河南许昌市禹州市十一校联考2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题

★HN202606 高二数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查集合中元素的个数， 解析A={xlx<5且x∈N}={0,1,2,3,4},共5个元素. 2.答案C 命题透析本题考查等差数列的性质。 解析由等芜数列的性质，可知4+a=+aa合，所以S。B(a=1B×名=1 2 3.答案D 命题透析本题考查复数的运算 解析z=(1+2i)(2+3i)=2+3i+4i-6=-4+7i,虚部为7. 4.答案B 命题透析本题考查函数的图象与性质 解斩因为新离e0,+),且，都有）>行 ,所以f(x)为图象下凸的函数，分别 作出四个函数的图象进行判断，由图象可知B正确： 个yfx)=x tyf(x)=2 ty f(o)=Inx fx)三-x 5.答案C 命题透析本题考查平面向量的数量积， 解析连接BD,设AC与BD交于点O,则AC⊥BD.因为菱形ABCD的边长为2，∠DAB=T,所以△ABD是等 边三角形，所以A0=√3，从而AC=23,所以A元.A心=A元.A0=6. 6.答案C 命题透析本题考查函数的周期性、奇偶性 解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-x)=fx).因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1), 即f(x+1)=-f-x+1),则f(x)=-f(-x+2)=-f(x-2),则fx)=f(x+4),所以fx)是周期为4的周期 函数，则f10)=f(2×4+2)=f(2)=f(-2)=1. 1 7.答案A 命题透析本题考查多面体与球的位置关系. 解析根据正八面体的对称性，四边形ABCD,AECF,BEDF均是正方形.因为EF=2√2，所以这三个正方形的 边长均为2.由于棱切球与每条棱均相切，所以棱切球的直径等于这三个正方形的边长，则半径为1，所以棱切 球的体积为号 8.答案D 命题透析本题考查抛物线与直线的位置关系： =2px, 解析由题意知F(号，0），设1：x=m心y+号，4(x%),B(,),其中%>0>由{ 消去x,得 =my+号， 了-20-=0，期+%=2m%=-p.所以+场=m红+为）+n=2m+n西=片因为∠D8= 90,所以.成=-0，即（与+号（色+号}+-(-）=0，化简整理得m-2@+子-0，解得 3 w-=0,解得n=3=-2,则-=3 3,所以23 1BFI1y2I 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.答案AD 命题透析本题考查三角函数的图象与性质. 解析函数f代)=sinx+cosx=2sim(x+平），g(x)=sinx-cosx=2in(x-牙），g(x)=x-牙），即 g(x)的图象可以由f(x)的图象向右平移T个单位长度得到，所以f代x)与g(x)有相同的最小正周期和相同的 值域，但是对称中心不同，零点不同。 t=万sinx- a万sin+g 10.答案ACD 命题透析本题考查双曲线的性质. 解析因为双曲线C2-号-1，所以a=1,6=6,c=公+8-1+3-2 对于A,C的离心率为=2，故A正确； e -2— 对于B,左焦点R(-2,0),渐近线方程为y=±x=±5x,所以点F,到渐近线的距离为d= 1±3×(-2)L=5,故B错误； √1+3 对于C,在△AFF2中，IOAI=IOF1I=IOF2I=2,所以△AFF2为直角三角形，由 AFI-1AF211=2, 得AC,A,=6,所以△AF,F的面积为7AF,AF,=7×6=3,故C正确； AF 12+1AF212=IFF212, [AFIIAF21=6, 对于D,由 IFF2142万 LIAF12+AF12=16, 得1AF,1+1AF,=27,所以椭圆的离心率为AF,+1AP,2行7， 故D正确。 11.答案AC 命题透析本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的性质. 解析对于A,当a=0时)=nx了(x)=,则f1)=0,f(1)=1,所以fx)的图象在点(1，f1)处的 切线方程为y-0=1×(x-1),即y=x-1,故A正确； 对丁B)≤0可化为a=设y则y,令y>0,解得0<<6，令y<0解得x>e,所以 y=的最大值为。，所以≥。，故B错误； 对于C,当a=1时f(x)=lnx-x,要证e·f(x)≤-ex,即证x-xel--lnx≥0，设h(x)=x-xe--nx,则 '(x)=x-)c+1,所以当0<x<1时，()<0，h()单调递减，当x>1时，'(x)>0,h(x)单调递 增，所以h(x)min=h(1)=0,故h(x)≥0恒成立，故C正确； 对于D,当a=0时，f(x)=lnx,原方程即elnx=ex,也即lnx=xe-,易知函数p(x)=xe-在(0,1)上单调 递增，在(1，+∞)上单调递减，又p(1)=1,当x→+∞时，p(x)0,所以画图可知f(x)与p(x)的图象有交 点，则原方程有实根，故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案43 命题透析本题考查正弦定理的应用. 解析由正弦定理可得sinC=csin B 8*③ ×243 b 7 7 13.答案号 命题透析本题考查排列组合的应用以及古典概型的概率计算. 解析所求的概率为 C4A34x3×2_2 c)2= 62 3 一3 14.答案30200 命题透析本题考查数列的递推公式 解析因为an+1=(-1)"-1an+3n-1,所以a2k+1=-a2k+6k-1①，a2k=a2k-1+6k-4②，由①②可得a2k+1+ a2k-1=3③，则a2k+3+a2k+1=3④，所以a2k+3=a2k-1⑤.由①可得a2k+a2k+1=6k-1,由⑤可得a1=a5=a,=…= a201,所以S20=a1+a2+a3+…+a198+a199+a20=a1+(a2+a3）+…+(a198+a199）+a200=（a2+a3）+…+ 100 (a18+a19）+(am+a01）=∑(6k-1)=30200. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查频率与概率，独立性检验的应用. 解析(1)估计男生关注世界杯的概率为24+6=行 24 4 …(3分) 女生关注世界怀的假率为写D号…（6分)） 2. (2)零假设H。为：男生与女生对世界杯的关注度没有差异. …（7分） 根据列联表中的数据计算得X-50×24×12,8×62.25≈8.33，…（10分)） 30×20×32×18 3 因为8.333>6.635，所以根据小概率值α=0.01的独立性检验推断H。不成立， 所以男生与女生对世界杯的关注度有差异.… …(13分） 16.命题透析本题考查等比数列的通项公式及错位相减法求和. 解析(1)因为4an-3Sn=4①，所以4an+1-3Sn+1=4②； ②-①，得4an+1-4an-3(Sn+1-Sn)=0,即an+1=4an, 又an≠0，所以{an}是公比q=4的等比数列.… (3分) 对于①式，令n=1,有4a1-3a1=4,解得a1=4.… …(5分) 所以an=a19-1=4·4m-1=4”, 即{an}的通项公式为an=4”.… (7分) (2)由(1)可知a,=4,所以6，=log,a.=log44=n,则 n …(9分)》 a. 所以万=京+导+…+品+异。 4n =+++ 4”4+1 两式相得，=子+京++…+品 4n4+ -】。 1-4 1)4品， (14分) 所以=号30.4· …(15分）》 一4 17.命题透析本题考查垂直关系的证明以及线面角的计算. 解析方法一：在正方体ABCD-AB,C,D1中，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， D A 、E D …（1分)》 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),E(1,0,1),F(2,1,0),G(1,2,0),H(2,0,h). …(3分) (1)因为D求=(2,1,0)，Gi=(1,-2,h),… …(4分) 所以D市.Gi=2x1+1×(-2)+0×h=0, 所以DF L GH..… …(6分) (2)设n=(x,y,z)为平面CEF的法向量， 因为C2=(1,-2,1),C=(2,-1,0), C2.n=x-2y+z=0 所以 C.n=2x-y=0, 令x=1,则n=(1,2,3).…(9分) 因为GH∥平面CEF,所以G·n=1×1-2×2+3h=0,解得h=1, 所以E7=(1,0,0). (12分) 设直线EH与平面CEF所成的角为0， 则sim9=1cs(i,n1=Ei.nL=1x1+2x0+3×01 04 1Ei·1nl√12+02+02×√2+22+32 14 即直线ǖ与平面CEF所成角的正弦值为4 141 (15分) 方法二：(1)连接AG,A1G. 在正方体中，AA1L底面ABCD,所以AA1LDF.…(1分) 因为G,P分别是C,AB的中点，所以品-船-宁 即tan LADF=tan BAG,所以DF⊥AG.… (3分) 又AG∩AA1=A,所以DF⊥平面A1AG, (5分) 又GHC平面AAG,所以DF⊥GH. (6分) (2)同方法一. -5 18.命题透析本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系. 「2c=23, ,a=2, 解析(1)设C的半焦距为c(c>0).由题意可知e=g-,解得c=5, a2 b2=a2-c2, Lb2=1, 所以C的方程为名+y=L.