精品解析：天津市河东区2025-2026学年第二学期初二期末练习卷(数学)

2025-2026学年第二学期初二期末练习卷（数学） 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至8页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ， 4. 若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（ ） A. 十二 B. 十八 C. 十 D. 十六 5. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 图象与轴的交点是 D. 图象与坐标轴围成的三角形面积为 6. 如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 下图是根据甲，乙两地某个月的日平均气温（单位：绘制出的箱线图，下列分析正确的是（ ） A. 甲地日平均气温的最小值是 B. 乙地日平均气温的第三四分位数是 C. 甲地这个月的日平均气温比乙地波动小 D. 乙地这个月的日平均气温的平均数大于甲地这个月的日平均气温的平均数 8. 直线经过点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 、的大小关系不能确定 9. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、． ①在运动的过程中四边形始终是平行四边形； ②四边形能够成为菱形时秒； ③或秒时，为直角三角形； 以上结论正确的是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 11. 如图是函数与的图象，下列结论正确的是（ ） A. 关于的方程的解为 B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的方程组的解为 D. 当时， 12. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、． ①在运动的过程中四边形始终是平行四边形； ②四边形能够成为菱形时秒； ③或秒时，为直角三角形； 以上结论正确的是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为_______． 14. 将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为________． 15. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名学员十次射击成绩的平均环数与方差：在这四名学员中，成绩好且发挥稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 平均环数 方差 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 17. 如图，在正方形中，，点为边上一点，，于点，交对角线于点，连接，，点和点分别是，的中点，连接． （Ⅰ）线段的长为________． （Ⅱ）线段的长为________． 18. 如图网格中的每个小正方形的边长均为，四边形的顶点、在格点上． （Ⅰ）求线段_________； （Ⅱ）若已知，平分，仅用无刻度的直尺，在上作出点，使得．（保留作图痕迹，简述作图过程，不要求证明） _______________________________________________________________________________________________________________________ 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1） （2） 20. 如图所示，池底一点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人从岸上用眼睛看池底时，就会感觉点的位置升高到了处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知， ，三点共线，，，，． （1）求证：是直角三角形． （2）池水看起来变浅了多少，即求的长度？ 21. 年是红军长征胜利周年，某校举办以“品读长征岁月、传承红色精神”为主题的阅读活动，随机抽取了该校八年级名学生，对这部分学生月份的阅读数量（简称“读书量”，单位：本）进行调查，并绘制了如下统计图和． （1）的值为________，的值为________，这组数据的中位数为________，众数为________； （2）求出本次所抽取的名学生“读书量”的平均数． （3）并利用该数据估算该校八年级共名学生中有多少人读书量不低于本？ 22. 如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，交于点，连接，若，，求的长． 23. 已知小明家、图书馆、博物馆依次在一条笔直的道路上．图书馆离小明家千米，博物馆离小明家千米，小明从家骑自行车出发，途经图书馆，在图书馆停留了一小段时间后，以相同的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．如图描述了这一过程中，小明离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小明离开家的时间 小明离家的路程 ②填空：小明从博物馆回家的速度为________． ③当时，请直接写出小明离家的路程关于时间的函数解析式． （2）若小明的妈妈与小明同时从家里出发，小明妈妈以的速度步行直接到博物馆，在从家到博物馆的过程中，对于同一个的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 如图直线：经过点，点的纵坐标为，点在轴正半轴上，且，直线交轴于点． （1）求点的坐标和直线解析式． （2）如图，在（1）的条件下，点是直线上的动点，设点横坐标为 ①若点在第一象限，且，求此时的值； ②当在直线上运动时，求的最小值为________； （3）如图，在（1）的条件下，连结，点是线段上一点，且满足，求点的坐标________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初二期末练习卷（数学） 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至8页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， ∴． 2. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故本选项符合题意； 选项C：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 3. 若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一计算即可得出结论． 【详解】解：对选项A，设，，， ，，， A不是直角三角形， 对选项B，最长边为， ，，， B不是直角三角形， 对选项C，最长边为， ，， ，符合勾股定理的逆定理， C是直角三角形， 对选项D，最长边为， ，，， D不是直角三角形． 4. 若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（ ） A. 十二 B. 十八 C. 十 D. 十六 【答案】B 【解析】 【分析】利用正多边形内角与外角互补的性质，结合任意多边形外角和为的知识点，从而计算得到多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的内角与外角互补。 ∴该正多边形的一个外角为 ， ∵任意多边形的外角和恒为，正多边形所有外角都相等， ∴该多边形边数为 ． ∴该多边形的边数是十八． 5. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 图象与轴的交点是 D. 图象与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，函数与坐标轴交点的求解方法和三角形面积公式，逐个判断选项即可得到正确结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵， ∴随的增大而减小，A选项错误，不符合题意． ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，B选项错误，不符合题意． 令，得， 解得， ∴图象与轴的交点坐标是，C选项错误，不符合题意． 令，得， ∴图象与轴交点坐标为， 结合与轴交点，可得图象与坐标轴围成的三角形面积为，D选项正确，符合题意． 6. 如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵的顶点B、C、D的坐标分别是，，， ∴，， ∴． ， ∵点O、点B在x轴上， ∴点A与点D的纵坐标相等，都为3， ∴顶点A的坐标． 7. 下图是根据甲，乙两地某个月的日平均气温（单位：绘制出的箱线图，下列分析正确的是（ ） A. 甲地日平均气温的最小值是 B. 乙地日平均气温的第三四分位数是 C. 甲地这个月的日平均气温比乙地波动小 D. 乙地这个月的日平均气温的平均数大于甲地这个月的日平均气温的平均数 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图中最小值，四分位数的定义等知识逐一判断即可． 【详解】甲地日平均气温的最小值为，故选项A错误； 乙地日平均气温的第三四分位数大于，故选项B错误； 甲地的箱体比乙地长，说明这个月甲地的日平均气温比乙地波动大，故选项C错误； 乙地的箱体比甲地靠上，说明这个月乙地日平均气温整体高于甲地，故选项D正确． 8. 直线经过点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 、的大小关系不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数解析式的系数判断随的变化规律，结合已知的大小关系即可得到的大小关系． 【详解】解：∵直线解析式为，对于一次函数，这里， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 9. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、． ①在运动的过程中四边形始终是平行四边形； ②四边形能够成为菱形时秒； ③或秒时，为直角三角形； 以上结论正确的是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长为，则，再证明即可解决问题．②根据①的结论可以证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可；③当为直角三角形时，有三种情况：（1）当时，（2）当时，（3）当不成立；分别确定等量关系列方程可以求出t的值 【详解】解：①由题意得：，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，则①正确； ②由①得：四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形能够成为菱形，则②错误； ③分三种情况： （1）当时，如图， 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）当时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， （3）当时，点与点重合，此时，不成立； 则t为或12时，为直角三角形，③正确． 10. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，，，结合作图可知，利用等腰三角形的性质得到，列出，结合勾股定理得代入求解即可． 【详解】解：平行四边形， ， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴． 11. 如图是函数与的图象，下列结论正确的是（ ） A. 关于的方程的解为 B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的方程组的解为 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象一一判断即可． 【详解】解：根据函数图像可知：关于的方程组的解为，故C正确， 则关于的方程的解为，故A错误； 当时，即直线在直线的上方，即， 即关于的不等式的解为，故C错误， 当时，，当时，，故D错误； 12. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、． ①在运动的过程中四边形始终是平行四边形； ②四边形能够成为菱形时秒； ③或秒时，为直角三角形； 以上结论正确的是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长为，则，再证明即可解决问题． ②根据①的结论可以证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； ③当为直角三角形时，有三种情况：（1）当时，（2）当时，（3）当不成立；分别确定等量关系列方程可以求出t的值 【详解】解：①由题意得：，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，则①正确； ②由①得：四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形能够成为菱形，则②错误； ③分三种情况： （1）当时，如图， 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）当时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则， ∴， （3）当时，该情况不成立； 则t为或12时，为直角三角形，③正确． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 14. 将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规律得到平移后的直线解析式，再将已知点的坐标代入解析式求解即可． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度后，根据一次函数平移的“上加下减”规律，可得平移后的直线解析式为， 平移后的直线经过点， 将代入得： ， 解得． 15. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名学员十次射击成绩的平均环数与方差：在这四名学员中，成绩好且发挥稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 平均环数 方差 【答案】乙 【解析】 【分析】平均环数越高成绩越好，方差越小发挥越稳定，结合两者的意义进行判断即可． 【详解】解：比较平均环数，平均环数越高，成绩越好. 乙和丙的平均环数均为，高于甲的和丁的，因此成绩更优的是乙和丙， 比较方差，方差越小，发挥越稳定. 乙的方差为，小于丙的方差，因此乙的发挥更稳定； 因此成绩好且发挥稳定的是乙． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，，，由线段中点的定义得出点D，E在直线上，，，，则可得出的横坐标为2，由折叠的性质可知：，由勾股定理得出，即可求出点的纵坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，，， ∵、分别是边和的中点， ∴点D，E在直线上，，，， ∵点落在线段上， ∴的横坐标为2， 由折叠的性质可知：， ∴在中 ， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴ 则点的坐标是． 17. 如图，在正方形中，，点为边上一点，，于点，交对角线于点，连接，，点和点分别是，的中点，连接． （Ⅰ）线段的长为________． （Ⅱ）线段的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由正方形的性质进一步证明是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出，取线段的中点M，连接，根据正方形的性质得出，，再由三角形中位线的性质确定，得出，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形，是对角线， ∴ ∵于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 取线段的中点M，连接，如图所示： ∵正方形，， ∴，， ∵G，H，M分别是，，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图网格中的每个小正方形的边长均为，四边形的顶点、在格点上． （Ⅰ）求线段_________； （Ⅱ）若已知，平分，仅用无刻度的直尺，在上作出点，使得．（保留作图痕迹，简述作图过程，不要求证明） _______________________________________________________________________________________________________________________ 【答案】 ①. ②. 取格线上的点，连交格线于点，取格线上的点，连接并延长交格线于点；连并延长，交线段于点． 【解析】 【分析】①根据勾股定理计算； ②通过构造全等得到，则，结合平分，可证明，进而得解． 【详解】解：①； ②略 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后合并同类项． （2）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 如图所示，池底一点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人从岸上用眼睛看池底时，就会感觉点的位置升高到了处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知， ，三点共线，，，，． （1）求证：是直角三角形． （2）池水看起来变浅了多少，即求的长度？ 【答案】（1）证明：， ， ， ， 是直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得即可； （2）利用勾股定理可得的长，再结合求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得， ， 答：池水看起来变浅了． 21. 年是红军长征胜利周年，某校举办以“品读长征岁月、传承红色精神”为主题的阅读活动，随机抽取了该校八年级名学生，对这部分学生月份的阅读数量（简称“读书量”，单位：本）进行调查，并绘制了如下统计图和． （1）的值为________，的值为________，这组数据的中位数为________，众数为________； （2）求出本次所抽取的名学生“读书量”的平均数． （3）并利用该数据估算该校八年级共名学生中有多少人读书量不低于本？ 【答案】（1），，， （2）（本） （3）名学生中有人读书量不低于本． 【解析】 【分析】（1）根据两本的人数有10人，占比即可求出a的值，再用1减去其他本数的占比即可得出4本数的占比，根据中位数和众数的定义求解即可． （2）根据平均数的定义求解即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（名） ， ， 一共有50组数据，这组数据的第25位和第26位为：3和3， 故这组数据的中位数为：， ∵3出现的次数最多， ∴众数为3． 【小问2详解】 解：本次所抽取学生“读书量”的平均数为 （本）. 答：本次所抽取的50名学生“读书量”的平均数为3本． 【小问3详解】 解：（人） 答：名学生中有人读书量不低于本． 22. 如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：菱形， ， 又 ， 又∵ ∴四边形是平行四边形． ∵菱形， ， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质得出，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵矩形 ， 中， ∵菱形， ， 在和中 ， ， ∴在中：． 23. 已知小明家、图书馆、博物馆依次在一条笔直的道路上．图书馆离小明家千米，博物馆离小明家千米，小明从家骑自行车出发，途经图书馆，在图书馆停留了一小段时间后，以相同的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．如图描述了这一过程中，小明离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小明离开家的时间 小明离家的路程 ②填空：小明从博物馆回家的速度为________． ③当时，请直接写出小明离家的路程关于时间的函数解析式． （2）若小明的妈妈与小明同时从家里出发，小明妈妈以的速度步行直接到博物馆，在从家到博物馆的过程中，对于同一个的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①0.2；②③ （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法按时段求得对应的解析式，当时，函数表达式为，取，解得；当时，，当时，解得函数表达式为，当时，求得即可， ②小明从博物馆回家的时间为，结合已知利用公式即可求得速度； ③由①得； （2）根据题意得小明的妈妈离家的距离为，分时，不满足题意；当时，解得，即；当时，解得，即； 综合即可得到满足要求的时间． 【小问1详解】 解：①当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 取，； 当时，， 当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 所以当时，， ②小明从博物馆回家的时间为， ∵博物馆离小明家千米， ∴小明从博物馆回家的速度为； ③由①得； 【小问2详解】 解：∵小明妈妈以的速度步行直接到博物馆， ∴小明的妈妈离家的距离为， 当时， ∵，， ∴，不满足题意； 当时，，解得， 即； 当时，，解得， 即； 综上所述，时，． 24. 如图直线：经过点，点的纵坐标为，点在轴正半轴上，且，直线交轴于点． （1）求点的坐标和直线解析式． （2）如图，在（1）的条件下，点是直线上的动点，设点横坐标为 ①若点在第一象限，且，求此时的值； ②当在直线上运动时，求的最小值为________； （3）如图，在（1）的条件下，连结，点是线段上一点，且满足，求点的坐标________． 【答案】（1）； （2）①② （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解得即可得，利用待定系数法求直线解析式即可； （2）①过点作轴，交于点，则和点，进一步得，那么即可解得； ②作点关于直线的对称点，连接、，则，当、、共线时取得最小值， ，根据直线的解析式求得，则，根据对称性得和，则是等腰直角三角形，进一步求得点和，利用两点之间距离求得即可； （3）结合已知条件和，得，过点作交延长线于点，则为等腰直角三角形，过点作轴于点，则，进一步利用证明，得和，求得点，利用待定系数法求得直线的解析式，联立直线解析式即可求得点． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， ， ， ， 设直线解析式为（）， 代入点、得， 解得，， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：①过点作轴，交于点，如图， ∵点在直线上， ， ∵点在直线上， ， ∴， ， 解得； ②作点关于直线的对称点，连接、，如图， 则， 当、、共线时取得最小值， ， ∵直线：， ∴，， ∴， 则， 又，， ， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ，， 则， 那么，的最小值为； 【小问3详解】 解：设点G位于下图中， ，且， ， 过点作交延长线于点， 则为等腰直角三角形， ， 过点作轴于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 解得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $