期末综合测试卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二、三册

**基本信息** 以导数、数列、概率统计为核心，通过典例系统整合跨模块知识，凸显数学思维的逻辑推理与数学语言的精准表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数与函数|5题（1,8,10,14,19）|导数定义/单调性分析/极值判定|导数与函数性质的推导关系| |概率统计|7题（2,5,7,9,16,17,18）|全概率公式/分布列/回归方程|概率模型与统计案例的应用逻辑| |数列|5题（4,6,11,13,15）|递推求通项/错位相减求和|数列递推与求和的生成链条| |计数原理|2题（3,12）|组合数/二项式定理|排列组合与展开式的计算逻辑|

人教A版选择性必修二，三综合测试 一、单选题 1．设为可导函数，，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中不正确的是（   ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A．由题中数据可知，变量与正相关 B． C．当时，的预估值为2.1 D．去掉样本点后，与的样本相关系数必会改变 3．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（     ）种 A．12 B．18 C．36 D．72 4．已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生.先从甲小组中随机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概率为（     ） A． B． C． D． 6．在正项等比数列中，若，为方程的两个实根，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，是两个随机事件，若，，，记，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（     ） A．设随机变量，则 B．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 C．设随机变量服从正态分布，则 D．从集合中任取三个元素，且满足，定义随机变量，则的数学期望为 10．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 11．已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．的展开式中，的系数为________． 13．若数列的前项和，则的通项公式是________． 14．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为___________. 四、解答题 15．已知数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式; (2)若求数列{}的前n项和． 16．某社团调研男女同学课余运动偏好，统计数据如下列联表： 喜爱球类 喜爱慢跑 合计 男生 24 16 40 女生 12 28 40 合计 36 44 80 (1)依据小概率值的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关； (2)从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取10人，再从这10人中随机选6人，设X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17．足球赛事“宁超”是宁夏回族自治区于2026年推出的区级男子业余足球赛事，现收集了其中6场比赛的场次顺序和对应球迷人数（千）数据如表所示． 场次x 1 2 3 4 5 6 球迷人数y/千 15 17 23 23 29 31 (1)求球迷人数y关于场次x的经验回归方程，数据保留小数点后两位． (2)某公司组织城市知识问答活动，活动共有5个问题，其中3个为城市历史知识问题，2个为陶瓷制作工艺问题，答对4个问题可获得球赛门票一张．甲答对每个城市历史知识问题的概率为，答对每个陶瓷制作工艺问题的概率为，且每个问题答对与否互不影响，求甲赢得门票的概率． 附：，，.，. 18．某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立. (1)求考生甲恰好答对2道必答题的概率； (2)记考生甲的总得分为，求的分布列和数学期望. 19．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B B C B A ACD ABC 题号 11 答案 BD 1．D 【详解】由导数的概念，得， 又，即 所以. 2．D 【详解】由题意可知：，， 则样本中心点为. 对于选项A：因回归方程斜率为正值，则变量与正相关，故A正确； 对于选项B：因为线性回归方程过样本中心点， 则，解得，故B正确； 对于选项C：由选项B可知：， 当时，的预估值为，故C正确； 对于选项D：由相关系数公式知，去掉样本中心点后，与的样本相关系数不会改变，故D错误. 故选：D. 3．C 【分析】先将4个主题按2,1,1的结构分组，再将三组分配给3名游客，结合分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先将4个主题分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为； 再将分好的三组全排列，分配给3名不同的游客，排列方法数为； 根据分步乘法计数原理，总游览方式共有种. 4．B 【详解】因均为等差数列， 则. 5．B 【分析】设事件后，求出相关事件的概率，再由全概率公式计算即得. 【详解】设从甲小组中抽出1名男生为事件，从甲小组中抽出1名女生为事件， 从乙小组中抽出的学生是女生为事件. 则， 故. 6．C 【分析】根据韦达定理、等比数列的性质、对数的运算求解即可. 【详解】由题意得，. 在正项等比数列中，，所以. 所以. 7．B 【分析】由及求得，再由概率的性质、条件概率的求法求概率. 【详解】由，则，故， 由，则，且， 所以. 8．A 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 9．ACD 【分析】选项 A，二项分布概率公式求解；选项 B，服从超几何分布求解；选项 C，正态曲线求解；选项 D利用期望的线性性质求解. 【详解】选项 A，因为，则， ，故，A 正确； 选项 B，服从超几何分布，总球数 8 个，取 2 个，则， ，，即，B 错误； 选项 C，，正态曲线关于对称，因此， ，C 正确； 选项 D，集合为，共 6 个元素，任取 3 个的总组合数为， 利用期望的线性性质：每个元素被选中的概率均为，因此 ，D 正确. 10．ABC 【分析】先对三次函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次函数对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确. 【详解】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ， 知不是的对称中心，故D选项错误. 11．BD 【分析】由和的关系求出数列为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用，求出，故选项C错误，由，应用等差数列求和公式计算选项D正确. 【详解】由题意，当时，，解得. 当时，， 所以，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，，故选项A错误，选项B正确； 所以，故选项C错误； ， 故选项D正确. 12．9 【分析】利用通项公式求解. 【详解】 的通项公式为 ，, 第一部分 产生 ， 令 不是整数，此部分无项，系数为 0； 第二部分产生， ，令,解得 ，此部分系数为 ， 所以系数为0+9=9. 13． 【分析】通过，分类讨论可求得通项公式. 【详解】当时，； 当时，，由于不适合此式， 所以. 14． 【详解】由题意，，， 故在恒成立， 即在恒成立，所以. 15．(1) (2) 【详解】（1），则数列为等差数列， 又，，数列的公差为， ，所以． （2）由（1）知，所以， 所以 ． 16．(1)依据小概率值的独立性检验，认为运动偏好与性别有关. (2)分布列为： X 0 2 4 6 P 【分析】第一小问直计算并与3.841比较大小；第二小问求出离散型随机变量的概率、列出分布列和期望. 注意X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，X的可能取值为0，2，4，6，其中含喜爱球类与喜爱慢跑人数之差为2和两种情况. 【详解】（1）提出零假设：运动偏好与性别无关． ， 所以有的把握认为运动偏好与性别有关． （2）按分层抽样10名男生中喜爱球类有6人，喜爱慢跑有4人． X的可能取值为0，2，4，6， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 2 4 6 P 所以． 17．(1)； (2) 【分析】(1)利用经验回归方程公式代入计算即可； (2)根据独立事件概率计算公式以及互斥事件概率计算公式，根据4道题的分布情况计算概率即可． 【详解】（1）由可得：； 因为；，； 则， ； 经验回归方程：； （2）设（）表示答对个历史问题， 则； 设（）表示答对个陶瓷制作工艺问题， 则； 因为每个问题答对与否互不影响，故与相互独立； 则甲赢得门票的概率 因为，两两互斥， 故； 因为，； 且，； 代入可得：． 18．(1) (2)分布列见解析，30 【分析】（1）由独立重复试验求解即可； （2）由总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50，由此求解分布列与数学期望即可. 【详解】（1）3道必答题中恰好答对2道的概率. （2）因为必答题的得分可能为0，10，20，30，选答题的得分可能为0，20， 所以总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50. 若必答题全错且选答题答错，则； 若只答对1道必答题且选答题答错，则； 若只答对2道必答题且选答题答错或必答题全错且选答题答对， 则； 若答对3道必答题且选答题答错或只答对1道必答题且选答题答对， 则； 若只答对2道必答题且选答题答对，则； 若答对3道必答题且选答题答对，则. 因此，的分布列为 0 10 20 30 40 50 所以. 19．(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)由（1）知， 依题意，即证，即证， 设，求导可得， 令，解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点， 因为，， 所以当时，， 故当时，． 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负情况得到函数的单调区间； （2）将不等式转化为函数的最小值大于等于，构建辅助函数，通过求导得到辅助函数的单调区间和极小值，从而证得不等式成立. 【详解】（1）函数的定义域为，求导可得， 令，解得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $