精品解析：河南南阳市六校2025-2026学年高二下学期期末素质评价数学试题

南阳六校高二年级期末素质评价 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应題目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合且的非空子集的个数为（ ） A. 15 B. 31 C. 32 D. 64 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 13 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若函数的值域为，则a的值最小为（ ） A. e B. 2 C. 1 D. 6. 已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 若是函数的极大值点，则的极小值为（ ） A. B. C. 0 D. 4 8. 若关于x的不等式恒成立，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数和满足，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数的最小值不可能为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象在点处的切线方程为 B. 若，则a的取值范围是 C. 若，则 D. 若方程无实根，则a的最小整数值是0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若成等比数列，则该数列的公比为________． 13. 若，则实数________． 14. 已知数列的前n项和为，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 16. 已知数列的各项均不为0，前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数的定义域为D，且，，使得恒成立，则称是D上的受约束函数，为的约束值． （1）判断是否是受约束函数，若是，求出约束值的最小值，若不是，请说明理由； （2）若在区间上是受约束函数，且存在约束值，求实数a的取值范围． 18. 已知函数． （1）若，证明：曲线在点处的切线过定点； （2）若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围； （3）若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意的恒成立，求a的值； （3）若数列的前n项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳六校高二年级期末素质评价 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应題目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合且的非空子集的个数为（ ） A. 15 B. 31 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 4. 若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用作差法判断A；利用作差法、基本不等式及指数函数的性质判断B；利用作差法、及二次函数的性质判断C；利用作差法、基本不等式及对数函数的性质判断D.. 【详解】对于A，对，且， 则， 所以，不满足题意，故A错误； 对于B，对，且， 则 ， 所以，满足题意，故B正确； 对于C，对，且， 则 ， 所以，不满足题意，故C错误； 对于D，对，且， ， 由基本不等式可得， 所以， 即， 所以，不满足题意，故D错误. 5. 已知，若函数的值域为，则a的值最小为（ ） A. e B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，又，所以； 当时，函数在上单调递增，所以； 又函数的值域为，所以，解得， 所以a的值最小为1. 6. 已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得为周期为的偶函数，根据性质求值. 【详解】已知是定义在R上的偶函数，即， 是奇函数，即， 则， 所以， 所以， 则. 7. 若是函数的极大值点，则的极小值为（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由极值点可以将的值计算出来，求导由单调性找出极小值点，代入函数计算极小值. 【详解】，所以， 因为是函数的极大值点，所以，解得， 所以，则， 令，或，，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， ， 所以函数的极小值为. 8. 若关于x的不等式恒成立，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合绝对值函数的最小值性质，确定的取值，再根据的区间最值条件求解的值，再代入对数公式计算。 【详解】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立， 即当时，恒成立， 所以只需， 所以； 2、恒成立恒成立， 即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需， 所以， 联立即， 计算. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，则得，故A正确； 对于B，若取，满足， 此时，不满足，故B错误； 对于C，由题意得，因为， 所以，故C正确； 对于D，由题意得，因为，所以， 则，故D正确. 10. 已知函数和满足，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数的最小值不可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性即可判断AB；利用导数即可求出函数的单调性，判断C；令，将转化为关于的二次函数，分类讨论对称轴即可判断D. 【详解】对于A，由于为奇函数，为偶函数，所以，， 又因为，所以，即， 根据，解得，，故A正确； 对于B，由选项A可知，，所以， 而，因此，故B正确； 对于C，，求导得，当时，且，因此，即， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D，由选项B可知，且，所以， 因此函数可转化为， 令，由于，当且仅当时取等号，所以， 所以变成，对称轴为， 当，即时，的最小值在处取得，此时， 由于，所以，即的最小值大于等于； 当，即时，的最小值在处取得，此时， 由于，所以； 综上所述，的最小值不可能为，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象在点处的切线方程为 B. 若，则a的取值范围是 C. 若，则 D. 若方程无实根，则a的最小整数值是0 【答案】AC 【解析】 【分析】通过对函数求导判断各类情况的斜率、单调区间来求解，并利用函数间的不等式判断范围. 【详解】选项A，因为，当时，，，可知切线斜率为，又因为，所以切线方程为，正确. 选项B，，， 若，则，明显不恒成立. 若，则，时不成立. 若，令，解得，所以在单调递增，单调递减. ，要使，即可，解得，错误. 选项C，时，，使成立，即成立. 因为，函数在单调递减，在单调递增，且，所以，等号在时成立， 因为，函数在单调递减，在单调递增，且，所以，等号在时成立， 可知成立，正确. 选项D，，可知， 因为且，所以与函数有交点，即存在实根，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若成等比数列，则该数列的公比为________． 【答案】 2 【解析】 【详解】因为成等比数列，所以， 解得，所以该数列的公比为. 13. 若，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同构的思想可得，设函数，利用导数得函数单调性，从而得解. 【详解】由，可得， 即， 设函数，则, 所以函数为增函数， 所以，即. 14. 已知数列的前n项和为，若，则________． 【答案】30200 【解析】 【分析】分析出，再分组求和即可 【详解】当，时，， 当，时，， 两式联立得， 故，所以，所以， 又，故，即， 将与相加可得 ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解； （2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解. 【小问1详解】 不妨设二次函数， 由，可得，所以； 由，可得， 即，即，解得，故. 【小问2详解】 函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上没有最大值，符合题意； 综上所述：若在上没有最大值，实数m的取值范围为． 16. 已知数列的各项均不为0，前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，从而可得数列是等比数列，再求通项公式即可； （2）由（1）可得，从而得，从而利用错位相减求解即可. 【小问1详解】 因为①， 当时，则有， 当时，则有②， 由①②， 得， 所以， 即， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减，得 ， 所以. 17. 已知函数的定义域为D，且，，使得恒成立，则称是D上的受约束函数，为的约束值． （1）判断是否是受约束函数，若是，求出约束值的最小值，若不是，请说明理由； （2）若在区间上是受约束函数，且存在约束值，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，3 （2） 【解析】 【分析】（1）求得函数值域，即可判断； （2）由题意得到在上恒成立，通过参变分离，基本不等式求最值，即可求解． 【小问1详解】 由题意可得，解得． 当时，，所以， 所以，即， 所以是上的受约束函数，且的约束值满足， 故的约束值的最小值为3． 【小问2详解】 因为在上是受约束函数，且存在约束值为， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立． 因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以，即的取值范围为． 18. 已知函数． （1）若，证明：曲线在点处的切线过定点； （2）若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围； （3）若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 【答案】（1）已知函数，若，则，， 由于，所以切点为， 切线斜率， 因此切线方程为，化简得，即， 当，即时，， 因此曲线在点处的切线过定点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于的函数即可求解； （2）根据题意，求出，然后利用导数求出函数的单调性，根据极大值大于且极小值小于即可求解； （3）构造函数，根据题意，得出在上单调递减，利用导数求出单调性即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 已知函数，则， 由于是的极值点，所以，解得，所以，， 令，解得，， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增； 因此在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为， 要使有个不同的零点，要满足极大值大于且极小值小于， 即，解得，所以的取值范围是. 【小问3详解】 已知函数，则， 由于对任意的，且，恒有，移项得， 构造函数，上述条件等价于：对任意的，且，恒有， 即在上单调递减，则其导数在上恒成立， 由于，， 当时，，所以大于等于的最大值， 令，，令，解得， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 因此在处取最大值，最大值为， 所以，解得，所以的取值范围为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意的恒成立，求a的值； （3）若数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）1 （3）证明：， 故只需证明，即， ， 先证明，当时，恒有， 由（2）知，在上恒成立， 即在上恒成立，当且仅当时，等号成立， ，令，则，即， 令，得， 令，得， 上面两式相加得， 即， 当时，，当时，，当时，， ……，当时，， 相加可得，故结论得证； 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在（1）的基础上，得到函数最值，从而得到不等式，求出解集，得到答案； （3）变形，在（2）基础上，得到，变形得到，裂项相消法求和，证明出结论. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递增， 又，故当时，，不满足对任意的恒成立，舍去； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 要想满足对任意的恒成立，只需， 令，，则， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，故的解集为，故a的值为1； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $