第五章 第1节 平面向量的概念及线性运算 训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦平面向量的概念及线性运算，分层递进设计，覆盖从基础概念到综合应用，通过辨析、几何情境及证明题，强化运算能力与推理意识，适配复习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|向量概念、线性运算、共线定理|单选1-4、多选8-9，概念辨析（如单位向量性质）与基础运算结合，夯实抽象能力| |综合应用层|几何图形向量表示、中点/重心性质|单选5-7、填空10-12，结合平行四边形、正六边形等情境，考查线性运算应用，发展几何直观| |拓展提升层|三点共线证明、多等分点综合|解答题13-14，融合向量表示与共线定理，需构建模型推理，培养逻辑思维与创新意识|

第1节 平面向量的概念及线性运算 一、单选题 1.已知向量a,b不共线,向量c＝a＋6b,d＝－2a＋xb,c∥d,则x＝(　　) A. B.－12 C.－ D.12 2.在△ABC中,AB＝AC,D,E分别是AB,AC的中点,则(　　) A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等 3.下列命题中正确的是(　　) A.|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反 B.在△ABC中,＝0 C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相反 D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a＋b的方向与a,b之一的方向一定相同 4.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a＋b＋c可表示为(　　) A.2e1－3e2 B.3e1－2e2 C.2e1＋3e2 D.3e1＋2e2 5.(2026·无锡质检)在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的点,＝4,点F是线段DE的中点,若＝λ＋μ,则μ＝(　　) A. B.1 C. D. 6.(2026·佛山质检)在△ABC中,＝a,＝b,若＝2,＝2,线段AD与BE交于点F,则＝(　　) A.a＋b B.a－b C.－a＋b D.－a－b 7.如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N满足,AM与CN交于点D,若＝λ,则λ等于(　　) A. B. C. D. 二、多选题 8.下列结论中正确的为(　　) A.两个有共同起点的单位向量,其终点未必相同 B.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB＝CD,则 C.对任意向量a(a≠0),是一个单位向量 D.零向量没有方向 9.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论中正确的是(　　) A. B.() C.＝0 D.＝0 三、填空题 10.在正六边形ABCDEF中,若AB＝1,则||＝　　　　.  11.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD＝120°,点E,F分别在边BC,CD上,且满足,＝2,则||＝　　　　.  12.(2025·长春二模)在△ABC中,,点E在BD上,若＝x,则x＝　　　　.  四、解答题 13.已知a,b不共线,＝a,＝b,＝c,＝d,＝e,设t∈R,如果3a＝c,2b＝d,e＝t(a＋b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由. 14.如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设＝a,＝b. (1)试用a,b表示,,; (2)证明:B,E,F三点共线. 第1节 平面向量的概念及线性运算 一、单选题 1.已知向量a,b不共线,向量c＝a＋6b,d＝－2a＋xb,c∥d,则x＝(　　) A. B.－12 C.－ D.12 答案　B 解析　由题意,设c＝λd, 则a＋6b＝λ(－2a＋xb)＝－2λa＋λxb, 则解得λ＝－,x＝－12. 2.在△ABC中,AB＝AC,D,E分别是AB,AC的中点,则(　　) A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等 答案　B 解析　由题意可知,不共线,A错误; 因为D,E分别是AB,AC的中点, 所以DE∥BC,故共线,B正确; 因为CD与AE不平行,所以不相等,C错误; 因为＝－,D错误. 3.下列命题中正确的是(　　) A.|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反 B.在△ABC中,＝0 C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相反 D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a＋b的方向与a,b之一的方向一定相同 答案　B 解析　对于A,当a,b之一为零向量时,不成立,故A错误; 对于B,首尾顺次相接,B正确; 对于C,两个单位向量互相平行,这两个单位向量相等或相反(大小相等,方向相反),故C错误; 对于D,当a＋b＝0时,零向量的方向是任意的,故D错误. 4.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a＋b＋c可表示为(　　) A.2e1－3e2 B.3e1－2e2 C.2e1＋3e2 D.3e1＋2e2 答案　D 解析　由题意得a＝e1＋2e2, b＝e1－2e2,c＝e1＋2e2, 所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2 ＝3e1＋2e2. 5.(2026·无锡质检)在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的点,＝4,点F是线段DE的中点,若＝λ＋μ,则μ＝(　　) A. B.1 C. D. 答案　C 解析　由题意可得()＝()＝ ＝, 又＝λ＋μ, 所以μ＝. 6.(2026·佛山质检)在△ABC中,＝a,＝b,若＝2,＝2,线段AD与BE交于点F,则＝(　　) A.a＋b B.a－b C.－a＋b D.－a－b 答案　B 解析　如图所示, 由＝2,＝2可得D,E分别为BC,AC的中点, 由三角形中线的性质可得, 又()＝(a＋b), 所以×(a＋b)＝(a＋b), 因此＝－b＋(a＋b) ＝a－b. 7.如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N满足,AM与CN交于点D,若＝λ,则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　在△ABC中,因为M是BC的中点, 所以, 则＝λ, 又,于是得, 因为点C,D,N共线, 则有＝1,解得λ＝. 二、多选题 8.下列结论中正确的为(　　) A.两个有共同起点的单位向量,其终点未必相同 B.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB＝CD,则 C.对任意向量a(a≠0),是一个单位向量 D.零向量没有方向 答案　AC 解析　对于A,由单位向量的方向不一定相同,故两个有共同起点的单位向量,其终点也不一定相同,故A正确;对于B,如图,A,B,C,D四点满足条件,但≠,故B错误; 对于C,对于任意非零向量a,表示与a同向的单位向量,故C正确; 对于D,根据零向量的定义,其方向任意,故D错误. 9.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论中正确的是(　　) A. B.() C.＝0 D.＝0 答案　BCD 解析　如图, 对于A ,因为E,F分别是边CA,AB的中点,则,A错误; 对于B, 因为D为BC中点, 则(),B正确; 对于C,()＝0,C正确; 对于D,＝－2＝－2×()＝－,即＝0, D正确. 三、填空题 10.在正六边形ABCDEF中,若AB＝1,则||＝　　　　.  答案　2 解析　法一　如图,连接AD,BE,CF, 正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成, 且AB＝1,所以||＝2, 所以||＝||＝||＝2. 法二　连接AD,易知AD＝2, 则||＝|| ＝||＝||＝||＝2. 11.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD＝120°,点E,F分别在边BC,CD上,且满足,＝2,则||＝　　　　.  答案　3 解析　因为, 所以, 又因为＝2, 所以, 所以||＝||＝||, 又因为∠BAD＝120°,所以∠ADC＝60°, 所以△ADC为等边三角形, 所以AC＝AD＝2, 所以||＝||＝×2＝3. 12.(2025·长春二模)在△ABC中,,点E在BD上,若＝x,则x＝　　　　.  答案　－ 解析　因为,所以, 则＝x＝x(－)＋()＝ ＝× ＝, 因为B,E,D三点共线,所以＝1,解得x＝－. 四、解答题 13.已知a,b不共线,＝a,＝b,＝c,＝d,＝e,设t∈R,如果3a＝c,2b＝d,e＝t(a＋b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由. 解　由题设知＝d－c＝2b－3a, ＝e－c＝(t－3)a＋tb, C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得＝k, 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb, 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因为a,b不共线, 所以有解得t＝. 故存在实数t＝使C,D,E三点在一条直线上. 14.如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设＝a,＝b. (1)试用a,b表示,,; (2)证明:B,E,F三点共线. (1)解　在△ABC中,因为＝a,＝b, 所以＝b－a,＝a＋(b－a)＝a＋b, ＝－＝－a＋b. (2)证明　因为＝－a＋b, ＝－ ＝－a＋＝－a＋b ＝, 所以,即共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $