第二章 课时作业11 函数模型与应用-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型应用，以增长特性比较、模型选择、实际问题建模为主线，构建从概念辨析到综合应用的完整训练体系，体现数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数增长特性|2题（选择）|比较二次、指数、对数函数增长差异|通过图象与性质分析增长速度，建立函数差异认知| |模型选择与识别|1题（选择）|根据散点图判断函数类型|从数据分布抽象数学模型，培养数据意识| |实际应用建模|10题（选择/填空/解答）|涵盖物理、经济、医疗等场景，涉及最值、方程、不等式求解|以实际问题为载体，构建“问题情境→模型建立→参数求解→结果验证”逻辑链，发展应用意识|

课时11 函数模型及其应用 一、单选题 1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是(　　) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>h(x)>f(x) C.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 2.在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 3．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（    ） A．26m B．28m C．31m D．33m 4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(参考数据：≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 5．下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 一次购买件数 5-10 11-50 51-100 101-300 300以上 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（    ） A．116件 B．110件 C．107件 D．106件 6．某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为M＝M0e－kt(其中M0，k是正常数)．已知经过1 h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%的污染物所需的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．3 h B．4 h C．5 h D．6 h 二、多选题 7．已知函数y1＝x2,y2＝2x,y3＝x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的有(　　) A.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y1的增长速度越来越快于y2 B.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1 C.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度一直快于y3 D.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度有时快于y2 8、血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的有(　　) A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使得药物持续发挥治疗作用 D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 9．某试验稻田中，有害昆虫的数量（单位：千只）与时间（单位：月）的关系为（为自然对数的底，），其中系数可以通过喷洒农药等措施控制.试验员制定了实时监控比值，当比值不超过时，稻田产量不受影响；当超过时，稻田产量会受影响.预计稻田在时收割，则为确保稻田产量不受有害昆虫影响，实数的可能取值为（ ） A. e B. 7e C. D. 三、填空题 10．某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元． 11、(2025·陕西西安市模拟)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(单位：km/s)和燃料的质量x(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2,则要使火箭的最大速度达到12 km/s,燃料质量与火箭质量的比值是　　　　　.  12．（2025·浙江绍兴市统考）一种药在病人血液中的量保持以上才有疗效；而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，从现在起经过 h向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（参考数据：，，精确到） 四、解答题 13．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数). (1)求c，m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 14．某地区上年度电价为0．8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0．55元至0．75元之间，而用户期望电价为0．4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0．3元． （1）设下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式； （2）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式.（注：收益=实际电量（实际电价－成本价）） （3）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 课时11 函数模型及其应用参考答案 1．C【解析】同一坐标系中，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x).故选C. 2.B【解析】由散点图的定义域可排除C，对于选项D，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．故选B. 3．C【解析】，.故选C. 4．C【解析】由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C. 5．C【解析】设购买的件数为，花费为元，则，当时，，当时，，所以最多可购买这种产品件.故选C. 6．B【解析】由题意可知(1－20%)M0＝M0e－k，所以e－k＝0.8，由(1－60%)M0＝M0e－kt，得0.4＝e－kt＝(e－k)t＝0.8t，所以t＝log0.80.4＝＝＝＝＝≈＝≈4.103，比较接近4.故选B. 7．BD【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x2,y2＝2x,y3＝x的图象,如图所示. 对于选项A,B,在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1,故A错误,B正确； 对于选项C,当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度不是一直快于y3的,故C错误； 对于选项D,当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度有时快于y2,故D正确.故选BD. 8、ABC【解析】从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确； 根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确； 服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确； 首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．故选ABC. 9．AB【解析】由题意得，，因此，在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，所以当时，的最大值是，故，所以的最大值是.故选AB. 10．4【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元.依题意，可得14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0．令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)为单调递增函数.又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 11、e3－1【解析】根据题意,可得4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2＝12,所以＋ln 4＝12,即＝ln e12,可得＝e12.而1＋>0，则1＋＝e3，所以＝e3－1，即燃料质量与火箭质量的比值是e3－1. 12．【解析】设应在病人注射这种药经过小时后再向病人的血液补充这种药，则血液中的含药量与注射后的时间的关系式为.依题意，可得，整理可得，所以，即.由，所以.故从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 13．【解】(1)由题意可得两式相除，解得 (2)由题意可得128≤0.5，所以≤，即t≥8，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 14．【解】（1）因为下调电价后新增用电量和实际电价元，与用户的期望电价0．4元的差成反比，且比例系数为，所以，依题意，知用电量关于的函数解析式为. （2）依题意，知用电量增至，所以电力部门的收益为. （3）依题意，有，整理得， 解此不等式组得．答：当电价最低定为0．6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长． . 学科网（北京）股份有限公司 $