… …(3分)》 (2)由(1)可知F1(-√5,0)，F2(5,0): 可设l:x=my-√5，A(x1,y1),B(x2,y2), x2 4+y=1, 由 消去x得(m2+4)y2-23y-1=0,…(4分) x=my-3, 则%+2=25m 1 m2+4h=- …(5分） m2+4 所以Iy-|=√(y+y2)-4y2= 4m2+1 m2+4/ - 4m2+4 m2+4 …（7分)》 Samrx 43 45 一≤ m2+4 43=2, √m+1+ 3 m2+i2, √m2+1x 3 23 √/m2+1 当且仅当√m+1=一3，即m2=2时“=“成立， √m2+1 即△ABF2的面积的最大值为2.…(10分) +y2=1, (3)设l:x=my+t.由{ 4 消去x得(m2+4)y2+2mty+2-4=0, Lx=my +t, m+42s-4 5所以4=(2m)2-4(m+4)(-4)=-16r2+16m2+64>0,+2=-2m, …(12分) m2+4 因为AD1BD,D(-2,0),所以由D·D=0可得(x1+2)(x2+2)+yy2=0,…(13分) 所以(m2+1)y1y2+(mt+2m)(y1+y2)+(t+2)2=0, 即(+14+(m+2m(-34++2产=0， m2+4 化简整理得52+16t+12=0,解得t=-2或t=- 5· …(15分) 当t=-2时，直线l:x=my-2经过点D,不符合题意； 当1=-号时，直线1：x=m心-日经过点(-号，0），也满足4>0，符合题意 综上所述：当AD1BD时，直线1过定点(-9,0) (17分) —6 19.命题透析本题考查函数与数列的综合 解析由题可知f的定义域为0，+o)f()三-a三1-a心.…(2分 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增；…(3分) 当a>0时，令f(x)>0,解得0<x<a令f()<0,解得x> a 所以x)在(0，)上单调递增，在（合，+如）上单调递诚 综上，当a≤0时，x)在(0，+)上单调递增；当a>0时，(x)在(0，)上单调递增，在（合，+如上单调 递减 …(5分）》 (2)由(1)可知，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，又当x→+∞时，f(x)→+∞，所以此时f(x)≤0不 恒成立.… …(6分） 当a>0时x)在(0，。)上单调递增，在(，+∞）上单调递减。 所以)m=分）=h合-（合-小=-na+a-1,…（7分） 设g(a)=-lna+a-1,则只需g(a)≤0(*)， g(a)=-1+1=a-1 a, 由g'(a)>0,得a>1,由g'(a)<0,得0<a<1, 所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以g(a)n=g(1)=0,即g(a)≥0，结合(*)式可知g(a)=0, 所以a=1.… …(10分) (3)由(2)可知，当a=1时，f(x)≤0，即lnx≤x-1,所以ln(x+1)≤x(只在x=0时取等号).…(12分) 令=2则(22+小水22即22 …（14分） 所以h子+++h<21+写++2-) 即叫（是×号x》<2+号+…*2） 即ln(2n+1)<2Sn, 即ln√2n+1<Sn,得证. …(17分) 7★HN202606 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.集合A={xlx<5且x∈N}的元素的个数为 A.4 B.5 C.6 D.无穷多个 2 2.已知等差数列a,的前n项和为S,若a,+a=,则S= A.-13 B.-1 C.1 D.13 3.复数z=(1+2i)(2+3i)的虚部为 A.1 B.3 C.5 D.7 4若话数5清足V5e0,+),且与，都有西）>佰生)，则✉)的 解析式可能是 A.f(x)=x B.f(x)=21 C.fx）=-x2 D.f(x)=In x 5.在边长为2的菱形ABCD中，LDAB=于，则AC·Ad= A.25 B.4 C.6 D.45 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x+1)是奇函数，f(-2)=1,则f(10)= A.-2 B.-1 C.1 D.2 数学第1页（共4页） 7.如果一个球与多面体的每条棱都相切，则称这个球为多面体的“棱切球”，如图，在正八面 体E-ABCD-F中，EF=2√2，则该正八面体的棱切球的体积为 B,82m 3 C.4π D.8π 8.过抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点F的直线1与C交于A,B两点(A在第一象限)， 点D-分，，若∠AD8=90,则4 B C.2 D.3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=sinx+cosx与g(x)=sinx-cosx,则f(x)与g(x) A.有相同的最小正周期 B.有相同的零点 C.有相同的对称中心 D,有相同的值域 10已知0为坐标原点，，店分别是双线C2-号-1的左右焦点，点A在C上且1O41=-2,则 A.C的离心率为2 B.点F,到C的一条渐近线的距离为3 C.△AF,F2的面积为3 D,以B,5为焦点且经过点A的椭圆的离心率为 11.已知函数f(x)=lnx-ax(aeR),则下列说法正确的是 A.若a=0,则f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y=x-1 B.若f(x)≤0，则a的取值范围是[e,+oo) C.若a=1,则e·f(x)≤-ex D.若方程e·f(x)=ex无实根，则a的最小整数值是0 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设△ABC的内角AB,C的对边分别为a6,c已知b=7,c=8,B=号，则sinC= 13.语文老师要求全班所有同学从中国古典四大名著中任选两本阅读，则本班甲、乙两位同学 阅读的四大名著恰有一本相同的概率为 14.已知数列|a,|的前n项和为Sn,若a+1=（-1)"-an+3n-1,则S2o= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 2026年国际足联世界杯于6月11日至7月19日由美国、加拿大、墨西哥三国联合举办， 球迷小明为了解大家对世界杯的关注程度，对全班50名同学进行调查，统计数据如下： 关注世界杯 不关注世界杯 男生 24 6 女生 8 12 (1)分别估计男生和女生关注世界杯的概率； (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析男生与女生对世界杯的关注度是否有 差异 n(ad-bc)2 a 0.05 0.01 0.001 附x=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d西 a 3.841 6.635 10.828 16.(15分) 已知数列{an|的各项均不为0，前n项和为Sn,且4a。-3Sn=4(n∈N·) (1)求{an|的通项公式； (2)设bn=log4an,求数列 的前n项和Tn a 数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，E,F,G分别为A,D,AB,BC的中点，点H 在棱AA,上，且AH=h(0<h≤2)， (1)证明：DF⊥GH: (2)当GH∥平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值 B D H 18.(17分) 已知圆C后+专=1(a>6>0)的左，右焦点分别为R,且RF月1=2万，离心率为 ,不与y轴垂直的直线L与C交于A,B两 (1)求C的方程； (2)若直线l经过点F,求△ABF,的面积的最大值； (3)C的左顶点为D,若AD⊥BD,证明：直线I过定点， 19.(17分) 已知函数f(x)=lnx-a(x-1)(aeR). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)≤0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，求a的值； (3)若数列2-}的前a项和为3，求证：hV2a+<S. 数学第4页（共4页）★HN202606 高二数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.B 2.C 3.D 4.B 5.c 6.C 7.A 8.D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.AD 10.ACD 11.AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.43 号 14.30200 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(1)估计男生关注世界杯的概率为24+6了 244 (3分) 女生关注世界杯的概率为g2=子 (6分) (2)零假设H。为：男生与女生对世界杯的关注度没有差异 ……(7分) 根据列联表中的数据计算得X=50×(24×2,8×6-258.33,…（10分) 30×20×32×18 3 因为8.333>6.635，所以根据小概率值α=0.01的独立性检验推断H。不成立， 所以男生与女生对世界杯的关注度有差异。…(13分) 16.解析(1)因为4an-3Sn=4①，所以4an+1-3Sn+1=4②， ②-①，得4an+1-4an-3(Sn+1-Sn）=0,即a+1=4an, 又an≠0，所以{an}是公比q=4的等比数列.… (3分) 对于①式，令n=1,有441-3a1=4,解得41=4.…(5分) 所以an=a1g”-1=4·4-1=4”, 即{an}的通项公式为an=4”.… …(7分) (2)由(1)可知a,=4,所以6。=log4a,=6g,4°=n,则=n an 4n ……(9分) 所以T=+2 4+42+…+1 4n 12 40+ 4=+…+”+ 40+1, 一1 两式相减，得子， 111 4 43+…+ 42 出(】 1 1-4 4n+】 1中) (14分) 所以工=号3n4· 9 4n (15分) 17.解析方法一：在正方体ABCD-AB,C,D,中，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， A B D …(1分) 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,2),E(1,0,1),F(2,1,0),G(1,2,0),H(2,0,h) (3分) (1)因为D7=(2,1,0),G7=(1,-2,h),…(4分) 所以DF.G=2×1+1×(-2)+0×h=0, 所以DF⊥GH. ..e. (6分) (2)设n=(x,y,)为平面CEF的法向量， 因为C2=(1,-2,1),C7=(2,-1,0), rC2.n=x-2y+z=0, 所以 令X=1,则n=(1,2,3).…(9分) C7.n=2x-y=0, 因为GH∥平面CEF,所以G·n=1×1-2×2+3h=0,解得h=1, 所以E7=(1,0,0).…(12分) 设直线EH与平面CEF所成的角为O, 则sin0=1cos(成，m1=Ei·nl。 11×1+2×0+3×01 14 1E7i1·1l2+02+02×2+22+32 14 即直线EH与平面CEF所成角的正弦值为4 141 (15分) 2 方法二：(1)连接AG,AG. 在正方体中，A41⊥底面ABCD,所以A41⊥DF (1分) 因为G,F分别是BC,AB的中点，所以AC=BC=1 ADAB=2. 即tan∠ADF=tan∠BAG,所以DF⊥AG.… (3分) 又AG∩AM1=A,所以DF⊥平面A1AG, (5分) 又GHC平面AAG,所以DF⊥GH. …(6分) (2)同方法一 2c=25, ,a=2, 18.解析(1)设C的半焦距为c(c>0).由题意可知e=台-5，解得c=5 21 b=a2-c2, 【b2=1, 所以C的方程为+y2=1.…(3分) (2)由(1)可知F(-5,0),F2(5,0). 可设l:x=my-5,A(x1,y),B(x2,2), 由 4+y=1, 消去x得(m2+4)y2-25y-1=0,…(4分) lx=my-√3， 则y+5=25m 1 m+4为= …(5分） m2+4 所以11-21=√(y1+y2)2-4y= …(7分) m2+4 Sam=kl-为1=4x 43 45 45 ≤ m2+4 =2, √m2+1+ 3 2/Wm2+1x3 25 √m2+1 m2+1 当且仅当√m+1=一3，即m=2时“=”成立， √m2+1 即△ABF2的面积的最大值为2.… …（10分) rt (3)设l:x=my+k.由 4 +y2=1, 消去x得(m2+4)y2+2m+2-4=0, Lx =my +t, 所以4=(2m)2-4(m2+4)(-4)=-162+16m2+64>0,y+2=-2m m2+45= 2-4 …(12分) m2+4 因为AD1BD,D(-2,0),所以由Di·D2=0可得(x1+2)(2+2)+yy2=0,…(13分) 所以(m2+1)y1y2+(mt+2m)(y1+y2)+(t+2)2=0, 即(+14+(+2m(4++2=0, m2+4 一3— 化简整理得5+161+12=0，解得t=-2或t=- 5 …（15分) 当t=-2时，直线l:x=my-2经过点D,不符合题意； 当=-g时，直线1：=my-经过点(-号.0），也满足4>0，符合题意 综上所述：当A01BD时，直线1过定点（号， …(17分) 19.解析(1)由题可知x)的定义域为(0.+)()=-a=(1-m).…(2分) 当a≤0时，f(x)>0恒成立，所以f代x)在(0，+0)上单调递增；…(3分) 当a>0时，令()>0，解得0<<石令f)<0,解得x> 1 a 所以)在0，)上单调递增，在口，+×）上单调递减。 综上，当a≤0时x)在(0，+如)上单调递增；当a>0时，x)在(0，）上单调递增，在（合，+）上单调 递减. …(5分) (2)由(1)可知，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，又当x→+∞时，f(x)→+o,所以此时f(x)≤0不 恒成立 …(6分)》 当a>0时x)在(0，)上单调递增，在(，+∞）上单调递减， 所以)m=fa)=n。-a(日-=-lna+a-l, …(7分)） 设g(a)=-na+a-1,则只需g(a)≤0(*)， g(a）=-石+1=4， a 由g'(a)>0,得a>1,由g'(a)<0,得0<a<1, 所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以g(a)m=g(1)=0,即g(a)≥0，结合(*)式可知g(a）=0, 所以0=1…(10分） (3)由(2)可知，当a=1时，f(x)≤0，即lnx≤x-1,所以ln(x+1)≤x(只在x=0时取等号).…(12分) 令2则2+小2即h品 2 …（14分) 即叫各×号x领》21+片+2} 即ln(2n+1)<2Sn, 即ln√2n+I<Sn,得证. …(17分) -4