第八讲 函数的解析式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数解析式这一高考核心考点，系统梳理换元法、配凑法等五种求解析式的常用方法及综合应用，知识点按方法逻辑层次递进。通过必掌握知识点梳理、题型分类指导、真题实例训练的教学流程，帮助学生构建解题框架，突破求解析式的难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以分层题型设计和方法归类为特色，如换元法题型引导学生从整体代换角度抽象函数关系培养数学眼光，待定系数法通过设函数形式列方程推理发展数学思维。设置单选、多选、解答题等分层练习，配合方法总结，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2027届高三数学一轮复习 第八讲 函数的解析式 【学习目标】会求简单函数的解析式. 【学习重点】求函数的解析式. 【学习难点】求函数的解析式. 必掌握知识点 求函数解析式的常用方法： 1.换元法 2.配凑法 3.待定系数法 4.构造方程组法 5.赋值法求解析式 必考题型全归纳 题型一 换元法（整体代换） 1．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得到，代入已知条件，化简整理，即可得出结果. 【详解】令，则，又， 所以，因此.故选：B. 2．已知f()＝x，则f(x)的表达式为(　  　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令,反解得出即可. 【详解】令,则,故 故选B 【点睛】本题主要考查复合函数的解析式,主要是换元反解代入的方法,属于基础题型. 题型二 配凑法（凑整体） 3（多选）．下列说法正确的是（   ） A．已知，则； B．已知，则； C．已知一次函数满足，则； D．定义在上的函数满足，则 【答案】ABD 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，故正确； 对于B，因为，因为，所以，故正确； 对于C，设， 则，所以，解得或， 所以或，故错误； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得，所以，故正确.故选：ABD. 题型三 待定系数法求函数解析式 4．已知函数是一次函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数的解析式为，根据，求得的值，即可求解. 【详解】设一次函数的解析式为， 因为，可得， 所以，解得，所以函数的解析式为.故选：B 5．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且． （1）求，的解析式； （2）若时，恒有成立，求的最大值． 【答案】（1）求，；（2）的最大值5. 【分析】（1）在中用代替，得到，两式联立得到解析式，设，根据条件，得到的值，从而求出的解析式.（2）根据，得到的取值范围，再根据题意，得到的最大值. 【详解】（1）①， 用代替上式中的，得②，联立①②，可得； 设，所以， 即，所以，解得，， 又，得，所以. （2）令，即 ，解得，所以当时， 若要求时，恒有成立， 可得，即的最大值是. 【点睛】本题考查构造方程组法求抽象函数的解析式，待定系数法求函数解析式，解一元二次不等式，属于中档题. 6（多选）．下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 【答案】ABC 【分析】直接求出的表达式判断A；利用方程组法求解析式判断B；利用待定系数法判断C；利用换元法判断D. 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：定义在上的函数满足①，故有②， 将①式②式，可得，解得，故B正确； 对于C：设一次函数，则：， 由，得：， 若，则，解得，即； 若，则，解得，即. 综上，则或，故C正确； 对于D：若，令， 则，故有，综上，故D错误.故选：ABC. 7（多选）．下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 【答案】ABC 【分析】直接求出的表达式判断A；利用方程组法求解析式判断B；利用待定系数法判断C；利用换元法判断D. 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：定义在上的函数满足①，故有②， 将①式②式，可得，解得，故B正确； 对于C：设一次函数，则：， 由，得：， 若，则，解得，即； 若，则，解得，即. 综上，则或，故C正确； 对于D：若，令， 则，故有，综上，故D错误.故选：ABC. 题型四 构造函数方程组求解析式 8．若对于任意实数恒有，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，选A. 9．已知定义在上的奇函数和偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，由函数解析式、结合函数的奇偶性可得，则可求出函数、的解析式；（2）根据题意列出不等式，将不等式转化为且，，再由的单调性，奇偶性列出式子，可得的范围，即可求出答案． 【详解】（1）定义在上的奇函数和偶函数满足 则 两个式子相加得到 两个式子相减得到 （2）若，其中且， 即，且，， 变形可得： ，其中且， 又因为偶函数在上是单调递减的，上是单调递增的， 故得到，其中且，解可得：； 故答案为：且且．即. 题型五 赋值法 10．已知函数的定义域为，且满足，且，，则（    ）． A．2021 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】分别令，令得到，进而推得函数是周期函数求解． 【详解】令，则，故， 故，（舍）令，则，故． ∴， 即， 故的周期为4，即是周期函数．∴．故选：C． 11．已知函数对于一切实数均有成立，且，则当，不等式恒成立时，实数的取值范围是__． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义，利用赋值法求出函数f（x）的表达式，然后根据不等式恒成立，结合对数函数的性质即可得到结论． 【详解】∵对于一切实数均有成立， ∴令y＝0，x＝1代入已知式， 得f（1）﹣f（0）＝2，∵f（1）＝0，∴f（0）＝﹣2； 令y＝0得，∴． 当，不等式恒成立时，即恒成立， 设，在（0，）上是增函数，∴， ∴要使恒成立，则在恒成立， 若a＞1时，不成立． 若0＜a＜1，则有时， ，∴要使在恒成立， 则，故答案为： 【点睛】方法点睛：利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，将不等式恒成立转化为求函数最值问题是解决此类问题的基本方法． 题型六. 迭代递推求解析式 12．已知函数，，且，，，，…，，，则函数的解析式可以是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题中条件，先求出，再由换元法，即可求出结果. 【详解】因为，，，，…，， 以上各式相乘可得，即，， 令，则，所以.故选：A. 题型七 函数奇偶性、周期性、对称性综合 13．已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，若，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用定义判断出是奇函数，化简式子得到在区间上是减函数，利用复合函数的单调性法则，可以确定出在区间上是减函数，从而得到是定义在上的奇函数且在区间上是减函数，根据，得到，将转化为，进而求得结果. 【详解】，， ∴函数是奇函数，设，， 在区间上是减函数， 又在区间上是增函数， ∴在区间上是减函数， ∴是定义在上的奇函数且在区间上是减函数， ，，又，， 又在区间上是减函数， ，，所求不等式的解集为，故选C． 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，属于中档题目. 14．设，则f（-x）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据f（x）的解析式，求出f（-x）的解析式即可． 【详解】解：f（x）=1+=，则f（-x）===，故选D． 【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，是一道常规题． 15（多选）．下列说法正确的是（   ） A．和表示同一个函数 B．定义在上的函数满足，则 C．若是定义在上的奇函数，当时， ，则有4个零点 D．若是定义在上的偶函数， 且， 则是以8为周期的周期函数 【答案】ABD 【分析】由函数的定义可判断A，由方程组法可判断B，求出时零点个数，再结合奇函数对称性，及可判断C，结合奇偶性，对称性可判断D； 【详解】对于A，，定义域为,,定义域为， 和表示同一个函数，正确， 对于B，由，可得：， 两式联立消去，可得，B正确； 对于C，当时， ，令 可得：，所以当时， 有两个零点， 由奇函数的对称性可知，时，也有两个零点，同时，故共有5个零点，C错； 对于D，由可得： 又函数为偶函数，所以， 所以，是以8为周期的周期函数，D正确，故选：ABD 题型八 导数利用几何意义求切线方程 16．已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知方程有且仅有一个实数解，求的取值范围； （3）当时，不等式对于任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）将代入函数的解析式，求出和，然后利用点斜式可得出所求切线方程； （2）解法一：由题意得出关于的方程，转化为直线与曲线有且只有一个公共点，利用导数求出当直线与曲线相切时实数的值，并利用数形结合思想得出当直线与曲线有一个交点时实数的取值范围，由此可得出实数的取值范围； 解法二：利用参变量分离法得出方程只有一个实数解，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求出当直线与函数的图象只有一个交点时，实数的取值范围； （3）构造函数，其中，可得知函数为偶函数，利用导数可分析出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，由此可得出函数的值域为，根据题中条件可得出关于的不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，，则，，所以， 因此，曲线在点处的切线方程为， 即； （2）（法一）方程有且仅有一个实数解， 即有且仅有一个实数解. 如图，设直线与曲线相切于点，因为， 所以，解得. 由图可得，直线与曲线有且仅有一个交点，则或， 所以实数的取值范围是； （法二）将方程整理可得. 当时，等式不成立； 当时，，令， ，在上，函数单调递增； 在和上，函数单调递减. 结合图象可知，当时，方程有一解； 当时，，当时，， 所以当时，方程有一解. 所以实数的取值范围是； （3）由题意知. 令，则， 易知，又，所以函数是上的偶函数. 对求导，得. 因为，当时，易知， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的值域为. 若不等式对于任意的恒成立， 则有，即，设，则，解得，即，解得. 又，所以，因此，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题以及不等式问题，在解题时要利用导数分析函数的单调性，求出函数的最值，利用最值构造不等式（组）进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第八讲 函数的解析式 【学习目标】会求简单函数的解析式. 【学习重点】求函数的解析式. 【学习难点】求函数的解析式. 必掌握知识点 求函数解析式的常用方法： 1.换元法 2.配凑法 3.待定系数法 4.构造方程组法 5.赋值法求解析式 必考题型全归纳 题型一 换元法（整体代换） 1．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知f()＝x，则f(x)的表达式为(　  　) A． B． C． D． 题型二 配凑法（凑整体） 3（多选）．下列说法正确的是（   ） A．已知，则； B．已知，则； C．已知一次函数满足，则； D．定义在上的函数满足，则 题型三 待定系数法求函数解析式 4．已知函数是一次函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且． （1）求，的解析式； （2）若时，恒有成立，求的最大值． 6（多选）．下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 7（多选）．下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 题型四 构造函数方程组求解析式 8．若对于任意实数恒有，则 A． B． C． D． 9．已知定义在上的奇函数和偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求x的取值范围. 题型五 赋值法 10．已知函数的定义域为，且满足，且，，则（    ）． A．2021 B．1 C．0 D． 11．已知函数对于一切实数均有成立，且，则当，不等式恒成立时，实数的取值范围是__． 题型六 迭代递推求解析式 12．已知函数，，且，，，，…，，，则函数的解析式可以是（） A． B． C． D． 题型七 函数奇偶性、周期性、对称性综合 13．已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，若，则不等式的解集为 A． B． C． D． 14．设，则f（-x）等于（    ） A． B． C． D． 15（多选）．下列说法正确的是（   ） A．和表示同一个函数 B．定义在上的函数满足，则 C．若是定义在上的奇函数，当时， ，则有4个零点 D．若是定义在上的偶函数， 且， 则是以8为周期的周期函数 题型八 导数利用几何意义求切线方程 16．已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知方程有且仅有一个实数解，求的取值范围； （3）当时，不等式对于任意的恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $