河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

方城一高2024-2025学年高二下学期7月质量检测 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔记清晰. 4．按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的展开式中的常数项为（   ）． A． B．4 C． D．2 2．已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为（   ） A． B． C． D． 4．已知变量和变量的一组成对样本数据，其线性回归方程为，若，，新样本数据得到的线性回归方程依然为，则（   ） A． B． C． D． 5．设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．若，则直线经过的中点； B．若，则过的直线与直线平行； C．存在实数，使得点在直线上； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 6．已知空间四个点，，，在同一个平面内，则实数（    ） A．1 B． C．0 D． 7．已知，，，则大小关系正确的为（    ） A． B． C． D． 8．设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9．连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（    ） A．事件B与事件C互斥 B． C．事件A与事件B独立 D．记C的对立事件为，则 10．某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 11．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C．若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D．当时，若，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．抛物线上一点到其焦点的距离的最小值为 . 13．一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款 元．（参考数据：，，，） 14．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差. 16．（15分）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和. 17．如图，四棱锥中，． (1)当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ (2)当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 18．（17分）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，． (1)求椭圆的方程； (2)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证： （i）； （ii）直线过定点，并求出此定点的坐标． 19（17分）．已知函数． (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方城一高2024-2025学年高二下学期7月质量检测 数学参考答案 1．【答案】A 【解析】二项式的展开式的通项公式为，，令，得，令，得，由于，故其展开式中的常数项为． 2．【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，由，解得，所以，，当为奇数时，；当为偶数时，．所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，故，，． 3．【答案】D 【解析】因为甲队与乙队实力之比为，所以每局比赛中甲获胜的概率为，则甲队打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为． 4．【答案】C 【解析】记，，则，同理，所以，点、都在直线上，所以，，解得． 5．【答案】C 【解析】对于A选项，若，则，即，，直线经过线段的中点，故A正确；对于B选项，当时，若，则，整理得，此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上，故过、两点的直线与直线平行；当时，若，则，整理得，此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾，故，所以，即，所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确；对于C选项，若点在直线上则，不存在实数，使点在直线上，故C不正确；对于D选项，若，则，或，所以，且，所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等，所以直线与线段不平行．故D正确． 6．【答案】A 【解析】∵空间四个点，，，在同一个平面内，∴，，，且，∴，∴，解得，，． 7．【答案】A 【解析】因为，，所以，由于，故，故，设，则，即单调递减，故，即，故，即；，，令，，令，则，当时，在递减，当时，在递增，所以，即（当且仅当时等号成立），∴，即，即，∴． 8．【答案】D 【解析】因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：．因为点到直线：的距离为：，所以直线与圆相切．又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点，所以直线的斜率为：．又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：．又．即．故选：D． 9．【答案】BCD 【解析】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误；选项B：，正确；选项C：，，故A与B独立，正确；选项D：，，正确． 10．【答案】ACD 【解析】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝，对于A，每次使用法宝有种，因可以重复使用，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故A正确；对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故B错误；对于C，先将除乾坤圈､风火轮以外的5种法宝排列，共有种，再利用插空法将乾坤圈､风火轮插入6个空位置中，则不同的使用法宝的方法有种，故C正确；对于D，先将7件法宝排列共有种，再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确． 11．【答案】ABD 【解析】对于A，当时，，则，设，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即函数在上单调递增，故A正确；对于B，当时，，则，设，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即函数在上单调递增．若存在，使不等式成立，等价于存在，成立，也即成立，由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增，故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确；对于C，由可得，因函数存在两个极值等价于有2个变号零点，由，可得，设，则，则当时，；当时，，故在上单调递减；在上单调递增，故，且当，当，则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点，即得，也即，故没有最大值，即C错误；对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数，因，且，则，由可得，即，因是上的增函数，故，又由，故，设，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以在上最小值为s()=-，故最小值为-，即D正确．故选：ABD． 12．【答案】 【解析】设抛物线上一点，其焦点，准线为，则根据抛物线定义得抛物线上一点到焦点的距离为，时等号成立，所以抛物线上一点到其焦点的距离的最小值为． 13．【答案】176 【解析】设每期应付款x元，第n期付款后欠款元，则，，…．因为，所以，解得，即每期应付款176元． 14．【答案】 【解析】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，所以，，，则，，所以第2次投篮人是甲的概率为，在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为． 15．【答案】 （1）因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为， 由题意可知：， ，由（1）可知：，， 所以X的分布列为： ， ； （2）由题意可知：， ，，， 所以X的分布列为： ， ． 16．【答案】 （1）因为，故，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 则，两式相减得，即， 所以， 因此的通项公式为． （2）由题可知， 则，所以， ， 两式相减得， 所以． 17．【答案】 （1）（i）因为，且，所以， 又为正三角形，所以， 因为，所以，进而． 因为，所以， 又因为，PB，平面PBC， 所以直线平面PBC． （ii）延长BC至E，使得，进而，连结DE， 又有，可知，四边形ABED为正方形， 连结AE交BD于O，过点O作平面ABED， 以O为坐标原点，分别以OE，OD，Oz所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 因为A，B，D，P四点在以为半径的球面上，由球的性质可知球心M在z轴上，设点M的坐标为， 所以，解得，即． 又为正三角形，连结OP，可知，又平面， 进而可得平面AOP，所以点P在坐标平面内， 设点P的坐标为，又有， 则，，解得， 所以四棱锥的高， 直角梯形ABCD的面积， 所以四棱锥的体积． （2）因为为等腰直角三角形，且，连结OP，则． 建系方法如（ii）问，， 设点， 设平面BPD的一个法向量，则， 令，则，所以． 设平面PDC的一个法向量为，则， 令，则，所以． ． 令，则， 所以． 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值． 18．【答案】 （1）由题知，，，又，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（i）由（1）知，设直线，直线， 由，消得到，得到，，所以， 由，消得到，得到，，所以， 故，， 所以， 故． （ii）由（i）知， 所以直线的方程为，整理得到， 所以直线过定点，定点为． 19．【答案】 （1）由条件， 则， 由，所以， 令，则，得或， 令，则，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减． （2）由，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 又，所以， ， 所以在上单调递增，， 由题意，，解得， 所以a的最小值为1． 高二年级数学参考答案 第 2 页 （共 10 页） 高二年级数学参考答案 第 2 页 （共 10 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$