第二章 第13节 函数模型及其应用 训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型应用，通过基础识别、情境应用到综合优化的三层设计，实现从概念理解到数学建模能力的递进，适配一轮复习知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数模型识别、分段函数图象|单选1（散点图选模型）、5（折线运动面积）等题，强化直观想象与数学抽象| |应用提升|指数对数模型求解、实际情境应用|单选2（白鹭数量）、6（垃圾分类资金）等题，培养数据观念与模型意识| |综合拓展|复杂公式应用、优化决策问题|填空10（运货总量最值）、解答14（设备费用优化）等题，发展逻辑推理与运算能力|

第13节　函数模型及其应用 一、单选题 1.在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx C.y＝a＋logbx D.y＝a＋ 2.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(单位:只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年越冬的白鹭有1 000只，估计第5年越冬的白鹭有(参考数据:ln 2≈0.7， ln 3≈1.1)(　　) A.1 530只 B.1 636只 C.1 830只 D.1 930只 3.输血是救治外伤人员的重要手段，血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量.已知血液中ATP浓度S(单位:μmol/gHb)随温度λ(单位:℃)、时间t(单位:天)及起始浓度S0变化的近似函数关系式为S＝S0t1.08λe－1.30λ(e为自然对数的底数，e≈2.718 28).由此可知，当血液在20 ℃恒温条件下，保存5天后的ATP浓度，大约相当于血液在4 ℃恒温条件下保存　　　　天后的ATP浓度.(参考数据:ln 5≈1.6)(　　)  A.16 B.20 C.25 D.30 4.(2026·南通调研)在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为(参考数据:lg 2≈0.3)(　　) A.6 B.12 C.16 D.20 5.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 6.(2026·深圳统考)为了给地球减负，提高资源利用率，我国全面开展垃圾分类.某市2026年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)(　　) A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年 7.(2026·北京第八中学开学考)“学如逆水行舟，不进则退;心似平原跑马，易放难收”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1＋1%)365＝1.01365;如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1－1%)365＝0.99365.那么大约经过几天后“进步”的是“退步”的2倍?请选出最接近的一项.(lg 2≈0.301 030， lg 101≈2.004 321，lg 99≈1.995 635)(　　) A.25 B.30 C.35 D.40 二、多选题 8.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 9.(2026·辽宁名校联盟模拟)震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量E(单位:焦耳)与里氏震级M的对应关系为lg E＝4.8＋1.5M，则(　　) A.若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于108焦耳 B.若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于1010焦耳 C.5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D.3级地震的能量是7级地震的能量的 三、填空题 10.(2026·青岛检测)一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次;若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次要拖　　　　只小船.  11.某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元后，奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型:①y＝0.2x，②y＝log5x，③y＝1.02x，则符合该商场要求的模型为　　　　.(填序号)  12.(2025·武汉四调)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y＝，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率.若该地区2024年年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1 020万块，那么2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约　　　　万块.(结果四舍五入保留到整数，参考数据:e－0.5≈0.61，e－0.6≈0.55，e－0.7≈0.49)  四、解答题 13.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数). (1)求c，m的值; (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态? 14.某企业为响应国家“节约用水”的号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，该企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位:万元)与设备的占地面积x(单位:平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位:万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝(x>0).该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和为y(单位:万元). (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围; (2)设备占地面积x为多少时，y的值最小? 第13节　函数模型及其应用 一、单选题 1.在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx C.y＝a＋logbx D.y＝a＋ 答案　B 解析　由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数函数模型. 2.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(单位:只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年越冬的白鹭有1 000只，估计第5年越冬的白鹭有(参考数据:ln 2≈0.7， ln 3≈1.1)(　　) A.1 530只 B.1 636只 C.1 830只 D.1 930只 答案　B 解析　由题意得y＝klog3(x＋1)，且当x＝2时，y＝1 000， 所以1 000＝klog33，解得k＝1 000， 所以当x＝5时，y＝1 000×log36＝1 000×(log33＋log32)＝1 000×≈1 636. 3.输血是救治外伤人员的重要手段，血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量.已知血液中ATP浓度S(单位:μmol/gHb)随温度λ(单位:℃)、时间t(单位:天)及起始浓度S0变化的近似函数关系式为S＝S0t1.08λe－1.30λ(e为自然对数的底数，e≈2.718 28).由此可知，当血液在20 ℃恒温条件下，保存5天后的ATP浓度，大约相当于血液在4 ℃恒温条件下保存　　　　天后的ATP浓度.(参考数据:ln 5≈1.6)(　　)  A.16 B.20 C.25 D.30 答案　C 解析　设所求为t天，把数据代入关系式得S051.08×20·e－1.30×20＝S0t1.08×4e－1.30×4， 解得t4.32＝， 取自然对数得ln t＝≈3.2＝2ln 5， 所以t≈25. 4.(2026·南通调研)在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为(参考数据:lg 2≈0.3)(　　) A.6 B.12 C.16 D.20 答案　B 解析　设原来蓝藻数量为a， 则a(1＋p%)4＝a，可得1＋p%＝， 设经过n天后蓝藻增长为原来的2倍， 则a(1＋p%)n＝2a，即＝2， 可得n＝lo16＝≈＝12.故选B. 5.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 答案　D 解析　依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x; 当4<x≤8时，f(x)＝8; 当8<x≤12时，f(x)＝24－2x. 观察四个选项知D项符合要求. 6.(2026·深圳统考)为了给地球减负，提高资源利用率，我国全面开展垃圾分类.某市2026年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)(　　) A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年 答案　D 解析　设2026年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元， 则5 000(1＋20%)x>12 800，即1.2x>2.56， 则x·lg 1.2>lg 2.56＝lg＝lg 256－2＝8 lg 2－2， 即x>≈≈5.16. 所以x＝6，即2032年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.故选D. 7.(2026·北京第八中学开学考)“学如逆水行舟，不进则退;心似平原跑马，易放难收”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是 (1＋1%)365＝1.01365;如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1－1%)365＝0.99365.那么大约经过几天后“进步”的是“退步”的2倍?请选出最接近的一项.(lg 2≈0.301 030， lg 101≈2.004 321，lg 99≈1.995 635)(　　) A.25 B.30 C.35 D.40 答案　C 解析　假设经过n天，“进步”是“退步”的2倍， 则＝2，即＝2， 解得n＝lo2＝≈≈35， 即经过约35天，“进步”是“退步”的2倍.故选C. 二、多选题 8.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 答案　BD 解析　在A中，甲在公园休息的时间是10 min， 所以只走了50 min，A错误; 由题中图象知，B正确; 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误; 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确. 9.(2026·辽宁名校联盟模拟)震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量E(单位:焦耳)与里氏震级M的对应关系为lg E＝4.8＋1.5M，则(　　) A.若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于108焦耳 B.若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于1010焦耳 C.5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D.3级地震的能量是7级地震的能量的 答案　ABD 解析　记i级地震的能量为Ei， 若M≤2，则lg E＝4.8＋1.5M≤7.8， 所以E≤107.8<108，故A正确; 若M>4，则lg E＝4.8＋1.5M>10.8， 所以E>1010.8>1010，故B正确; lg E5－lg E4＝4.8＋1.5×5－4.8－1.5×4＝1.5， 则＝101.5≠100，故C错误; lg E3－lg E7＝4.8＋1.5×3－4.8－1.5×7＝－6， 则，故D正确. 故选ABD. 三、填空题 10.(2026·青岛检测)一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次;若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次要拖　　　　只小船.  答案　6 解析　设每天每次拖x只小船，每天往返y次，每只小船的载重量为M，每天的运货总重量为G. 由题意设y＝kx＋b(k≠0)， 则 所以y＝－2x＋24，所以每天运货总重量G＝Mxy＝Mx(－2x＋24)＝－2M(x－6)2＋72M， 所以当x＝6，y＝12时，G取得最大值为72M，即每次要拖6只小船. 11.某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元后，奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型:①y＝0.2x，②y＝log5x，③y＝1.02x，则符合该商场要求的模型为　　　　.(填序号)  答案　② 解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象，如图所示. 观察图象可知，在区间[5，100]内， 函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方， 只有函数y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方， 所以按模型y＝log5x进行奖励符合商场的要求. 12.(2025·武汉四调)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y＝，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率.若该地区2024年年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1 020万块，那么2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约　　　　万块.(结果四舍五入保留到整数，参考数据:e－0.5≈0.61，e－0.6≈0.55，e－0.7≈0.49)  答案　36 解析　由题意知y0＝20，p＝10%，N＝1 020，x＝6，则2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约≈≈36(万块). 四、解答题 13.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数). (1)求c，m的值; (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态? 解　(1)由题意可得 两式相除，解得 (2)由题意可得128≤0.5， 所以≤，即t≥8，解得t≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 14.某企业为响应国家“节约用水”的号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，该企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位:万元)与设备的占地面积x(单位:平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位:万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝(x>0).该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和为y(单位:万元). (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围; (2)设备占地面积x为多少时，y的值最小? 解　(1)由题意得y＝0.2x＋(x>0). 要满足题意，则y≤7.2， 即0.2x＋≤7.2， 解得11≤x≤20. 即设备占地面积x的取值范围为[11，20]. (2)y＝0.2x＋－1 ≥2－1＝2－1＝7， 当且仅当，即x＝15时，等号成立. 所以设备占地面积为15 平方米时，y的值最小. 学科网（北京）股份有限公司 $