课时规范练32 平面向量的概念及线性运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量概念及线性运算，精选2025-2026年福建、山西等地模拟题与期中期末试题，基础巩固与综合提升分层设计，适配一轮复习知识梳理与能力强化需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|5题/25分|零向量概念、共线向量条件、三点共线求参数|第3题以纸风车为情境考查向量运算，体现文化传承；第4题结合基底向量考查共线定理，贴近高考命题趋势| |多选题|1题/6分|平行四边形中向量线性表示|第7题通过三等分点设计多选项，强化几何直观与推理能力| |填空题|5题/25分|向量表示、模长计算、三点共线参数求解|第9题正六边形背景下求向量模，融合几何图形与数量运算；第15题直线上三点关系应用，突出数学抽象与逻辑推理|

课时规范练32　平面向量的概念及线性运算 (分值:76分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2025·福建厦门模拟)下列说法不正确的是(　　) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 C.若a,b都为非零向量,则使=0成立的条件是a与b反向共线 D.若a=b,b=c,则a=c 2.(2026·山西太原期中)如图,向量a,b,c的起点与终点均在正方形网格的格点上,若c=λa+μb,则λ+μ=(　　) (第2题图) A.-1 B.3 C.1 D.-3 3.(2025·河南平顶山期中)纸风车体现了数学的对称美,如图是一个纸风车示意图,则(　　) (第3题图) A. B.>0 C.=2 D.=0 4.(2025·广西柳州模拟)e1,e2是平面内不共线的两个向量,已知=e1-ke2,=2e1+e2,=3e1-e2.若A,B,D三点共线,则实数k的值是(　　) (第7题图) A.3 B.-3 C.-2 D.2 5.(2026·河北唐山期末)在平行四边形ABCD中,=2=3,则=(　　) A.- B. C.- D. 6.(2026·山东东营期中)设点O在△ABC内部,且+2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 7.(多选题)(2025·广东揭阳期末)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD边上的两个三等分点,则下列选项正确的有(　　) A. B. C. D. 8.(2025·山东日照模拟)如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,点E满足,则可用a,b表示为　　　　　　　　.  (第8题图) 9.(2026·广东佛山期末)如图,在正六边形ABCDEF中,若AB=2,则||=　　　　.  (第9题图) 10.(2025·江西上饶模拟)在△ABC中,点D在边BC上,若=λ(λ∈R),则=　　　　　.  综合提升练 11.(2025·福建福州七校联考)若a,b为非零向量,则“a=b”是“a,b共线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(2026·江西赣州期中)已知D为△ABC所在平面内的一点,3=2,E为CD的中点,则=(　　) A. B. C. D. 13.(2026·浙江绍兴期中)已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足+λ(),λ∈R,则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 14.(2026·浙江丽水模拟)已知平面向量a,b满足|a|=,|a-b|=1,则|b|的最大值是　　　　　.  15.(2025·福建厦门期中)已知A,B,P是直线l上不同的三点,点O在直线l外,若=m+(2m-3)(m∈R),则=　　　　.  参考答案 课时规范练32　平面向量的概念及线性运算 1.A　解析 对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;对于B,由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确;对于C,因为都是单位向量,所以只有当是相反向量,即a与b反向共线时,=0才成立,故C正确;对于D,由向量相等的定义知D正确.故选A. 2.B　解析 如图,可知c=a+2b,所以λ=1,μ=2,故λ+μ=3.故选B. 3.C　解析 不妨设||=||=||=1,则||=||=方向不一致,所以,故A错误;由题干图可知,∠AOB为钝角,所以=||||cos∠AOB<0,故B错误;结合题干及题干图,由向量的平行四边形法则可知=2,故C正确;≠0,故D错误.故选C. 4.D　解析 由已知可得=e1-2e2.A,B,D三点共线,故存在实数λ,使=λ,即e1-ke2=λ(e1-2e2),则解得故选D. 5.C　解析 因为=2,所以.因为=3,所以.由题意得)-=-.故选C. 6.B　解析 由+2=0可得+2=0,即=-4.设边AB的中点为M,则=2,即2=-4,所以=2,于是O为△ABC的中线CM的中点,因此=4.故选B. 7.ABD　解析 对于A,由题意知,E,F分别是CD边上的两个三等分点,且方向相同,则,故A正确;对于B,)=,故B正确;对于C,,故C错误;对于D,,所以,故D正确.故选ABD. 8.a-b　解析 由题意知,点E满足,可得,则)-a-b. 9.2　解析 如图所示,过点C作AB的垂线,垂足为O,则CO=CBsin 60°=2×,BO=CBcos 60°=2×=1. 在Rt△AOC中,AC==2,因此||=||=||=2. 10.　解析 因为点D在边BC上,=λ,所以λ+=1,λ=, 所以)+), 所以=-=-, 所以. 11.A　解析 若a=b,则a,b共线;当a,b共线时,可能是同向共线,也可能是反向共线,所以由a,b共线得不出a=b.故选A. 12.A　解析 因为E为CD的中点,所以.又3=2,所以,所以.故选A. 13.C　解析 由+λ(),得=λ(),设△ABC的边BC的中点为D,则),所以=2λ,因此A,D,P三点共线,所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心.故选C. 14.+1　解析 因为||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|, 又因为b=a-(a-b),所以|b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|, 因此|b|≤|a|+|a-b|=+1, 即|b|≤+1. 15.2　解析 由题意,A,B,P是直线l上不同的三点,点O在直线l外,即,如图. 则=m+m+(2m-3), 即(1-m)=-m+(2m-3), 当m=1时,0=显然不成立,故m≠1,从而,得=1,解得m=2. 将m=2代回原式得=2,则=2,即=2, 所以=2. 学科网（北京）股份有限公司 $