云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第一次月考试卷 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 答案 Y B C c B D B D 【解析】 1. 50+i)=50-边=1-i,故选A. (2+i0(2-)5 2.因为集合A={x2-x-6<0}={x-2<x<3,B={xx≤3，所以A手B,则x∈A是 x∈B的充分不必要条件，故选B。 3.设其领斜角为a,则ama=太B=5,0:-5,:0°≤a<180,六a=120,故 3-2 选C 4.因为AB=0,-1),所以点B到平面a的距离为AB川-2=6 63 故选C 5.设圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为3，圆柱的高为5，则圆台的体积 Y=}×(25m+16m+2mx16m)×3=61m，园柱的体积%=16x5=80m,故： V=80:61,故选B. 6.根据题意进行类比，要求平面经过点M(1,2,3)的平面的一个法向量为m=(L,2,-3), 则该平面的方程为1×(x-1)+2×(y-2)+(3)×(z-3)=0,化简可得x+2y-3z+4=0, 故选D 7.由直线4：3如+y+5=0与6+w+方=0平行，得9号号则a=8b10,直线 b-101 56x+8v+100,于是6+安立，解得b=5或b=15,所以a+b-13或 a+b=23,故选B. 高二数学MG参考答案·第1页（共8页） 8.由条件可得 5aGA5上号设6F2c,因为精图E AFI+|AF,|=2a, 3 16a2,4a2 ,所以925 的离心率为22 a3，由余弦定理可得cos∠545=9十9 -4c2 59 2x 4a,2a 44 a3s、 ,则∠AR= 3 4 4,故△AGE的面积为上x4x20 2334 =4万，解得 a=6,故椭圆E的长轴长为12，故选D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABD ABC BD 【解析】 9.对于A:+f仔0，函数关于（后0对称，f(-2后+小-0 :50石f0=2m2x+司，T受-，故A正确：对于B. 6 f侣)-2后君)-2，甲=得为函数的条对特.放B正：对于G若 12 ,则2x+∈「19.23m ,又y=cosx在 「19π23π 上单调递增，即 6 6’6 6’6 f)在[，]上单调递增，故c错误；对于D,当x[0.时， 26 =0,故D正确，故选ABD. 10.在空间直角坐标系0-yz中，已知A(1,2,-1),B(0,1,1),所以AB=(-1,-1,2, OA=1,2,-1),OB=(0,1,),对于A,故|AB=V1+1+4=√6，故A正确；对于B, 可得OA.0B=0+2-1=1,故B正确；对于C,若n=(4,2),且n⊥AB,则 高二数学MG参考答案·第2页（共8页） n·AB=4×(-1)+2×(-1)+t×2=0,解得t=3,故C正确；对于D,若m=(1,1,k)且 历/丽，因为而-(1-1习，可得号务解得=-2，故D错送，故选AC 11.对于A,由椭圆M的方程知a=2,b=√3，则c=√a2-b=1,∴椭圆M的左焦点为 (←1,0)，A错误；对于B,由A知，椭圆M对应的蒙日圆方程为x2+y2=7,故B正 确：对于C,由B可知，正方形G是圆x2+y=7的内接正方形，正方形G对角 线长为圆的直径2√万，∴正方形G的边长为 (2W7)2 =√14，故C错误；对于D,设 2 长方形G的长和宽分别为m,n,,长方形G的对角线长为椭圆M对应蒙日圆的直 径2万，：m2+m=28,:长方形G的面积S=mm≤m+m=14(当且仅当 2 m=n=√14时取等号)，即长方形G的面积的最大值为14，D正确，故选BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 23 2√3 【解析】 12.因为10×406=4，所以406分位数是第4、5个数据的平均数，所以a+25=24,解得 2 a=23. 13.由投影向量的定义可知， a.bb 10 网`因32+0+48.0-0 56,0-4) 14.圆C2的标准方程为(x-a)2+y2=a-2(5>a>2),圆心C(a,0),则PC2为∠APB的角 平分线，所以设P(o,)，则，-5)+=4，所以 高二数学MG参考答案·第3页（共8页） -+6_22-5-2,则AC=2:即a-1=24-0）,解得a=3, V(x-4)2+6 V2x0-5 BC2 则C:(x-3)2+y2=1,所以点N与B(4,0)重合，此时1CM卡1，∠MAC2=30°，可得 √3 M2 2 所以M =V3 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)设圆的半径为r,则r= （3分) 故圆的标准方程为：(x-2)+y2=1. …(5分) (2)设圆心C,0)到直线：x+y+1=0的距离为d,则d=2+ V1+k2 …（7分) …(10分) 解得：k=-1或- 7 …(13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)，2 c.cos B=2a+b, 由正弦定理得，2 sin Ccos B=2simA+sinB, …（2分) .2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B, ……(3分) .'2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos BsinC+sin B, ……(4分) .∴.2 cosC sin B=-sinB, :B∈(0，四，sinB≠0，即cosC=- …(5分) Ce0,四，C=. 2 …（6分) 高二数学MG参考答案·第4页（共8页） (2)由余弦定理得，c2=a2+b2-2 abcosC, .7=a2+12+a,解得a=2或a=-3(舍去)， …(9分) D 如图1，由SAARC=SAADC+SARDC, 图1 ……(12分) x2x3 1xxcDx3xcDx2x3 …(14分) 2-21 2 2 .CD=2 (15分) 3 17.(本小题满分15分) (1)证明：在△ABD中，AB=AD,且O为BD中点，则OA⊥BD, …(1分) 平面ABDL平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,OAC平面ABD, 所以OA⊥平面BCD, ……(4分) 且CDC平面BCD,所以OA⊥CD.…(6分) (2)解：在直角梯形ABCD中，BC=2AD=2AB=2N2,∠ABC=90°， 所以BD=CD=2,BC=22, 则BD2+CD2=BC2,∴.CD⊥BD, 又O,M分别为BD,BC的中点， ∴.OM∥CD,∴.OM⊥BD, …(8分) 以O为原点，以OB,OM,OA所在直线分别为x,y,z轴， 建立如图2的空间直角坐标系， 0tt……t0t……t0………0……t………… (9分) 则O(0,0,0),A(0,0,1),D(-10,0),M(0,1,0),C(-1,2,0), …(10分) 图2 可得AM=(0,1,-1),DC=(02,0),DA=1,0,1), 令平面ACD的一个法向量为i=(xy), 高二数学MG参考答案·第5页（共8页） 元Dc=2y=0,令x=1,则y=0,z=-1, 由 i·DA=x+z=0, 可得i=1,0,-1), 年年0年年0果年年果0年 (12分) 令AM与平面ACD所成角为0， 则sin6=cos(AM,EAM· 111 |-AM1√2x√22' …(14分) 即AM与平面ACD所成角的正弦值为与 …(15分） 18.(本小题满分17分) 解：(1)方法一：设事件A=“第i轮比赛中甲胜出”，事件B=“第i轮比赛中乙胜 出”， 记事件C=“第一轮比赛中甲，乙至少有一人胜出”，则C=AB+AB,+AB 由题意得A,马相互独立，且P代A)=}P8)=号，AR,再44瓦互斥。 所以P(C)=P(AB,+AB+AB) P(AB)+P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B) -3×2+1x2+3x1-11 43434312 因此第一轮比赛中甲，乙至少有一人胜出的概率为 12 ……(6分) 方法二：设事件A=“第i轮比赛中甲胜出”，事件B,=“第i轮比赛中乙胜出”， 记事件C=“第一轮比赛中甲，乙至少有一人胜出”，则事件C=AB 又不，区相互独立，且P4)=子)-号 所以P(C)=1-P(C) 高二数学MG参考答案·第6页（共8页） =1-P(A)P(B) =1-1x111 4312 因此第一轮比赛中甲，乙至少有一人胜出的概率为 …(6分) 12 (2)①事件D=“甲，乙两轮都失败”，事件E=“甲，乙两轮都胜出”， 则PD=P4AB网)Q-px-90=150' 1 1-p-+p25, 2 32.6 P(E)=P(ABBB)=P 3 4 39= 25 12 解得p= 5’=5 pq= 25 (10分) ②事件G=“甲两轮都胜出”，事件H=“乙两轮都胜出”，事件K=“甲，乙两人至少 有一人两轮都胜出”， P(G)=3x3-9 P(A)=2x48 (13分) 4520 3515 P)=P(G丽)+PGA)+PGH=9x7+1x8+9x8-3+88+72_23 X 201520152015 300 300 …(17分） 19.(本小题满分17分) (1)解：A(-a,0),B(a,0), √2 互 a如2ko·k如1-2 2=-,解得a=V2.…(4分) 又点D 2 在椭圆C上， +26=1,解得b=1, 1.1 椭圆c的方程为云+y”=1. …(7分) 2 高二数学MG参考答案·第7页（共8页） (2)证明：，1不与x轴重合， 可设：x=my+2,与，+y1联立，可得0m+2y+4m+2 设M(:,),N(x,y2),则当△=16m2-8(m2+2)=8m2-16>0时， -4m 4+3= m2+2 (10分) 2 1y=m+2 令x=四+2中x=1,则y=-1 r()oo (12分) 设G(,0),H(x40), + 令QM:y= mx-1中y=0, m 解得6=+2m+1+1-1+1 my +1 my+1 my+1 my+11 同理可得飞=1+1 …（14分) +1 ·5+x=2+my+⅓)+2 =2+ m(y+y2)+2 (my1+1)(my2+1) m21为+m(y+y2)+1 4m+20m2+2）-2+2m+4-4=2xe =2+2m-42+m+2 -m2+2 .E为GH中点. …(17分) 高二数学MG参考答案·第8页（共8页）马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)》 5(1+i) 1.(2+i)(2-i) A.1-i B.1+i C.-1 D.1 2.已知集合A={xx2-x-6<0},B={xx≤3，则“x∈A”是“x∈B”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知点A(2,0),B(3,-√/3)，则直线AB的倾斜角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知平面a的一个法向量元=(1,1,2)，内有一点A(1,2,0),外有一点 B(2,1,1),则点B到平面a的距离为 4.23 43 √6 B. C. 3 3 3 D.6 高二数学MG·第1页（共6页） 5.如图1，西周琱(diāo)生簋(gu)是贵族琱生为其祖先制 作的宗庙祭祀时使用的青铜器.该青铜器可看成由上、下两 部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作 圆柱，且圆柱和圆台的高之比约为5：3，圆台的上底面与圆 柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为4：5，则 圆柱与圆台的体积之比约为 图 A.80:81 B.80:61 C.9:8 D.1:2 6.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点 A(-3,4)的直线1的一个法向量为(1，-3)，则直线1的点法式方程：1×(x+3)+(-3)》 ×(y-4)=0,化简得x-3y+15=0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 M(1,2,3)的平面的一个法向量为m=（1,2,-3),则该平面的方程为 A.x-2y-3z+4=0 B.x+2y+3z+4=0 C.x+2y-3x-4=0 D.x+2y-3z+4=0 7.已知两平行直线1：3x+4y+5=0与，：6x+a+b=0之间的距离为2则a+b= 41 31.41 A. B.13或23 C.23 D. 2或2 2W2 8.已知椭圆E: 方1(0>b>0)的左、右焦点分别为F1,F,离心率为？，点A在椭 圆E上，且|AF,=2|AF,|,△AF,F,的面积为4√7，则椭圆E的长轴长为 A.4√2 B.8√2 C.6 D.12 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=20s(2+1g<满足x)+写-=0，则 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x 5不对称 1 C.f(x)在区间 3π11T 2 6 上单调递减 D.f(x)在区间(0，π)上有两个零点 高二数学MG·第2页（共6页） 10.在空间直角坐标系O-xyz中，已知A(1,2,-1),B(0,1,1),下列结论正确的有 A.|AB=√6 B.OA.OB=1 C.若元=(4,2，t),且元⊥AB,则t=3 D.若m=(1,1,k)且m∥AB,则k=2 11.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆 的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被 称为“蒙日圆”如图2所示.当椭圆方程为+二=1(a>6>0)时，蒙日圆方程为 a2 b2 上。+.已知长方形G的四边均与椭圆M:+1相功、则下列说法正确的是 A.椭圆M的左焦点为(-2,0) B.椭圆M的蒙日圆方程为x2+y2=7 C.若G为正方形，则G的边长为25 D.长方形G的面积的最大值为14 图2 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11,15,17，a,25,26,27,34,37, 38,若该组数据的40%分位数为24，则a= 13.已知空间向量a=(2,-2,-1),b=(3,0,-4),向量在向量b上的投影向量坐 标为 14.已知点P为圆C1:(x-5)2+y2=4上位于第一象限内的点，过点P作圆C2:x2+y2-2ax +a2-a+2=0(2<a<5)的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,直线PM,PN分别交 |AC21 x轴于A(1,0),B(4,0)两点，则5C, :MN= (第一空3分，第二空2分) 高二数学MG·第3页（共6页） 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 圆C的圆心为C(2,0),且过点43.5 2’2 (1)求圆C的标准方程； (2)直线l:x+y+1=0与圆C交M,N两点，且|MN|=√2，求k的值. 16.(本小题满分15分) 已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c·cosB=2a+b. (1)求角C的大小； (2)若b=1,c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D,求CD的值. 高二数学MG·第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) 如图3甲，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,BC=2AD=2AB=2√2，∠ABC=90°，O为 BD的中点.把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD,如图乙. (1)求证：OA⊥CD; (2)若M为线段BC的中点，求AM与平面ACD所成角的正弦值 甲 图3 18.(本小题满分17分) 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”.竞赛共分两 轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概 率分州为，子，在第二轮比赛中，选于甲，乙胜出的概车分别为P,(p<9.微设 甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响， (1)在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； 1 6 (2)若甲，乙两轮都失败的概率为150甲，乙两轮都胜出的概率为25 ①求p,g的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率 高二数学MG·第5页（共6页) 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C:2+ 在椭圆C a b2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点D1, 2 上，且直线AD与直线BD的斜率之积为-2过点E(2,0)且不与x轴重合的直线1 与椭圆C交于M、N两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与直线x=1交于点P,过P作y轴的垂线，垂足为Q,直线QM、QN分 别交x轴于点G、H,证明：E为GH的中点. 高二数学MG·第6页（共6页）