第02讲 分解素因数（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固）高效提优讲义2026-2027学年六年级数学沪教版五四制

本初中数学讲义聚焦分解素因数核心知识点，系统梳理素数与合数的定义、互素概念，通过短除法掌握分解素因数方法，进而学习最大公因数和最小公倍数的求法及应用，构建从概念到方法再到实践的递进学习支架。 资料以思维导图总览课程内容，知识总结表明晰核心概念要点，结合典型考点与创新题型，通过素数判断、短除法应用等培养学生抽象能力和推理意识，实际应用题提升应用意识。课中助力教师高效教学，课后辅助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第02讲 分解素因数（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解 素数与合数的定义，能准确判断一个数是素数还是合数，理解1的特殊性（既不是素数也不是合数）。 掌握 分解素因数的方法（短除法），能正确将一个合数写成素因数乘积的形式。 熟练运用 求两个数的最大公因数和最小公倍数，解决植树问题、铺砖问题等实际应用。 体会 互素的概念，理解"两数只有公因数1"的含义，培养数感和逻辑推理能力。 ✨ 核心思想：素因数是整数的"基因"，分解素因数是数论问题的基础工具。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 素数与合数 素数（质数）的定义：一个大于1的正整数，如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做素数（或质数）。 要点①： 素数只有2个因数（1和本身），如2、3、5、7、11、13、17、19… 要点②： 合数：一个大于1的正整数，如果除了1和它本身还有别的因数，这个数叫做合数。如4、6、8、9、10… 要点③： 1既不是素数也不是合数。素数和合数是对大于1的正整数进行分类的两个类别。 ※20以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。注意：2是唯一的偶素数。 【例】下列各数不是素数的是（ ）A.1 B.2 C.89 D.97 解析：1既不是素数也不是合数；2、89、97都是素数。故选A。 ☆ 2. 互素（互质） 互素的定义：如果两个正整数只有公因数1，那么这两个数叫做互素的（也叫互质）。 要点①： 互素是指两个数的关系，不是指一个数是素数。两个合数也可能互素（如8和9）。 要点②： 判断方法：求出两个数的所有公因数，如果只有1，则互素。 ※常见互素情况：相邻的两个正整数互素（如3和4）；一个素数和一个不是它倍数的数互素（如5和6）。 【例】下列各对数中，互素的是（ ）A.9和16 B.12和24 C.11和24 D.15和21 解析：9和16都是合数，但只有公因数1，故互素；12和24有公因数1、2、3、4、6、12，不互素；11是素数，但24含有因数2和3，11和24互素；15和21有公因数1、3，不互素。故选AC。 ☆ 3. 分解素因数 分解素因数的定义：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 要点①： 分解素因数要求每个因数都必须是素数，如12＝2×2×3（正确），12＝2×6（错误，6不是素数）。 要点②： 短除法：用素数从小到大依次去除，直到商为素数为止，再把所有除数和最后的商连乘。 ※书写规范：素因数按从小到大排列，相同的素因数写成幂的形式，如60＝2²×3×5。 【例】分解素因数：60＝______ 解析：60＝2×2×3×5＝2²×3×5。 ☆ 4. 公因数与最大公因数 公因数的定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做最大公因数。 求法一： 列举法——分别列出各数的所有因数，找出公有因数中最大的。 求法二： 分解素因数法——把各数分解素因数，取公有素因数的乘积。 要点： 如果两个数互素，它们的最大公因数是1；如果两个数成倍数关系，较小数就是最大公因数。 ※应用：把一个长方形剪成大小相等的正方形（无剩余），正方形边长最大是长和宽的最大公因数。 【例】12和16的最大公因数是（ ）A.2 B.4 C.6 D.8 解析：12＝2²×3，16＝2⁴，公有素因数为2²＝4。故选B。 ☆ 5. 公倍数与最小公倍数 公倍数的定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个（非零），叫做最小公倍数。 求法一： 列举法——分别列出各数的倍数（限定范围内），找出公有倍数中最小的。 求法二： 分解素因数法——把各数分解素因数，取所有素因数的最高次幂的乘积。 要点： 如果两个数互素，它们的最小公倍数是两数之积；如果两个数成倍数关系，较大数就是最小公倍数。 ※应用：环形跑道上两人同时同地出发，首次相遇时经过的时间是两个人周期的最小公倍数。 【例】6和8的最小公倍数是______ 解析：6＝2×3，8＝2³，最小公倍数＝2³×3＝24。 ☆ 6. 知识总结表 核心概念 要点 注意事项 素数 只有1和本身两个因数 1不是素数，2是唯一偶素数 合数 除了1和本身还有别的因数 1不是合数 互素 两个数的公因数只有1 两个合数也可能互素 分解素因数 用素数相乘表示合数 每个因数必须是素数 最大公因数 公有素因数之积 互素时最大公因数为1 最小公倍数 所有素因数最高次幂之积 互素时最小公倍数为两数之积 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】素数、合数与分解素因数（第1-14题） ※方法总结 判断素数： 除了1和本身外，不能被其他正整数整除。检查从2到√n之间是否有因数。 分解素因数： 用短除法，从小到大用素数（2、3、5、7…）依次试除。 互素判断： 求出两个数的所有公因数，如果只有1则互素。 新定义问题： 如"⌊m⌋表示不是m的素因数的最小素数"，需先分解素因数再判断。 1．（2025秋•静安区校级期中）下列各数不是素数的是（　　） A．1 B．2 C．89 D．97 【分析】根据质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，可得答案． 【解答】解：1既不是素数，也不是合数；2，89，97是素数． 故选：A． 【点评】本题考查了质数，掌握质数的定义是解答本题的关键． 2．（2025秋•奉贤区期中）下列正整数中，属于合数的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数．与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数． 【解答】解：1既不属于质数也不属于合数，故选项A不符合题意； 2是素数，故选项B不符合题意； 3是素数，故选项C不符合题意； 4是合数，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了有理数，正确把握素数的定义是解题关键． 3．（2025•宝山区校级开学）下面各组中的三个连续自然数都是合数的是（　　） A．88，89，90 B．55，56，57 C．31，32，33 D．27，28，29 【分析】根据合数的定义（除了1和它本身还有其他因数的自然数），逐一验证各选项中三个数是否均为合数． 【解答】解：A、89是质数； B、都是合数； C、31是质数； D、29是质数， 故选：B． 【点评】本题考查了合数、质数的区别，熟练掌握合数的定义是解题的关键． 4．（2025•宝山区校级开学）下列各组数，既是合数又是互素的数是（　　） A．9和16 B．12和24 C．11和24 D．15和21 【分析】需要找出两个数都是合数且互素的选项，合数是指大于1的非质数，互素是指最大公约数为1，据此求解即可． 【解答】解：A、9和16都是合数，且只有公因数1， ∴9和16既是合数又是互素； B、∵12＝2×2×3，24＝2×2×2×3， ∴12和24都是合数，但有公因数， ∴12和24不互素； C、11是质数，不是合数； D、∵15＝3×5，21＝3×7， ∴15和21都是合数，但有公因数， ∴15和21不互素； 故选：A． 【点评】本题主要考查了互素数的定义，“两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素”，根据互为素数的意义求解即可． 5．（2025秋•浦东新区校级月考）有下列语句：①合数都是偶数；②素数都是奇数；③自然数不是素数就是合数；④不存在最大的合数．其中叙述不正确的语句有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】逐一判断各语句的正确性即可． 【解答】解：①存在奇合数（如9、15等），即合数不都是偶数，故①错误； ②2是素数且是偶数，即素数不都是奇数，故②错误； ③1是自然数，但既不是素数也不是合数，即自然数不全是素数或合数，故③错误； ④不存在最大的合数，故④正确； 综上，不正确的语句有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了素数、合数、奇偶数的概念及自然数的分类，是基础题． 6．（2025秋•浦东新区期末）分解素因数：60＝ 　2×2×3×5　 ． 【分析】分解素因数就是把一个合数写成几个素数的连乘积形式，一般先从简单的素数试着分解． 【解答】解：根据分解素因数的概念可知： 分解素因数：60＝2×2×3×5． 故答案为：2×2×3×5． 【点评】本题考查了分解质因数，熟练掌握分解素因数的方法是解题的关键． 7．（2025秋•青浦区校级期中）把42分解素因数，那么42＝　2×3×7　 ． 【分析】把42化为几个素数的积，即可． 【解答】解：42＝2×3×7， 故答案为：2×3×7． 【点评】本题主要考查分解素因数，掌握素因数的概念是关键． 8．（2025秋•青浦区校级期中）下列各对数：①1和3；②5和6；③3和51中，互素的是　①②　 （填序号）． 【分析】根据互素，就是互为质数，两个数之间除了1之外没有更多的公约数，对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：①1和3的公约数只有1，互素，符合题意； ②5和6的公约数只有1，互素，符合题意； ③3和51的公约数有1和3，不互素，不符合题意． 故答案为：①②． 【点评】本题考查了质数的概念，理解互素的概念是解题的关键． 9．（2025秋•青浦区校级期中）在2、3、4、5、6中，与2互素的有　3和5　 ． 【分析】因此，需要找出列表中每个数与2的最大公约数，并判断是否为1． 【解答】解：2与6的最大公约数是2，不等于1，不互素． 2与5的最大公约数是1，故互素． 2与4的最大公约数是2，不等于1，不互素． 2与3的最大公约数是1，互素． 2与2的最大公约数是2，不等于1，不互素． 故答案为：3和5． 【点评】本题考查了互素的定义；互素是指两个数的最大公约数为1，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（2025秋•青浦区校级期中）规定一种新的运算：对于一个合数m，〈m〉表示不是m的素因数的最小素数，如〈6〉＝5，〈14〉＝3，那么〈40〉+〈36〉的值是　8　 ． 【分析】根据运算定义，需分别求出合数40和36的素因数，再找出不是其素因数的最小素数，最后求和． 【解答】解：36的素因数分解为 36＝22×32，素因数为2和3，不是其素因数的最小素数是5，故〈36〉＝5， 40的素因数分解为 40＝23×5，素因数为2和5，不是其素因数的最小素数是3，故〈40〉＝3． 因此，〈40〉+〈36〉＝3+5＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了新定义运算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2025•宝山区校级开学）三个连续自然数的乘积是210，求这三个数． 【分析】将210因数分解，即可求解． 【解答】解：∵210＝2×3×5×7 ∴这三个数是5、6和7． 【点评】本题考查了因数分解，将210因数分解是解题的关键． 12．（2025秋•宝山区校级期中）用短除法分解素因数： （1）143； （2）216． 【分析】（1）先运用短除法分解素因数，则143＝11×13，即可作答． （2）先运用短除法分解素因数，则216＝2×2×2×3×3×3，即可作答． 【解答】解：（1） ∴143＝11×13； （2） ∴216＝2×2×2×3×3×3． 【点评】本题考查了用短除法分解素因数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．（2025秋•浦东新区校级月考）用短除法把下列各数分解素因数． （1）28； （2）48； （3）78． 【分析】（1）利用短除法分解素因数即可得解； （2）利用短除法分解素因数即可得解； （3）利用短除法分解素因数即可得解． 【解答】解：（1） ∴28＝2×2×7； （2） ∴48＝2×2×2×2×3； （3） ∴78＝2×3×13． 【点评】本题主要考查了短除法分解素因数，熟练掌握短除法是解题的关键． 14．（2025秋•金山区校级月考）已知a是一个素数，b是一个偶数，a2+b＝2018，求b的值，并把它分解素因数． 【分析】2、3、5、7、11、13、17、19是常见的素数，利用这些素数进行分析求解． 【解答】解：由条件可知a2一定是偶数， 而偶数中只有2是素数， 因此a＝2，b＝2018﹣a2＝2014， b＝2014＝2×19×53． 【点评】本题考查对素数的认识，20以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19，熟练掌握是关键． 【考点2】公因数与最大公因数（第15-26题） ※方法总结 求最大公因数： 方法一：列举法；方法二：分解素因数法取公有部分；方法三：短除法。 应用题： 长方形剪成正方形——最大公因数是正方形最大边长；植树/路灯问题——最大公因数是最大间距。 关系： 如果a÷b＝整数（无余数），则a和b的最大公因数是b（较小数）。 公式： 两数之积＝最大公因数×最小公倍数。 15．（2025•长治开学）12和16的最大公因数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】本题考查了公因数，由12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，故12和16的最大公因数是4，即可作答． 【解答】解：∵12＝4×3，16＝4×4， ∴12和16的最大公因数是4． 故选：B． 【点评】本题考查了公因数，熟练掌握最大公因数的意义是解题的关键． 16．（2025•绵阳校级开学）已知A、B是非0的自然数，A÷B＝最小的素数，A和B的最大公因数是（　　） A．1 B．A C．B 【分析】由题意得A÷B＝2，则A和B是倍数关系，且A为较大数，B为较小数，据此即可得出答案． 【解答】解：已知A、B是非0的自然数，A÷B＝最小的素数， ∵A÷B＝最小的素数，即A÷B＝2， ∴A和B是倍数关系，且A为较大数，B为较小数， ∴A和B的最大公因数是B． 故选：C． 【点评】本题考查了倍数与因数，正确进行计算是解题关键． 17．（2025秋•虹口区期中）一张长48厘米、宽36厘米的长方形纸板裁成若干个同样大小的正方形，且纸板无剩余，正方形边长最大是（　　） 厘米． A．12 B．8 C．6 D．4 【分析】根据最大公因数得出结论即可． 【解答】解：∵48和36的最大公因数是12， ∴正方形边长最大是12厘米， 故选：A． 【点评】本题主要考查最大公因数的应用，熟练掌握最大公因数的应用是解题的关键． 18．（2025秋•松江区校级月考）长方形的地面用整块的正方形地砖恰好铺满．地面长600厘米，宽是480厘米．若想用尺寸较大的地砖来铺，地砖有30×30、40×40、60×60、80×80（单位：厘米×厘米）四种尺寸应选（　　） A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×80 【分析】准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且在这些公因数中要选最大的，在这四种尺寸中边长30，40，60的都是客厅的地面长和宽的公因数，其中最大的是60，所以选60×60的正方形地砖． 【解答】解：∵准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面， ∴正方形地砖的边长应是最大的，即客厅的地面长和宽的公因数， ∵边长为30，40，60的都是600和480的公因数，其中最大的是60， ∴符合要求的是选60×60的正方形地砖， 故选：C． 【点评】本题主要考查了公因数和最大公因数，关键是找到符合要求的公因数． 19．（2025秋•长宁区期末）整数18和24的最大公因数是 　6　 ． 【分析】将18、24分别分解质因数，从中找出公有的因数的积即可 【解答】解：18＝2×3×3，24＝2×2×2×3， 根据最大公因数的定义，可得18和24的最大的公因数为：2×3＝6， 故答案为：6． 【点评】考查公因数、最大公因数的意义，理解公因数和最大公因数的概念是解决问题的前提． 20．（2025秋•奉贤区期中）如图，根据短除法计算，正整数A、B的最大公因数是　6　 ． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：由题意可得2×3＝6， 即正整数A、B的最大公因数是6， 故答案为：6． 【点评】本题考查有理数的乘法，最大公因数，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键． 21．（2025秋•闵行区期中）如图，街道ABC在点B处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯，要求在点A，B，C处各安装一盏路灯，问最少要安装　44　 盏路灯． 【分析】根据最大公因数的概念得出结论即可． 【解答】解：∵1625＝25×65， 1170＝18×65， ∴路灯的最大间隔为65米， 25+18+1＝44， 故答案为：44． 【点评】本题主要考查最大公因数的概念，熟练掌握最大公因数的概念是解题的关键． 22．（2025秋•普陀区期中）如果A和B的最大公因数是21，且A＝2×3×m，B＝3×5×m，那么m＝ 　7　 ． 【分析】把a和b公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，据此解答． 【解答】解：因为A和B的最大公因数是21，且A＝2×3×m，B＝3×5×m， 所以3m＝21， 所以m＝21÷3＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了最大公因数，熟练掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公因数的方法是解题的关键． 23．（2025•宝山区校级开学）学校的一个长方形操场，长225米，宽145米，四个角和四周都需要种树，相邻两棵树间的距离相等，问学校至少要种多少棵树？ 【分析】先求出长方形长和宽的最大公因数，确定相邻两棵树的最大间距，再根据长方形周长公式求出周长，最后用周长除以间距得到树的数量． 【解答】解：因为225和145的最大公因数是5． 长方形操场的周长：（225+145）×2 ＝370×2 ＝740（米） 树的数量：740÷5＝148（棵）， 答：学校至少要种148棵树． 【点评】本题主要考查了最大公因数的应用和长方形周长的计算，熟练掌握求两个数最大公因数的方法以及长方形周长公式是解题的关键． 24．（2025秋•松江区期中）某小区内部道路如图所示，AB长84m，BC长72m，CD长84m，要在这条道路的一侧等距离安装地面照明灯，且要求两端和转弯处都必须安装，那么这条道路最少要安装多少盏地面照明灯？ 【分析】找到84、72的最大公因数，再求出每条边安装照明灯的数量，最后根据两端和转弯处都必须安装，求出结果． 【解答】解：84、72的最大公因数是12， 72÷12＝6， 84÷12＝7， 2×7+6+1＝21（盏）， 答：这条道路最少要安装21盏地面照明灯． 【点评】本题考查了最大公因数的应用，解题的关键是掌握最大公因数的求法． 25．（2024春•杨浦区校级月考）一块长方形草坪，长84米，宽48米，要在它的四周和四角种树，每相邻两棵树之间的距离相等，最大间距是多少米？最少要种多少棵树？ 【分析】如果长方形的四周和四角种树，每相邻两棵树之间的距离相等，那么每相邻两棵树之间的距离必须是长和宽的公因数，树最少时，间距必须最大，因此先求出长和宽的最大公因数，得出最大间距，再计算最少种多少棵树． 【解答】解：如果长方形的四周和四角种树，每相邻两棵树之间的距离相等，那么每相邻两棵树之间的距离必须是长和宽的公因数， 长和宽的最大公因数为：2×2×3＝12，即最大间距为：12米， （84+48）×2÷12＝22（棵）． 答：最大间距是12米，最少要种22棵树． 【点评】本题考查植树问题，正确进行计算是解题关键． 26．（2024秋•普陀区校级月考）有一张长方形纸片，长为30厘米，宽为18厘米，如果要把这张纸片剪成大小相等的正方形纸片（正方形边长是大于1厘米的整数），而且没有剩余． （1）有几种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ （2）按正方形纸片可能的最大边长进行裁剪，该长方形能剪出几个正方形？ 【分析】（1）根据题意只需要求出30和18的公因数即可得到答案； （2）根据（1）所求可知正方形的边长为6厘米，用长方形纸片的面积除以边长为6厘米的正方形面积即可得到答案． 【解答】解：（1）∵30＝1×2×3×5，18＝1×2×3×3， ∴30和18的公因数有1，2，3，6， 答：有3种不同的剪法，正方形的边长分别为2厘米，3厘米，6厘米； （2）30×18÷（6×6）＝15个， 答：该长方形能剪出15个正方形． 【点评】本题主要考查了求两个数的公因数，数的整除，关键是根据题意只需要求出30和18的公因数解答． 【考点3】公倍数与最小公倍数（第27-35题） ※方法总结 求最小公倍数： 方法一：列举法；方法二：分解素因数法取所有最高次幂；方法三：短除法。 应用题： 同时发车/相遇问题——时间是间隔时间的公倍数；铺砖问题——正方形边长是长和宽的公因数。 中国剩余定理： "除以a余m，除以b余n"类问题，可转化为"某数加/减某值后为a和b的公倍数"。 公式逆用： 已知最大公因数和最小公倍数，求原数：设两数为ag、bg（g为最大公因数），则abg＝最小公倍数。 27．（2026春•上海校级月考）6和8这两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的比是（　　） A．12：1 B．1：12 C．6：1 D．1：6 【分析】求出6和8的最大公因数和最小公倍数，再求对应的比即可得到答案． 【解答】解：∵6和8的最大公因数为2，最小公倍数为2×3×4＝24， ∴2：24＝1：12． 故选：B． 【点评】本题主要考查最小公倍数及最大公因数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 28．（2025秋•青浦区校级期中）甲乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，若甲数是6，则乙数是（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 【分析】利用两数乘积等于最大公因数与最小公倍数的乘积的性质，直接计算乙数． 【解答】解：∵甲×乙＝最大公因数×最小公倍数， 给定最小公倍数＝90，最大公因数＝3，甲＝6， ∴6×乙＝3×90， ∴乙＝270÷6＝45． 故选：B． 【点评】本题考查了公因数与公倍数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 29．（2025•兴宁区校级开学）欢欢和乐乐同时从起点向同一方向跑，经过多少分钟后他们在起点第一次相遇．（　　） A．15 B．18 C．20 D．21 【分析】求出5和3的最小公倍数即可． 【解答】解：5和3的最小公倍数是5×3＝15， 所以经过15分钟后他们在起点第一次相遇． 故选：A． 【点评】本题考查了最小公倍数的应用，理解题意是解题的关键． 30．（2025秋•榆次区期末）元宵佳节挂花灯，花灯闪闪似繁星．两两数时剩一盏，三三数时能数尽，五五数时剩三盏，七七数时还缺二．这些花灯至少有　33　 盏． 【分析】设花灯的数量为m盏，分别列举出m除以2的余数为1的值，m能被3整除的值，m除以5的余数为3的值，m除以7的余数为5，找到同时满足这四个条件的最小的数即可得到答案． 【解答】解：设花灯的数量为m盏， ∵两两数时剩一盏， ∴m的值可以为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，…， ∵三三数时能数尽， ∴m的值可以为3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，…， ∵五五数时剩三盏， ∴m的值可以为3，8，13，18，23，28，33，38，43，48，…， ∵七七数时还缺二， ∴m的值可以为5，12，19，26，33，40，…， ∴能同时满足四个条件的最小的数为33， ∴这些花灯至少有33盏， 故答案为：33． 【点评】本题主要考查了最小公倍数的应用，解题的关键是数字类的规律探索、逐步确定． 31．（2025秋•深圳校级期末）学校为艺术节准备了一批小礼品．如果将这些礼品3个3个地分，最后剩下1个；5个5个地分，最后剩下2个；7个7个地分，最后剩下2个．这批礼品最少有　37　 个． 【分析】根据“5个5个地分，最后剩下2个；7个7个地分，最后剩下2个”，所以这个数减去2后既是5的倍数，也是7的倍数，因为5和7互为质数，所以最小公倍数是35，即这个数可以表示为35n+2（n为正整数），再结合“如果将这些礼品3个3个地分，最后剩下1个”可得答案． 【解答】解：∵5个5个地分，最后剩下2个；7个7个地分，最后剩下2个， ∴这个数减去2后既是5的倍数，也是7的倍数， ∵5和7互为质数，所以最小公倍数是35， ∴这个数可以表示为35n+2（n为正整数）， 当n＝1时，这个数为37， ∵37个满足将这些礼品3个3个地分，最后剩下1个， ∴这批礼品最少有37个． 故答案为：37． 【点评】本题考查了最小公倍数的应用，正确用代数式表示出这批礼品的个数是解答本题的关键． 32．（2025秋•虹口区校级期中）某公共汽车始发站，1路车每隔5分钟发车一次，2路车每8分钟发车一次，这两路汽车同时发车后，至少再经过　40　 分钟后同时发车． 【分析】因为两车是同时发车的，那么下次同时发车的时间即为5和8的最小公倍数，据此求解即可． 【解答】解：∵5和8的最小公倍数为40， ∴至少再经过40分钟后同时发车， 故答案为：40． 【点评】本题考查了求两个数的最小公倍数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 33．（2025秋•虹口区校级期中）两个正整数的最大公因数是17，最小公倍数是204，求：这两个数． 【分析】设这两个数分别为17a，17b（a，b为正整数，且a与b互质），根据题意得出ab＝12，得出a＝1，b＝12；a＝2，b＝6，或a＝3，b＝4，（不符合题意舍去），然后代入依次计算即可． 【解答】解：设这两个数分别为17a，17b（a，b为正整数，且a与b互质）， 由题意可得17ab＝204， 则ab＝12， 12＝1×12＝2×6＝3×4， 当a＝1，b＝12时，17a＝17，17b＝204， 当a＝2，b＝6时，17a＝34，17b＝102（不符合题意舍去）， 当a＝3，b＝4时，17a＝51，17b＝68， 故这两个数分别为17，204或51，68． 【点评】此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是理解：最大公约数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积． 34．（2025•宝山区校级开学）甲、乙两个车站，长3600米，路旁有路标，原来每40米一个（起点、终点各有一个），现在要改成50米一个，将有多少旧路标可以留用？ 【分析】由40，50的最小公倍数是200，得200的倍数可以不用移动，3600÷200＝18，加上起点，即可求解． 【解答】解：40＝2×2×2×5，50＝2×5×5 40和50的最小公倍数是：2×5×2×2×5＝200， 3600÷200＝18（个）， 18+1＝19（个）， 答：将有19个旧路标可以留用． 【点评】本题主要考查了最小公倍数的应用，解题的关键是掌握最小公倍数的求法． 35．（2025秋•闵行区校级期中）在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 【分析】要使拔除的杂草正好被全部运走，那么男生拔草的捆数和女生运草的捆数应该相等，也就是找到6和10的最小公倍数，然后根据最小公倍数分别计算出男生和女生的人数． 【解答】解：男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草． 6和10的最小公倍数为30， 男生人数：30÷6＝5（人） 女生人数：30÷10＝3（人） 答：每一小组至少需要男生5人、女生3人． 【点评】本题考查最小公倍数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 【考点4】创新及压轴题（第36-40题） ※方法总结 新定义运算： 如"最优分解"——将n写成p×q（p≤q），使q-p最小，则F(n)＝p/q。需先分解素因数再配对。 几何应用： 裁剪问题——裁成正方形用最大公因数，拼成正方形用最小公倍数。 周期问题： 多台设备同时开始工作，再次同时开始的时间是各周期的最小公倍数。 路灯/植树问题： 在直线上等距安装，两端都装——间隔＝最大公因数，数量＝周长÷间隔＋1（封闭图形）或（长＋宽）×2÷间隔。 36．（2025秋•嘉定区校级月考）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果q﹣p最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定在最优分解时，（例如：18的最优分解是3×6，） （1）F（24）＝　　 ，F（16）＝　1　 ； （2）若，且a为300以内的正整数，求a的值． 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）设a＝5m×6m＝30m2，根据a为300以内的正整数，求出m可能取的数，即可求解． 【解答】解：（1）24的最优分解为4×6，， 16的最优分解为4×4，， 故答案为：，1； （2）因为， 所以设a＝5m×6m＝30m2，m为正整数， 因为a为300以内的正整数， 所以30m2≤300， 所以m2≤10， 所以m为1或2或3， 当m＝3时，a＝30×32＝270； 当m＝1时，a＝30×12＝30； 当m＝2时，a＝30×22＝120； 综上可知，a的值为30，120或270． 【点评】本题考查新定义运算，分解质因数，理解新定义是解题的关键． 37．（2025秋•杨浦区期中）有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． （1）如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ （2）如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 【分析】（1）把长方形裁成无剩余的正方形，正方形边长得是长和宽的最大公因数，正确求解即可． （2）要拼成正方形，正方形边长得是长方形长和宽的公倍数，求最短边长就是求最小公倍数，正确求解即可． 【解答】解：（1）∵长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米，且20＝5×2×2，30＝5×2×3， ∴20和30的最大公因数是10， ∴正方形边长至多是10厘米， 答：正方形的边长至多为10厘米； （2）∵5×2×3×2＝60， ∴20和30的最小公倍数是60， ∴这个正方形边长至少是60厘米， 答：正方形的边长至少为60厘米． 【点评】本题考查最小公倍数的应用和最大公因数的应用，解答本题的关键是会正确求最大公因数和最小公倍数． 38．（2025秋•静安区校级期中）近年来我国“授时中心”屡遭网络攻击，中国科学院国家授时中心是“北京时间”的源头产生和保持的国家标准时间与国际协调世界时UTC的偏差数值保持在3纳秒以内． 某云计算中心有3台核心服务器，凌晨00：00时同时完成首次数据同步并开始下一轮周期．各服务器数据同步与休整周期如下： 服务器A：数据同步需24分钟，同步后休整12分钟； 服务器B：数据同步需18分钟，同步后休整9分钟； 服务器C：数据同步需30分钟，同步后休整15分钟． 试问：从凌晨00：00开始，至少经过多少分钟3台服务器会再次同时开始数据同步？此时是几点几分？ 【分析】先求出3台服务器数据同步以及同步后休整的时间和，再求出它们的最小公倍数，即可解决问题． 【解答】解：服务器A：24+12＝36（分钟）， 服务器B：18+9＝27（分钟）， 服务器C：30+15＝45（分钟）， ∵36＝9×4，27＝9×3，45＝9×5， ∴36、27、45的最小公倍数为9×4×3×5＝540， ∴540÷60＝9（小时）， 答：从凌晨00：00开始，至少经过540分钟3台服务器会再次同时开始数据同步，此时是上午9点00分． 【点评】本题考查了最小公倍数的应用，熟练掌握最小公倍数是解题的关键． 39．（2025秋•杨浦区校级月考）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果q﹣p的值最小，我们就称是n的“最优分解”，并规定在“最优分解”时；． 例如18可以分解成1×18，2×9，3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的“最优分解”，． （1）F（24）＝　　 ，F（25）＝　1　 ； （2）若且a为200以内的正整数，求a的值． 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）设a＝5m×6m＝30m2，根据a为200以内的正整数，求出m可能取的数，即可求解． 【解答】解：（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6， ∵24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4， ∴24的最优分解为4×6，． 25＝1×5＝5×5， ∵5﹣1＞5﹣5， ∴25的最优分解为5×5，， 故答案为：，1； （2）∵， ∴设a＝5m×6m＝30m2，m为正整数， ∵a为200以内的正整数， ∴30m2≤200， ∴， ∴m为1或2， 当m＝1时，a＝30×12＝30； 当m＝2时，a＝30×22＝120； a的值为30或120． 【点评】本题考查新定义运算，分解质因数，理解新定义是解题的关键． 40．（2025秋•宝山区校级月考）为美化市容市貌，市政府决定对某地区进行整改，有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是45米，现在要改成相距都是60米，且起点那根电线杆不动． （1）从起点开始到第一根不需移动的电线杆之间的距离是多少米？ （2）从第一根电线杆之间的距离有1800米，除第一根电线杆外，不需移动位置的电线杆共有多少根？ 【分析】（1）即求45和60的最小公倍数，先把45和60进行分解质因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；由此解答即可； （2）用1800除以45和60的最小公倍数，求出它们的商后即可求解． 【解答】解：（1）45＝3×3×5，60＝2×2×3×5， 所以45和60的最小公倍数是2×2×3×3×5＝180． 答：从起点开始到第一根不需要动的电线杆之间的距离是180米； （2）1800÷180＝10（根）， 答：从第一根电线杆之间的距离有1800米，除第一根电线杆外，不需移动位置的电线杆共有10根． 【点评】本题考查了公倍数的应用，关键是熟练掌握求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 随堂检测 · 精选练习 练习1 — 求8和12的最大公因数（列举法或分解素因数法）。 练习2 — 已知a＝2×3×5×m，b＝3×5×7×m，若最大公因数为30，求m的值。 练习3 — 士兵报数问题：第一次1-4报数，第二次1-6报数，两次都报3的有5名，求最多人数。 练习4 — 一个两位数除以5余3，除以7余5，求最大两位数。 练习5 — 密码锁问题：A是7的最大因数，B的所有因数是1/2/4/8，C是最小自然数，D是最小素数×3，E只有一个因数，F是最小合数，求密码及能否被3整除。 【练习1】（2025秋•嘉定区期末）8和12的最大公因数是 　4　 ． 【分析】分别求出18和12的因数，它们最大是6． 【解答】解：8＝4×2，12＝4×3， 根据最大公因数的定义，可得8和12的最大公因数是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了最大公因数；熟练掌握有理数的公因数的求法是解题的关键． 【练习2】（2025秋•靖江市月考）把自然数分解质因数，得到a＝2×3×5×m，b＝3×5×7×m．①已知a和b的最大公因数是30，则m是　2　 ，②a和b的最小公倍数是　420　 ． 【分析】由题可知a和b的最大公因数为3×5×m，建立等量关系求解即可；a和b的最小公倍数为：2×3×5×7×m，代入m的值即可． 【解答】解：①∵b＝3×5×7×m，a＝2×3×5×m， ∴a和b的最大公因数为3×5×m， ∴3×5×m＝30，m＝2； 故答案为：2； ②a和b的最小公倍数为：2×3×5×7×m＝2×3×5×7×2＝420， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的相关知识，解题关键是掌握最大公因数和最小公倍数的定义及求法． 【练习3】（2025•重庆校级开学）一列士兵排成一横队，第一次从左到右1至4报数，第二次从右往左1至6报数，两次都报3的恰好有5名，这列士兵最多有　67　 名． 【分析】先理解题意，整理得4和6的最小公倍数为12，结合两次都报3的恰好有5名，且要求出这列士兵最多的人数，故列式12×5+6+1＝67（名），即可作答． 【解答】解：∵第一次从左到右1至4报数，第二次从右往左1至6报数， 4和6的最小公倍数为12， ∵两次都报3的恰好有5名， ∴12×5+6+1＝67（名） ∴这列士兵最多有67名， 故答案为：67． 【点评】本题考查了最小公倍数，解题的关键是掌握最小公倍数的求法． 【练习4】（2025春•天心区校级月考）一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是　68　 ． 【分析】设这个两位数为a，则10≤a≤99，根据a除以5余3，除以7余5，得a+2能被5和7整除，进而得a+2＝35或a+2＝70，由此求出a即可得出答案． 【解答】解：设这个两位数为a，则10≤a≤99， ∵a除以5余3，除以7余5， ∴a+2能被5和7整除， ∴a+2是5和7的公倍数， ∴a+2＝35或a+2＝70， 由a+2＝35，解得：a＝33， 由a+2＝70，解得：a＝68， 这个两位数最大是68． 故答案为：68． 【点评】此题主要考查了数的整除，根据一个两位数除以5余3，除以7余5，得出这个两位数加上2能被5和7整除是解决问题的关键． 【练习5】（2025秋•浦东新区校级期中）小梅的日记本带有密码锁，她为了防备自己忘记密码，在另一本本子上做了记录： A B C D E F A是7的最大因数；B的所有因数是1、2、4、8；C是最小的自然数；D是最小的素数与3的乘积；E只有一个因数；F是最小的合数．小梅日记本的密码是　780614　 ，这个6位数　不能　 被3整除（填“能”或“不能”）． 【分析】通过因数、自然数、素数、合数的定义，确定密码各位数字为 7、8、0、6、1、4，组成 780614；再计算数字和26，因26不能被3整除，故该数不能被3整除． 【解答】解：∵A是7的最大因数，一个数的最大因数是自身， ∴A＝7， ∵B的所有因数是1、2、4、8，最大因数是自身， ∴B＝8， ∵C是最小的自然数，最小自然数为0， ∴C＝0， ∵D是最小的素数与3的乘积，最小素数是2， ∴D＝2×3＝6， ∵E只有一个因数，只有1有1个因数， ∴E＝1， ∵F是最小的合数，最小合数是4， ∴F＝4， ∴密码为各数字按顺序连接：780614； ∵被3整除的条件是各位数字之和能被3整除 ∴计算数字和：7+8+0+6+1+4＝26，26÷3＝8余2， ∴不能被3整除． 故答案为：780614；不能． 【点评】本题考查素数，数的整除以及数的基本概念，属于基础题． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 — 判断哪些数对互素（互质）。 作业2 — 把36分解素因数，选择正确的算式。 作业3 — "孪生质数"判断：相差2的两个质数，从选项中找出符合条件的数对。 作业4 — 关于1的正确说法：1是素数/合数/既不是素数也不是合数。 作业5 — 下列说法的正确性判断：整除/偶数/相邻正整数/倍数与因数关系。 作业6 — 错误句子个数判断：关于素数、合数、互素的四种说法。 作业7 — 已知a、b、c都是质数，且a+b＝33，b+c＝44，c+d＝66，求bd的值。 作业8 — 求90与105的最小公倍数。 作业9 — 钢笔装盒问题：每盒4支剩1支，每盒6支剩3支，每盒8支剩5支，求最少钢笔数。 作业10 — 已知A＝2×2×5×7，B＝2×3×5×7，求A、B的最小公倍数。 作业11 — 从给定数集中找出素数的个数。 作业12 — 一等奖中奖号码：百位是最小素数，十位是最小合数，个位是最小自然数，求号码。 作业13 — 两个正整数最大公因数是4，最小公倍数是72，求这两个数。 作业14 — 植树问题：长480米大路两侧每隔8米栽树（首尾都栽），改为每隔6米栽一棵，求不需要移栽、需要重新栽、需要拔掉的树各多少棵。 作业15 — 阅读材料：辗转相除法求最大公约数，求1734、816、1343的最大公约数。 ❤ 复习建议 本讲重点掌握素数与合数的概念、分解素因数的方法（短除法）、最大公因数和最小公倍数的求法及应用。特别注意：①1既不是素数也不是合数；②互素是指两个数的关系；③应用题（裁剪、铺砖、发车、植树）要正确区分使用最大公因数还是最小公倍数。 【作业1】（2025秋•青浦区校级期中）下列哪个选项中的两个正整数是互素的（　　） A．2和88 B．40和55 C．8和15 D．26和65 【分析】根据互质数的定义来解答． 【解答】解：2和88有公因数2，故A选项不符合题意； 40和55有公因数5，故B选项不符合题意； 8和15只有公因数1，故C选项符合题意； 26和65有公因数13，故D选项不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了质数，解题的关键是根据互质数的定义来解答． 【作业2】（2025秋•黄浦区校级期中）把36分解素因数正确的算式是（　　） A．36＝1×2×2×3×3 B．36＝2×3×6 C．36＝2×2×3×3 D．36＝6×6 【分析】根据分解素因数的方法即可得出答案． 【解答】解：∵36÷2＝18， 18÷2＝9， 9÷3＝3， ∴36＝2×2×3×3， 故选：C． 【点评】本题考查了分解素因数，掌握任何一个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解素因数是解题的关键． 【作业3】（2025•福州开学）数学上把相差2的两个质数叫做“孪生质数”，例如5和7相差2，且两个数都是质数，那么5和7就是“孪生质数”．下列四组数中是“孪生质数”的是（　　） A．2和3 B．3和5 C．9和11 D．13和15 【分析】依次判断每个选项中的两个数是否为质数，且是否相差2，从而确定符合“孪生质数”的选项． 【解答】解：A、3是质数，2也是质数，但3﹣2＝1≠2，2和3不是“孪生质数”，不符合题意． B、3是质数，5也是质数，且5﹣3＝2，3和5是“孪生质数”，符合题意． C、9不是质数（9＝3×3），9和11不是“孪生质数”，不符合题意． D、15不是质数（15＝3×5），13和15不是“孪生质数”，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了“孪生质数”的概念，熟练掌握质数的定义以及“孪生质数”的定义是解题的关键． 【作业4】（2025秋•崇明区期中）下列说法中，正确的是（　　） A．1是素数 B．1是合数 C．1既是素数又是合数 D．1既不是素数也不是合数 【分析】由素数，合数的定义，即可判断． 【解答】解：1即不是素数，也不是合数， 故答案为：D． 【点评】本题考查素数，合数的概念，关键是掌握素数，合数的定义． 【作业5】（2025秋•徐汇区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．因为5÷0.5＝10，所以5能被0.5整除 B．所有的偶数都是合数 C．相邻的两个正整数互素 D．一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大 【分析】根据整除的定义、质数、偶数、倍数和合数的定义逐项判断即可． 【解答】解：A．0.5不是整数，不符合整除的定义，故此选项不符合题意； B．2是偶数，但2不是合数，原说法错误，故此选项不符合题意； C．两个相邻的正整数的公因数只有1，两个相邻的正整数互素，故此选项符合题意； D．一个正整数的倍数可能等于其因数（如2的倍数2等于其因数2），故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了整除、质数、合数、奇数和偶数的含义和判断，要熟练掌握． 【作业6】（2025秋•普陀区校级月考）下列句子中错误的句子有（　　）个． ①所有正整数，不是素数就是合数； ②互素的两个数一定都是素数； ③两个数的最小公倍数一定能被两个数的最大公因数整除； ④两个互素的数没有公因数． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据相关定义，逐一进行判断即可． 【解答】解：①1既不是素数也不是合数，故“所有正整数，不是素数就是合数”的说法错误； ②互素的两个数不一定都是素数，比如8和9互素，但8和9都是合数，故“互素的两个数一定都是素数”的说法错误； ③两个数的最小公倍数一定能被两个数的最大公因数整除，故原说法正确； ④两个互素的数有公因数1，故原说法错误； 说法错误的句子有3个， 故选：C． 【点评】本题考查素数，合数，公因数和最小公倍数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【作业7】（2025秋•金山区校级月考）a，b，c都是质数，并且a+b＝33，b+c＝44，c+d＝66，那么bd＝（　　） A．1643 B．1104 C．1552 D．1362 【分析】质数中，除了2，其余的都是奇数，而两个奇数的和是偶数，一奇一偶和才能得到奇数，所以这里a一定是2，然后求出b，进而求出c，最后求出d，即可求解． 【解答】解：由题意可得： 则a，b为一奇一偶，b，c，d同奇同偶， 又∵质数只有一个偶数2， ∴a＝2，b＝31，c＝13，d＝53， ∴bd＝31×53＝1643， 故选：A． 【点评】本题考查的是质数的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业8】（2025秋•虹口区校级期中）90与105的最小公倍数是　630　 ． 【分析】两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可． 【解答】解：90＝2×3×3×5， 105＝3×5×7， 所以90与105的最小公倍数是：2×3×3×5×7＝630． 答：90与105的最小公倍数是630． 故答案为：630． 【点评】此题主要考查有理数的乘除法，求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 【作业9】（2025秋•朝阳期末）今有钢笔不知其数．若每盒装四支，则剩一支；若每盒装六支，则剩三支；若每盒装八支，则剩五支．那么至少有钢笔　21　 支． 【分析】通过观察余数，发现钢笔数加3后能被4、6、8整除，因此求4、6、8的最小公倍数24，则钢笔数为24的倍数减3，取最小正整数21． 【解答】解：由题意得钢笔数加3后能被4、6、8整除， 则4、6、8的最小公倍数是24， 所以24﹣3＝21（支）， 即至少有钢笔21支， 故答案为：21． 【点评】本题考查了数的整除，最小公倍数，关键是相关定义的熟练掌握． 【作业10】（2025秋•青浦区校级期中）已知A＝2×2×5×7，B＝2×3×5×7，则A、B的最小公倍数　420　 ． 【分析】根据最小公倍数的求法列式计算即可． 【解答】解：因为A＝2×2×5×7，B＝2×3×5×7， 所以A与B的最小公倍数＝2×5×7×3×2＝420， 故答案为：420． 【点评】本题考查了最小公倍数，解题的关键是根据最小公倍数的求法列式计算． 【作业11】（2025秋•浦东新区校级期中）下列各数：11、31、51、71、91中，素数有　3　 个． 【分析】根据素数的定义即可判断． 【解答】解：91＝1×91，91＝7×13；51＝1×51，51＝3×17， 11、31、71的因数均只有1和它们本身． 故答案为：3． 【点评】本题考查素数（质数）的概念，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业12】（2025秋•黄浦区期中）某商店开展有奖购物活动，其中一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上是最小的素数，十位上是最小的合数，个位上是最小的自然数，一等奖的中奖号码是 　240　 ． 【分析】根据自然数、质数（素数）、合数的定义：表示物体个数的数叫做自然数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．最小的自然数是0，最小的合数是4，最小的质数（素数）是2，由此即可得到答案． 【解答】解：∵百位上是最小的素数，十位上是最小的合数，个位上是最小的自然数， ∴百位上是2，十位上是4，个位上是0， ∴一等奖的中奖号码是三位数240； 故答案为：240． 【点评】本题考查自然数、质数（素数）、合数的定义，理解相关概念，明确：最小的自然数是0，最小的合数是4，最小的质数（素数）是2是解决问题的关键． 【作业13】（2025秋•浦东新区校级期中）两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是72，求这两个正整数分别是多少？ 【分析】用最小公倍数除以最大公约数即72÷4＝18，就是说18是里含有两个数各自含有的质因数，因此把18分解质因数：18＝2×3×3，就是这两个数一个里含有质因数2，一个里含有质因数3，据此解答． 【解答】解：∵72÷4＝18；18＝2×3×3； ∴这两个数一个里含有质因数2，一个里含有质因数3， ∵两个正整数最大公约数是4， ∴4×2＝8；4×3×3＝36， ∴这两个数是4和72或8和36． 综上所述：4和72或8和36． 【点评】此题主要考查了最大公因数和最小公倍数，正确把握最大公因数以及最小公倍数的定义是解题关键． 【作业14】（2025秋•浦东新区期中）（植树问题）在一条长480米的大路两侧每隔8米栽树（首尾都栽），现在改为每隔6米栽一棵，那么不需要移栽的树有多少棵？需要重新栽上多少棵？需要拔掉多少棵？ 【分析】植树问题，求出6，8的最小公倍数，得到距离为24米的倍数的位置上的树不用移栽，求总长除以6再加上1就是一侧要栽的树，减去一侧不用移栽的数量，即为需要重新栽的树的数量，再乘以2，即为需要重新栽的树，总长除以8再加上1就是原来一侧的数量，减去不需要移栽的数量即为一侧要拔掉的数量，再乘以2，即为需要拔掉的总量． 【解答】解：∵8和6的最小公倍数为24， ∴不需要移栽的树有[（480÷24）+1]×2＝42（棵）； 需要重新栽上的有[（480÷6）+1]×2﹣42＝120（棵）； 需要拔掉的有[（480÷8）+1]×2﹣42＝80（棵）； 答：不需要移栽的树有42棵，需要重新栽上120棵，需要拔掉80棵． 【点评】本题考查最小公倍数的应用，掌握最小公倍数的应用是解题的关键． 【作业15】（2025秋•嘉定区校级月考）阅读下面材料，并解答问题． 辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的算法，又叫欧几里得算法，下面具体讲解． 对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数为零，则较小的数即为两数的最大公约数；若余数不为零，则将除数与余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数． 举例：利用辗转相除法求228与1995的最大公约数． 解析：∵1995÷228＝8⋯171，228÷171＝1⋯57，171÷57＝3 ∴228与1995的最大公约数为57． 请你解决如下问题：求1734，816，1343的最大公约数． 【分析】仿照例子求解过程，先求得1734与816的最大公约数是102，再求102与1343的最大公约数即可求解． 【解答】解：∵816÷102＝8，1734÷816＝2…102， ∴1734与816的最大公约数是102， ∵1343÷102＝13…17，102÷17＝6， ∴102与1343的最大公约数是17， ∴最大公约数是17． 【点评】本题考查最大公约数和整除问题，理解辗转相除法是解答的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 分解素因数（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解 素数与合数的定义，能准确判断一个数是素数还是合数，理解1的特殊性（既不是素数也不是合数）。 掌握 分解素因数的方法（短除法），能正确将一个合数写成素因数乘积的形式。 熟练运用 求两个数的最大公因数和最小公倍数，解决植树问题、铺砖问题等实际应用。 体会 互素的概念，理解"两数只有公因数1"的含义，培养数感和逻辑推理能力。 ✨ 核心思想：素因数是整数的"基因"，分解素因数是数论问题的基础工具。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 素数与合数 素数（质数）的定义：一个大于1的正整数，如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做素数（或质数）。 要点①： 素数只有2个因数（1和本身），如2、3、5、7、11、13、17、19… 要点②： 合数：一个大于1的正整数，如果除了1和它本身还有别的因数，这个数叫做合数。如4、6、8、9、10… 要点③： 1既不是素数也不是合数。素数和合数是对大于1的正整数进行分类的两个类别。 ※20以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。注意：2是唯一的偶素数。 【例】下列各数不是素数的是（ ）A.1 B.2 C.89 D.97 解析：1既不是素数也不是合数；2、89、97都是素数。故选A。 ☆ 2. 互素（互质） 互素的定义：如果两个正整数只有公因数1，那么这两个数叫做互素的（也叫互质）。 要点①： 互素是指两个数的关系，不是指一个数是素数。两个合数也可能互素（如8和9）。 要点②： 判断方法：求出两个数的所有公因数，如果只有1，则互素。 ※常见互素情况：相邻的两个正整数互素（如3和4）；一个素数和一个不是它倍数的数互素（如5和6）。 【例】下列各对数中，互素的是（ ）A.9和16 B.12和24 C.11和24 D.15和21 解析：9和16都是合数，但只有公因数1，故互素；12和24有公因数1、2、3、4、6、12，不互素；11是素数，但24含有因数2和3，11和24互素；15和21有公因数1、3，不互素。故选AC。 ☆ 3. 分解素因数 分解素因数的定义：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 要点①： 分解素因数要求每个因数都必须是素数，如12＝2×2×3（正确），12＝2×6（错误，6不是素数）。 要点②： 短除法：用素数从小到大依次去除，直到商为素数为止，再把所有除数和最后的商连乘。 ※书写规范：素因数按从小到大排列，相同的素因数写成幂的形式，如60＝2²×3×5。 【例】分解素因数：60＝______ 解析：60＝2×2×3×5＝2²×3×5。 ☆ 4. 公因数与最大公因数 公因数的定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做最大公因数。 求法一： 列举法——分别列出各数的所有因数，找出公有因数中最大的。 求法二： 分解素因数法——把各数分解素因数，取公有素因数的乘积。 要点： 如果两个数互素，它们的最大公因数是1；如果两个数成倍数关系，较小数就是最大公因数。 ※应用：把一个长方形剪成大小相等的正方形（无剩余），正方形边长最大是长和宽的最大公因数。 【例】12和16的最大公因数是（ ）A.2 B.4 C.6 D.8 解析：12＝2²×3，16＝2⁴，公有素因数为2²＝4。故选B。 ☆ 5. 公倍数与最小公倍数 公倍数的定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个（非零），叫做最小公倍数。 求法一： 列举法——分别列出各数的倍数（限定范围内），找出公有倍数中最小的。 求法二： 分解素因数法——把各数分解素因数，取所有素因数的最高次幂的乘积。 要点： 如果两个数互素，它们的最小公倍数是两数之积；如果两个数成倍数关系，较大数就是最小公倍数。 ※应用：环形跑道上两人同时同地出发，首次相遇时经过的时间是两个人周期的最小公倍数。 【例】6和8的最小公倍数是______ 解析：6＝2×3，8＝2³，最小公倍数＝2³×3＝24。 ☆ 6. 知识总结表 核心概念 要点 注意事项 素数 只有1和本身两个因数 1不是素数，2是唯一偶素数 合数 除了1和本身还有别的因数 1不是合数 互素 两个数的公因数只有1 两个合数也可能互素 分解素因数 用素数相乘表示合数 每个因数必须是素数 最大公因数 公有素因数之积 互素时最大公因数为1 最小公倍数 所有素因数最高次幂之积 互素时最小公倍数为两数之积 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】素数、合数与分解素因数（第1-14题） ※方法总结 判断素数： 除了1和本身外，不能被其他正整数整除。检查从2到√n之间是否有因数。 分解素因数： 用短除法，从小到大用素数（2、3、5、7…）依次试除。 互素判断： 求出两个数的所有公因数，如果只有1则互素。 新定义问题： 如"⌊m⌋表示不是m的素因数的最小素数"，需先分解素因数再判断。 1．（2025秋•静安区校级期中）下列各数不是素数的是（　　） A．1 B．2 C．89 D．97 2．（2025秋•奉贤区期中）下列正整数中，属于合数的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025•宝山区校级开学）下面各组中的三个连续自然数都是合数的是（　　） A．88，89，90 B．55，56，57 C．31，32，33 D．27，28，29 4．（2025•宝山区校级开学）下列各组数，既是合数又是互素的数是（　　） A．9和16 B．12和24 C．11和24 D．15和21 5．（2025秋•浦东新区校级月考）有下列语句：①合数都是偶数；②素数都是奇数；③自然数不是素数就是合数；④不存在最大的合数．其中叙述不正确的语句有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025秋•浦东新区期末）分解素因数：60＝ 　 　 ． 7．（2025秋•青浦区校级期中）把42分解素因数，那么42＝　 　 ． 8．（2025秋•青浦区校级期中）下列各对数：①1和3；②5和6；③3和51中，互素的是　 　 （填序号）． 9．（2025秋•青浦区校级期中）在2、3、4、5、6中，与2互素的有　 　 ． 10．（2025秋•青浦区校级期中）规定一种新的运算：对于一个合数m，〈m〉表示不是m的素因数的最小素数，如〈6〉＝5，〈14〉＝3，那么〈40〉+〈36〉的值是　 　 ． 11．（2025•宝山区校级开学）三个连续自然数的乘积是210，求这三个数． 12．（2025秋•宝山区校级期中）用短除法分解素因数： （1）143； （2）216． 13．（2025秋•浦东新区校级月考）用短除法把下列各数分解素因数． （1）28； （2）48； （3）78． 14．（2025秋•金山区校级月考）已知a是一个素数，b是一个偶数，a2+b＝2018，求b的值，并把它分解素因数． 【考点2】公因数与最大公因数（第15-26题） ※方法总结 求最大公因数： 方法一：列举法；方法二：分解素因数法取公有部分；方法三：短除法。 应用题： 长方形剪成正方形——最大公因数是正方形最大边长；植树/路灯问题——最大公因数是最大间距。 关系： 如果a÷b＝整数（无余数），则a和b的最大公因数是b（较小数）。 公式： 两数之积＝最大公因数×最小公倍数。 15．（2025•长治开学）12和16的最大公因数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 16．（2025•绵阳校级开学）已知A、B是非0的自然数，A÷B＝最小的素数，A和B的最大公因数是（　　） A．1 B．A C．B 17．（2025秋•虹口区期中）一张长48厘米、宽36厘米的长方形纸板裁成若干个同样大小的正方形，且纸板无剩余，正方形边长最大是（　　） 厘米． A．12 B．8 C．6 D．4 18．（2025秋•松江区校级月考）长方形的地面用整块的正方形地砖恰好铺满．地面长600厘米，宽是480厘米．若想用尺寸较大的地砖来铺，地砖有30×30、40×40、60×60、80×80（单位：厘米×厘米）四种尺寸应选（　　） A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×80 19．（2025秋•长宁区期末）整数18和24的最大公因数是 　 　 ． 20．（2025秋•奉贤区期中）如图，根据短除法计算，正整数A、B的最大公因数是　 　 ． 21．（2025秋•闵行区期中）如图，街道ABC在点B处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯，要求在点A，B，C处各安装一盏路灯，问最少要安装　 　 盏路灯． 22．（2025秋•普陀区期中）如果A和B的最大公因数是21，且A＝2×3×m，B＝3×5×m，那么m＝ 　 　 ． 23．（2025•宝山区校级开学）学校的一个长方形操场，长225米，宽145米，四个角和四周都需要种树，相邻两棵树间的距离相等，问学校至少要种多少棵树？ 24．（2025秋•松江区期中）某小区内部道路如图所示，AB长84m，BC长72m，CD长84m，要在这条道路的一侧等距离安装地面照明灯，且要求两端和转弯处都必须安装，那么这条道路最少要安装多少盏地面照明灯？ 25．（2024春•杨浦区校级月考）一块长方形草坪，长84米，宽48米，要在它的四周和四角种树，每相邻两棵树之间的距离相等，最大间距是多少米？最少要种多少棵树？ 26．（2024秋•普陀区校级月考）有一张长方形纸片，长为30厘米，宽为18厘米，如果要把这张纸片剪成大小相等的正方形纸片（正方形边长是大于1厘米的整数），而且没有剩余． （1）有几种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ （2）按正方形纸片可能的最大边长进行裁剪，该长方形能剪出几个正方形？ 【考点3】公倍数与最小公倍数（第27-35题） ※方法总结 求最小公倍数： 方法一：列举法；方法二：分解素因数法取所有最高次幂；方法三：短除法。 应用题： 同时发车/相遇问题——时间是间隔时间的公倍数；铺砖问题——正方形边长是长和宽的公因数。 中国剩余定理： "除以a余m，除以b余n"类问题，可转化为"某数加/减某值后为a和b的公倍数"。 公式逆用： 已知最大公因数和最小公倍数，求原数：设两数为ag、bg（g为最大公因数），则abg＝最小公倍数。 27．（2026春•上海校级月考）6和8这两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的比是（　　） A．12：1 B．1：12 C．6：1 D．1：6 28．（2025秋•青浦区校级期中）甲乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，若甲数是6，则乙数是（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 29．（2025•兴宁区校级开学）欢欢和乐乐同时从起点向同一方向跑，经过多少分钟后他们在起点第一次相遇．（　　） A．15 B．18 C．20 D．21 30．（2025秋•榆次区期末）元宵佳节挂花灯，花灯闪闪似繁星．两两数时剩一盏，三三数时能数尽，五五数时剩三盏，七七数时还缺二．这些花灯至少有　 　 盏． 31．（2025秋•深圳校级期末）学校为艺术节准备了一批小礼品．如果将这些礼品3个3个地分，最后剩下1个；5个5个地分，最后剩下2个；7个7个地分，最后剩下2个．这批礼品最少有　 　 个． 32．（2025秋•虹口区校级期中）某公共汽车始发站，1路车每隔5分钟发车一次，2路车每8分钟发车一次，这两路汽车同时发车后，至少再经过　 　 分钟后同时发车． 33．（2025秋•虹口区校级期中）两个正整数的最大公因数是17，最小公倍数是204，求：这两个数． 34．（2025•宝山区校级开学）甲、乙两个车站，长3600米，路旁有路标，原来每40米一个（起点、终点各有一个），现在要改成50米一个，将有多少旧路标可以留用？ 35．（2025秋•闵行区校级期中）在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 【考点4】创新及压轴题（第36-40题） ※方法总结 新定义运算： 如"最优分解"——将n写成p×q（p≤q），使q-p最小，则F(n)＝p/q。需先分解素因数再配对。 几何应用： 裁剪问题——裁成正方形用最大公因数，拼成正方形用最小公倍数。 周期问题： 多台设备同时开始工作，再次同时开始的时间是各周期的最小公倍数。 路灯/植树问题： 在直线上等距安装，两端都装——间隔＝最大公因数，数量＝周长÷间隔＋1（封闭图形）或（长＋宽）×2÷间隔。 36．（2025秋•嘉定区校级月考）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果q﹣p最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定在最优分解时，（例如：18的最优分解是3×6，） （1）F（24）＝　 　 ，F（16）＝　 　 ； （2）若，且a为300以内的正整数，求a的值． 37．（2025秋•杨浦区期中）有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． （1）如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ （2）如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 38．（2025秋•静安区校级期中）近年来我国“授时中心”屡遭网络攻击，中国科学院国家授时中心是“北京时间”的源头产生和保持的国家标准时间与国际协调世界时UTC的偏差数值保持在3纳秒以内． 某云计算中心有3台核心服务器，凌晨00：00时同时完成首次数据同步并开始下一轮周期．各服务器数据同步与休整周期如下： 服务器A：数据同步需24分钟，同步后休整12分钟； 服务器B：数据同步需18分钟，同步后休整9分钟； 服务器C：数据同步需30分钟，同步后休整15分钟． 试问：从凌晨00：00开始，至少经过多少分钟3台服务器会再次同时开始数据同步？此时是几点几分？ 39．（2025秋•杨浦区校级月考）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果q﹣p的值最小，我们就称是n的“最优分解”，并规定在“最优分解”时；． 例如18可以分解成1×18，2×9，3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的“最优分解”，． （1）F（24）＝　 　 ，F（25）＝　 　 ； （2）若且a为200以内的正整数，求a的值． 40．（2025秋•宝山区校级月考）为美化市容市貌，市政府决定对某地区进行整改，有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是45米，现在要改成相距都是60米，且起点那根电线杆不动． （1）从起点开始到第一根不需移动的电线杆之间的距离是多少米？ （2）从第一根电线杆之间的距离有1800米，除第一根电线杆外，不需移动位置的电线杆共有多少根？ 随堂检测 · 精选练习 练习1 — 求8和12的最大公因数（列举法或分解素因数法）。 练习2 — 已知a＝2×3×5×m，b＝3×5×7×m，若最大公因数为30，求m的值。 练习3 — 士兵报数问题：第一次1-4报数，第二次1-6报数，两次都报3的有5名，求最多人数。 练习4 — 一个两位数除以5余3，除以7余5，求最大两位数。 练习5 — 密码锁问题：A是7的最大因数，B的所有因数是1/2/4/8，C是最小自然数，D是最小素数×3，E只有一个因数，F是最小合数，求密码及能否被3整除。 【练习1】（2025秋•嘉定区期末）8和12的最大公因数是 　 　 ． 【练习2】（2025秋•靖江市月考）把自然数分解质因数，得到a＝2×3×5×m，b＝3×5×7×m．①已知a和b的最大公因数是30，则m是　 　 ，②a和b的最小公倍数是　 　 ． 【练习3】（2025•重庆校级开学）一列士兵排成一横队，第一次从左到右1至4报数，第二次从右往左1至6报数，两次都报3的恰好有5名，这列士兵最多有　 　 名． 【练习4】（2025春•天心区校级月考）一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是　 　 ． 【练习5】（2025秋•浦东新区校级期中）小梅的日记本带有密码锁，她为了防备自己忘记密码，在另一本本子上做了记录： A B C D E F A是7的最大因数；B的所有因数是1、2、4、8；C是最小的自然数；D是最小的素数与3的乘积；E只有一个因数；F是最小的合数．小梅日记本的密码是　 　 ，这个6位数　 　 被3整除（填“能”或“不能”）． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 — 判断哪些数对互素（互质）。 作业2 — 把36分解素因数，选择正确的算式。 作业3 — "孪生质数"判断：相差2的两个质数，从选项中找出符合条件的数对。 作业4 — 关于1的正确说法：1是素数/合数/既不是素数也不是合数。 作业5 — 下列说法的正确性判断：整除/偶数/相邻正整数/倍数与因数关系。 作业6 — 错误句子个数判断：关于素数、合数、互素的四种说法。 作业7 — 已知a、b、c都是质数，且a+b＝33，b+c＝44，c+d＝66，求bd的值。 作业8 — 求90与105的最小公倍数。 作业9 — 钢笔装盒问题：每盒4支剩1支，每盒6支剩3支，每盒8支剩5支，求最少钢笔数。 作业10 — 已知A＝2×2×5×7，B＝2×3×5×7，求A、B的最小公倍数。 作业11 — 从给定数集中找出素数的个数。 作业12 — 一等奖中奖号码：百位是最小素数，十位是最小合数，个位是最小自然数，求号码。 作业13 — 两个正整数最大公因数是4，最小公倍数是72，求这两个数。 作业14 — 植树问题：长480米大路两侧每隔8米栽树（首尾都栽），改为每隔6米栽一棵，求不需要移栽、需要重新栽、需要拔掉的树各多少棵。 作业15 — 阅读材料：辗转相除法求最大公约数，求1734、816、1343的最大公约数。 ❤ 复习建议 本讲重点掌握素数与合数的概念、分解素因数的方法（短除法）、最大公因数和最小公倍数的求法及应用。特别注意：①1既不是素数也不是合数；②互素是指两个数的关系；③应用题（裁剪、铺砖、发车、植树）要正确区分使用最大公因数还是最小公倍数。 【作业1】（2025秋•青浦区校级期中）下列哪个选项中的两个正整数是互素的（　　） A．2和88 B．40和55 C．8和15 D．26和65 【作业2】（2025秋•黄浦区校级期中）把36分解素因数正确的算式是（　　） A．36＝1×2×2×3×3 B．36＝2×3×6 C．36＝2×2×3×3 D．36＝6×6 【作业3】（2025•福州开学）数学上把相差2的两个质数叫做“孪生质数”，例如5和7相差2，且两个数都是质数，那么5和7就是“孪生质数”．下列四组数中是“孪生质数”的是（　　） A．2和3 B．3和5 C．9和11 D．13和15 【作业4】（2025秋•崇明区期中）下列说法中，正确的是（　　） A．1是素数 B．1是合数 C．1既是素数又是合数 D．1既不是素数也不是合数 【作业5】（2025秋•徐汇区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．因为5÷0.5＝10，所以5能被0.5整除 B．所有的偶数都是合数 C．相邻的两个正整数互素 D．一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大 【作业6】（2025秋•普陀区校级月考）下列句子中错误的句子有（　　）个． ①所有正整数，不是素数就是合数； ②互素的两个数一定都是素数； ③两个数的最小公倍数一定能被两个数的最大公因数整除； ④两个互素的数没有公因数． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业7】（2025秋•金山区校级月考）a，b，c都是质数，并且a+b＝33，b+c＝44，c+d＝66，那么bd＝（　　） A．1643 B．1104 C．1552 D．1362 【作业8】（2025秋•虹口区校级期中）90与105的最小公倍数是　 　 ． 【作业9】（2025秋•朝阳期末）今有钢笔不知其数．若每盒装四支，则剩一支；若每盒装六支，则剩三支；若每盒装八支，则剩五支．那么至少有钢笔　 　 支． 【作业10】（2025秋•青浦区校级期中）已知A＝2×2×5×7，B＝2×3×5×7，则A、B的最小公倍数　 　 ． 【作业11】（2025秋•浦东新区校级期中）下列各数：11、31、51、71、91中，素数有　 　 个． 【作业12】（2025秋•黄浦区期中）某商店开展有奖购物活动，其中一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上是最小的素数，十位上是最小的合数，个位上是最小的自然数，一等奖的中奖号码是 　 　 ． 【作业13】（2025秋•浦东新区校级期中）两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是72，求这两个正整数分别是多少？ 【作业14】（2025秋•浦东新区期中）（植树问题）在一条长480米的大路两侧每隔8米栽树（首尾都栽），现在改为每隔6米栽一棵，那么不需要移栽的树有多少棵？需要重新栽上多少棵？需要拔掉多少棵？ 【作业15】（2025秋•嘉定区校级月考）阅读下面材料，并解答问题． 辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的算法，又叫欧几里得算法，下面具体讲解． 对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数为零，则较小的数即为两数的最大公约数；若余数不为零，则将除数与余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数． 举例：利用辗转相除法求228与1995的最大公约数． 解析：∵1995÷228＝8⋯171，228÷171＝1⋯57，171÷57＝3 ∴228与1995的最大公约数为57． 请你解决如下问题：求1734，816，1343的最大公约数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $