 【考点5】实际应用 第23～28题 方法总结： · 正负数表示：用正负数表示相反意义的量（如向北为正、向南为负）。 · 行程问题：求和得总路程，注意绝对值的含义（耗油量、总距离等）。 · 费用优化：分别计算不同方案的费用，比较后选择最优。 · 分数裂项：1n(n+1) = 1n − 1n+1，用于简便求和。 23．（2025秋•金山区校级期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单锅底1份38.00 精品羊肉1份48.00 雪花牛肉1份58.00 毛肚1份68.00 贡丸1份28.00 金针菇1份18.00 蔬菜拼盘1份28.00 可乐（饮料）1瓶10.00 共计296.00元 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ 24．（2025秋•成华区期末）最近几年时间，我国新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产量和销量都大幅增加．小明家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表）．以50km为标准，多于50km的用正数表示，不足50km的用负数表示，刚好50km的记为0． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km ﹣6 ﹣13 ﹣18 0 +23 +34 +30 （1）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （2）小明家原汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价格为7.2元/升，而此辆新能源汽车每行驶100km耗电量为15千瓦时，平均充电费用为每千瓦时1.2元．小明家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 25．（2025秋•襄汾县校级期末）每年十月底至十一月初，随着西伯利亚寒潮渐起，黄河三门峡湿地迎来了一年一度的“贵客”——首批迁徙而来的西伯利亚大天鹅．根据观测，这类天鹅在平缓迁徙阶段日均飞行距离约为100公里，但实际每天飞行情况受天气、体力等因素影响，与日均飞行距离相比有出入．下表记录了这类天鹅一周七天的飞行情况，超过日均飞行距离的部分记为正，不足的部分记为负． 星期 一 二 三 四 五 六 日 记录（公里） +20 ﹣5 +30 0 +40 ﹣10 +25 （1）这周天鹅实际总共飞行了多少公里？ （2）已知西伯利亚到三门峡的总距离约为3000公里．根据这一周的实际飞行距离，试分析在开始迁徙后的28天内，天鹅能否到达三门峡，并说明理由． 26．（2025秋•市南区期末）某数据中心对2024年“十一”国庆假期七天青岛的客流量进行不完全统计，数据如下（正号表示客流量比前一天增加，负号表示客流量比前一天减少），已知9月30日青岛的客流量为13万人． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 变化/万人 +10 +3.9 +0.3 ﹣1.4 ﹣2.3 ﹣1.6 ﹣3.4 （1）这七天假期里，青岛客流量最多的是10月　 　 日，达到　 　 万人； （2）要判断假期“前半程出行热”和“后半程错峰游”，哪个特征更为明显，我们可以用（前3天指10月1日﹣3日，后3天指10月5日﹣7日）来判断．若P＞1.2，说明“前半程出行热”特征明显；若P＜0.9，说明“后半程错峰游”特征明显．请你通过计算判断这七天假期的特征． 27．（2024秋•渠县校级期中）观察下列等式：1，，， 把以上三个等式两边分别相加得：1． （1）猜想并写出：　 　 ； （2）规律应用：计算：； （3）拓展提高：计算：． 28．（2026•桐城市开学）交警大队一辆警车从警局出发沿着一条南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，约定向北为正方向，当天执勤行驶记录如下（单位：千米）+8，﹣3，+15，﹣5，﹣6，+12，﹣10，下午结束工作后回到警局．问： （1）警车离出发点最远在警局的什么位置？ （2）若该警车每千米耗油0.3升，那么该天共耗油多少升？ 随堂检测 · 精选练习 以下为随堂练习对应的知识点标签： 练习1：绝对值与乘方混合运算 练习2：新定义运算（代入求值） 练习3：倒数、相反数与代数式求值 练习4：二进制转十进制 练习5：多项式乘法规律（平方差） 练习6：乘方与乘除混合运算 练习7：正负数应用（生产计划） 练习8：分数裂项（连续自然数） 练习9：分数裂项与规律应用 练习10：平方和规律（连续整数） 【练习1】（2026•泰州模拟）计算|﹣5|+（﹣2）3的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13 【练习2】（2026春•拱墅区校级期中）一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足a※b＝（a﹣2b）（a+b）﹣a2，则（﹣2）※3的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣24 D．24 【练习3】（2025秋•岳池县校级期末）a、b互为倒数，m、n互为相反数，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【练习4】（2025秋•盘龙区期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．如二进制数101转换为十进制数是1×22+0×21+1×20＝5，二进制数1101转换为十进制数是1×23+1×22+0×21+1×20＝13，其中规定：a0＝1（a≠0），那么二进制数10010转换为十进制数是（　　） A．18 B．16 C．14 D．8 【练习5】（2026春•榕城区期中）你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． （1）分别化简下列各式： （x﹣1）（x+1）＝　 　 ； （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　 ； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　 ； … （x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝　 　 ； （2）请你利用上面的结论计算：22025+22024+⋯+2+1． 【练习6】（2025秋•庐江县校级期末）计算：． 【练习7】（2026•大洼区校级开学）为倡导绿色出行，某自行车厂积极响应，计划一周生产560辆共享单车，但由于技术调试等因素，实际每日产量与计划量（每日80辆）相比有所波动．下表是这周的实际生产情况，每日超过计划量的记为“+”，不足计划量的记为“﹣”． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 ﹣16 +10 ﹣5 +12 ﹣8 +15 ﹣4 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　 辆； （2）这一周自行车厂是否完成生产计划量？请说明理由； （3）若每生产一辆共享单车投入使用后平均可帮助减排二氧化碳3千克，则这一周的实际产量投入使用后能帮助减排二氧化碳多少千克？ 【练习8】（2025秋•仁寿县校级期中）观察下列各式： 1，， （1）根据以上式子填空： ①　 　 ； ②　 　 （n是正整数）． （2）根据以上式子及你所发现的规律计算： ． 【练习9】（2026•肥东县校级一模）观察算式： ， ， ； … （1）按规律填空： ①　 　 ； ②　 　 ； ③如果n为正整数，那么　 　 ； （2）计算（由此拓展写出具体过程）： ①； ②1． 【练习10】（2024秋•淄川区期中）阅读探究：12；12+22；12+22+32；12+22+32+42；… （1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值； （2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； （3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152． 七．课后巩固（共12小题） 【作业1】（2025秋•永川区期末）下列算式正确的是（　　） A．（﹣5）+（+3）＝﹣8 B．（﹣5）﹣（+3）＝﹣2 C． D．|﹣3|×（﹣2）2＝﹣12 【作业2】（2025秋•伊金霍洛旗期末）计算（　　） A．3n+2m B．n3+2m C．3n+2m D．3n+m2 【作业3】（2025秋•浦北县期末）若定义新运算规定：a※b＝a×b﹣（b﹣1）÷a，则计算2※（﹣3）的结果为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．10 【作业4】（2025秋•大渡口区校级期末）二进制数是由两个基本数字0和1组成，二进制数可以转化为十进制数．如二进制数1011转化为十进制数为1×23+0×22+1×2+1×20＝11，则二进制数11010转化为十进制数为（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【作业5】（2025秋•江北区期末）如图是小楠设计的运算程序框图．若输入的数m为2，则输出的结果n是（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．﹣97 D．﹣79 【作业6】（2026•辽源校级一模）计算：． 【作业7】（2026•绥化校级开学）某品牌的旅游鞋搞促销活动，在A商场按“每满100元减40元”的方式销售，在B商场打六折销售，妈妈准备给小丽买一双标价120元的这种品牌的旅游鞋． （1）在A、B两个商场买各应付多少钱？ （2）选择哪个商场更省钱？A、B两个商场的价格相差多少钱？ 【作业8】（2026•裕华区一模）已知算式“（﹣2）×4﹣8”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为﹣11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【作业9】（2025秋•新抚区期末）综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，+2.5，﹣4，﹣10． 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【作业10】（2025秋•裕华区校级期中）请先阅读下列一段内容，然后解答问题． 因为1，，，…， ， 所以 ＝（1）+（）+（）+…+（）＝1 （1）请你计算： （2）． 【作业11】（2026秋•惠阳区校级期中）数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令s＝1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，① 则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210，② ②﹣①得s＝210﹣1． 根据以上方法请计算： （1）1+2+22+23+…+22015；（写出过程，结果用幂表示） （2）1+3+32+33+…+32015＝　 　 ．（结果用幂表示） 【作业12】（2025秋•温岭市期中）解答下列问题： （1）计算：6÷（）方方同学的计算过程如下： 原式＝6÷（）+612+18＝6． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． （2）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①999×（﹣15）；②999×118333×（）﹣999×18． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $