专题05实际问题与二次函数暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题05实际问题与二次函数暑假预习讲义 · 能读懂销售利润、几何面积、最值三类典型实际问题，准确提取题干等量关系，建立二次函数模型。 · 掌握二次函数求最值的两种方法：配方法转化顶点式、直接套用顶点坐标公式，分清自变量有无取值限制。 · 理解自变量实际取值范围对函数最值的影响，会判断最值在顶点处或区间端点处取得。 · 规范应用题完整解题流程：设元→列函数解析式→确定自变量取值范围→求最值→检验作答，主动舍去不符合现实的取值。 · 能解决商品涨价降价利润问题、图形面积最值问题，读懂情境中单价、销量、边长的变化规律。 · 体会建模思想、数形结合思想，学会借助抛物线图像分析实际问题的最大值、最小值。 · 分层预习要求：基础会列简单二次函数关系式、求无限制条件下顶点最值；提高能结合自变量取值范围判断真实最值；拓展独立解决多条件综合实际压轴题。 预习必备 知识梳理 1.解题通用步骤 2.二次函数求最值两种方法 3.实际问题与二次函数的联系 4.三大必考经典模型 5.自变量取值范围对最值影响 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.图形问题(常考) 2.图形运动问题(常考+重点) 3.拱桥问题(常考) 4.销售问题(常+重难点) 5.投球问题(常考) 6.喷水问题(常考) 7.增长率问题 8.跳跃问题(常考) 9.隧道问题 10.图表问题 知识点01:解题通用步骤（所有二次函数应用题通用） 1.审：读懂题意，梳理已知量、变化量、所求最值； 2.设：合理设出自变量 x（直接 / 间接设元）； 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.定：结合实际场景，确定自变量 x 的取值范围(x>0、整数、线段长度限制等）；. 5.求：分两种情况求最值： 顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 顶点横坐标不在取值范围内：最值在区间左右端点处； 6：检验结果是否符合实际意义，规范写出答案。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:三大必考经典模型 模型名称 核心公式 变化规律 自变量限制条件 考察核心 销售利润最值问题 单件利润 = 售价−进价总利润 = 单件利润 × 销量 涨价→销量减少降价→销量增加 单价、销量、单件利润均大于 0，取值可为整数 求最大利润；给定利润求对应售价 几何图形面积最值问题 矩形面积 = 长 × 宽三角形面积 =底× 高 总长固定，一边增大另一边减小 线段长度＞0，边长不超过给定总长度 求最大面积；限定面积求边长 抛射运动最值问题 高度y为水平距离x的二次函数 物体先上升至最高点，再下落 水平距离x≥0，高度y≥0 求最大高度、落地水平距离 知识点05:自变量取值范围对最值的影响（核心难点） 设二次函数对称轴为 x=h，自变量取值区间 m≤x≤n 1.若 h 在区间 [m,n] 内： a>0：最小值在顶点，最大值对比两端点； a<0：最大值在顶点，最小值对比两端点。 2.若 h<m（对称轴在区间左侧）： a>0：区间内y随x增大而增大，x=m最小，x=n最大； a<0：区间内y随x增大而减小，x=m最大，x=n最小。 3.若 h>n（对称轴在区间右侧）： a>0：区间内y随x增大而增大，x=m最小，x=n最大； a<0：区间内y随x增大而减小，x=m最大，x=n最小。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 建模列式 利润问题销量增减关系写反 涨价销量减少，降价销量增加 先理清单价变动对销量的影响再列式 最值判断 忽略自变量取值范围，直接取顶点最值 顶点不在取值区间时，最值取区间端点 求完顶点必须核对 x 的取值范围 取值范围 忘记限制 x>0、长度 / 价格不为负数 长度、销量、单价均为正数 列完函数立刻标注自变量范围 单位与作答 只算出最值，不检验是否符合现实 结果要满足生活实际，负数、超界值舍去 作答前检验数值合理性 配方法计算 配方时常数项变形出错 提取二次项系数后，括号内配完全平方 分步配方，避免符号失误. 题型1.图形问题 【典例】把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）． 【答案】 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式，弄清题意，找出题中的等量关系是解答此类题目的关键．根据矩形的面积长宽列出函数关系式即可． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为， 则面积，x 需满足 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． 设米，则米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图，设米，则米， ，墙长为25米， ， 解得， 令矩形场地的面积为， ， 所以当时，有最大值， 即围成矩形场地的最大面积是， 故选：B． 【跟踪专练2】学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解不等式组等知识点，理解题意、找到等量关系、列出函数关系式是解题的关键． （1）设车棚宽度为，那么宽需要需用的材料为米，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽长度即可表示出，最后利用长乘以宽表示出面积，结合墙的长度可列出不等式表示出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：S不总随x的增大而增大，理由如下： 由（1）得：， ∵的对称轴为直线，且， ∴S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小． 【跟踪专练3】如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 题型2.图形运动问题 【典例】如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 【跟踪专练1】如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①当时，根据题意求出，，然后求出，即可判断①正确； ②首先表示出，，然后得到，然后表示出的面积，利用二次函数的性质即可判断②错误； ③根据题意得到，解得，，即可判断③正确． 【详解】解：①当时，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据题意得，，， ∴， ∵， ∴的面积 ∵ ∴抛物线开口向下， ∴当时，面积的最大值为，故②错误； ③∵的面积 ∴当的面积为时， 解得， ∴t有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是2． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，三角形面积，动点问题，解题的关键是正确表示出三角形面积． 【跟踪专练2】如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． (1)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； (2)求当时，t的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据三角形的面积，即可求解； （2）当时，，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：当时， ， 解得． 所以经过2秒或4秒时的面积为． 【跟踪专练3】在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 题型3.拱桥问题 【典例】某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 【跟踪专练2】一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 【跟踪专练3】如图，一座古桥的桥拱截面为抛物线，，是桥墩，桥的跨径为，水位在处时，桥拱最高点P离水面，水面以上的桥墩，都为．以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式； (2)当水位上涨时，一艘宽的游船能否从桥洞下通过？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键． （1）先求出点A，点B，点P的坐标，再设出抛物线解析式代入求解即可得到答案； （2）将水位上涨时的y代入解析式求出当时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差值即可得到答案； 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， 由题意得，，， 代入得， 解得， ∴表达式为； （2）解：水位上涨后， 得， 解得，， 则水面宽为， ∴故游船能通过． 题型4.销售问题 【典例】某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 【答案】40 【分析】本题考查二次函数的应用，利润函数为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． 【详解】解：设利润为P，则． 由于二次项系数为负， 所以，抛物线开口向下，顶点处取得最大值．顶点横坐标． 故答案为：40． 【跟踪专练1】软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 【答案】A 【分析】先根据题意得到年收入的表达式，再分别计算出和，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，软件年收入，且，（租金为正数）． 当时， ， ， 判断选项A：令，即， ， ， ， ，存在满足条件的（如），使得 所以A正确，B错误， 当时， ， ， 判断选项C：解不等式， 解得：，这与相矛盾 则不存在使得， 所以C错误，D错误． 【跟踪专练2】红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，灯笼每对的进价为35元/对，经市场调查发现，灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设灯笼每对涨价元，小明一天卖灯笼获得利润元． (1)求出与之间的函数解析式； (2)灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； （2）由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，每对灯笼的利润为元 每天的销售量为对， 因为销售单价不高于65元 所以， 得， 又因为涨价金额, ∴； 所以， （2）解： ∵， ∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值. 对称轴为， 因为自变量的取值范围是， 所以，当时，W取得最大值 此时销售单价为（元）， 将代入解析式得（元） 答：灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【跟踪专练3】因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 【答案】(1)甲型号新能源汽车每辆进价为万元，乙型号新能源汽车每辆进价为万元 (2)乙种型号新能源汽车定价为万元时，月销售获取的利润最大 【分析】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组和二次函数的性质是解本题的关键． （1）根据题意，建立二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意，得出利润与定价的关系，将该关系式转化为顶点式，即可得出利润最大时对应的定价． 【详解】（1）解：假设甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元， 根据题意，可得方程， 解得， 故甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元． （2）解：假设乙种型号新能源汽车定价为万元， 则利润为， 当万元时，月销售乙种型号获取的利润最大． 题型5.投球问题 【典例】从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，距离地面的高度是______． 【答案】20 【分析】本题考查二次函数的应用，已知高度h与时间t的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处．需要先求出顶点的横坐标t，再代入原式求出对应的最大高度h． 【详解】解：∵， ∴顶点的横坐标为， 把代入得， ∴当小球到达最高点时，距离地面的高度是， 故答案为：20． 【跟踪专练1】一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 【跟踪专练2】在学校科技节中，某科学兴趣小组进行了水火箭发射展示，如图所示，发射点离地面的距离米，火箭在离发射点水平距离为48米时达到最高处，此时离地面24.5米，最后火箭落在地面上的点处．火箭飞行的过程可以看作是一条抛物线．现以为原点，所在的水平线为轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式（不要求写出的取值范围）； (2)求火箭落地点到发射点的水平距离． 【答案】(1)； (2)火箭落地点到发射点的水平距离为米． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意、利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得：，顶点坐标，设抛物线的解析式为，将代入抛物线解析式求得a的值即可； （2）将代入（1）的解析式求得x，并取符合题意x的值即可确定点B的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：，顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式可得， 解得：． 所以抛物线的解析式为； （2）解：将代入可得：， 解得：（负值不符合题意舍去）， ∴火箭落地点到发射点的水平距离为米． 【跟踪专练3】某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动． 【研究背景】活动中，小明、小亮、小红站在同一条直线上，其中小明抛沙包，小红接沙包，小亮在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 【探究发现】如图，以小明站立的位置为原点，三人所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为y（单位：m），沙包距小明的水平距离记为x（单位：m），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，如果小明在处将沙包抛给小红，小红恰好在处接到沙包． 【建立模型】（1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】（2）小亮竖直跳起，拦截的最大高度为，求小亮拦截沙包成功的运动范围． （3）如果小红在B处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，在小亮到小红的水平距离是时，小亮正上方飞行沙包的高度超过；回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的小明的水平距离不足．求k的取值范围． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据函数值求自变量的值，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的函数值，列出方程求解即可； （3）根据二次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】解：（1）将代入得， ， 解得， ∴y与x的函数解析式为； （2）当时，， 解得或， ∴小亮拦截沙包成功的运动范围为在距离小明6到7米的地方，即； （3）当时，， ∴抛物线， 当时，， 解得； ∵抛物线的， ∴抛物线的顶点坐标为最高点， 此时横坐标为， 解得； 综上，k的取值范围为． 题型6.喷水问题 【典例】如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度______米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．根据题意可以求得抛物线的解析式，从而得到顶点M的坐标，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的横坐标是1，， 设抛物线的解析式为：, ， 解得， ， 答：最高点M距离地面高度为， 故答案为：． 【跟踪专练1】某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）令，求出的值，再与和进行比较即可得解． 【详解】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则，， ∴云梯消防车此时所在位置喷出的水能射进起火窗户内． 【跟踪专练3】综合与实践 为践行五育融合，提升学生实践能力，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚．处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米．米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式： 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1，不妨设抛物线的解析式为，根据题意，得于是得到，代入解析式解方程组解答即可． （2）利用待定系数法，求得直线的解析式为：，根据抛物线的解析式，结合点M的横坐标为m，可设点，则，则，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1， 设抛物线的解析式为：， 根据题意，得， 故，， 代入解析式，得，解得， ， 故抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为． 设点，则， 则 ， ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，函数有最大值，最大值为， 答：线段长度的最大值为． 题型7.增长率问题 【典例】一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 【跟踪专练1】 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 【跟踪专练2】某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 题型8.跳跃问题 【典例】某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 【答案】4 【分析】令时，则，解得，再列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，令时，则， 解得， 则， ∴仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为． 【跟踪专练1】跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段．为寻找更为有利的起跳条件，小西利用红外摄像仪记录得出运动员从起跳点起跳后的飞行高度S（米）与滑行时间t（秒）之间的关系式为，若起跳后的飞行高度为13米，则滑行的时间为（） A．1秒 B．11秒 C．秒 D．12秒 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据给定的二次函数关系式，将飞行高度代入后解一元二次方程，并排除负根（时间不能为负）． 【详解】解：∵，且， ∴， 整理得：， 两边乘以：， 解方程：， ∴或， ∵时间不能为负， ∴秒． 故选：B． 【跟踪专练2.】如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 【答案】(1)，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为 (2)运动员着陆时他能越过点 【分析】（1）由题意可得，，将其代入抛物线解析式即可得到的值，进而求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，利用函数的性质即可求解； （2）在函数解析式中令，求出的值，再与比较，即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得，， 将代入，得， 解得， ， 化为顶点式为， ， 当时，有最大值，最大值为， ，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为； （2）由（1）可得，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线， 令，则， 解得，， ，且， ，舍去， ， ， ， ， 即运动员着陆时他能越过点． 【跟踪专练3】冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉淇所在城市新建滑雪场，嘉淇依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道（直线的解析式为）上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看作一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并直接写出点坐标； (3)现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 【答案】(1) (2) (3)不能完整做完这个转体运动 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出表达式． （1）由所在直线的表达式为，将代入即可求出答案； （2）利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； （3）根据题意得到，求出，然后代入求解比较判断即可． 【详解】（1）解：∵所在直线的表达式为， ∵点到地面的距离为5米， ∴， 解之得：， ∴； （2）解：由题意得， 将，代入抛物线得： ， 解之得：， ∴抛物线的解析式为； ∴； （3）解：由题意可知：， 整理得， 解得（不符合题意），， 当时，， ∵， ∴不能完整做完这个转体运动． 题型9.隧道问题 【典例】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 【跟踪专练1】中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为， 故选：D． 【跟踪专练2】综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1)，． (2)． (3)这辆货车能安全通过． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求得函数表达式，进而可求解； （2）令，解方程求得x值，进而可求解； （3）求解当或时，，进而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 将的坐标代入， 得，解得 抛物线的表达式为， 拱顶D到地面的距离为； （2）解：令，则， 解得，则， 所以两排灯的水平距离最小是； （3）解：由题意得货车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， 所以这辆货车能安全通过． 【跟踪专练3】小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 【答案】(1) (2)抛物线的表达式为 (3)卡车载物后的限高应是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，合理分析图象信息是解题的关键． （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标，根据卡车宽求出点F的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． 【详解】（1）解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； ∵卡车宽为， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为：，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵卡车宽为米， ∴时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的最大高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 题型10.图表问题 【典例】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．首先利用图标得出一组对称点，然后利用二次函数对称轴与顶点（最值）得出即可． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， 故当时，植物生长的温度最快． 故答案为：． 【跟踪专练1】一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表中的数据可求的范围是（ ） 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来．依据题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式为，又由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为，从而可得抛物线的函数表达式为，将代入，求出或，则此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则，进而可以判断得解． 【详解】解∶由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图∶ 设抛物线解析式为， 由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为． ． ． 抛物线的函数表达式为． 将代入，得． 或． 此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶． 即，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧 ． 故选∶C． 【跟踪专练2】通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：）满足二次函数关系．如表记录了某患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 6 … 0 7 12 15 16 15 12 … 已知这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为3小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． (1)求与之间的函数表达式； (2)判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由． 【答案】(1) (2)患者存在中毒风险，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由表格可知二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，代入求出的值，即可解答； （2）由题意得，3小时后第二次服药后的血药浓度与时间的关系为：，设两次服药后的血药总浓度为，则，求出的最大值，再与24比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格可知二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 代入可得：，解得：， 与的函数表达式为：； （2）解：患者存在中毒风险，理由如下： 由题意得，3小时后第二次服药后的血药浓度与时间的关系为：， 设两次服药后的血药总浓度为，则 ， ， 当时，血药总浓度的最大值为， ， 该患者存在中毒风险． 【跟踪专练3】科研人员在测试一枚火箭向上竖直升空时，获得火箭的高度与时间的关系数据如下： 时间 火箭高度 (1)根据上表，以时间t为横轴、高度h为纵轴建立直角坐标系，并描出上述各点． (2)你能根据坐标系中各点的变化趋势确定h关于t的函数类型吗？ (3)你能确定h关于t的函数表达式吗？ (4)你能求出该火箭的最大高度是多少吗？你是根据哪种表示方式求解的？ 【答案】(1)平面直角坐标系，如图所示： (2)二次函数 (3) (4)能；该火箭的最大高度是；根据顶点式求解 【分析】（1）建立直角坐标系，描出点，画出函数图象； （2）根据函数图象，即可解答； （3）设出二次函数的顶点式，代入坐标，即可解答； （4）根据函数图像的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，h是关于t的二次函数； （3）解：由图象可知，二次函数的顶点坐标为， 设抛物线， 把代入可得：， 解得：， ∴； （4）解：根据顶点坐标可知，该火箭的最大高度是；根据函数图像开口向下的特征，最高点及函数的顶点，即根据顶点坐标求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05实际问题与二次函数暑假预习讲义 · 能读懂销售利润、几何面积、最值三类典型实际问题，准确提取题干等量关系，建立二次函数模型。 · 掌握二次函数求最值的两种方法：配方法转化顶点式、直接套用顶点坐标公式，分清自变量有无取值限制。 · 理解自变量实际取值范围对函数最值的影响，会判断最值在顶点处或区间端点处取得。 · 规范应用题完整解题流程：设元→列函数解析式→确定自变量取值范围→求最值→检验作答，主动舍去不符合现实的取值。 · 能解决商品涨价降价利润问题、图形面积最值问题，读懂情境中单价、销量、边长的变化规律。 · 体会建模思想、数形结合思想，学会借助抛物线图像分析实际问题的最大值、最小值。 · 分层预习要求：基础会列简单二次函数关系式、求无限制条件下顶点最值；提高能结合自变量取值范围判断真实最值；拓展独立解决多条件综合实际压轴题。 预习必备 知识梳理 1.解题通用步骤 2.二次函数求最值两种方法 3.实际问题与二次函数的联系 4.三大必考经典模型 5.自变量取值范围对最值影响 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.图形问题(常考) 2.图形运动问题(常考+重点) 3.拱桥问题(常考) 4.销售问题(常+重难点) 5.投球问题(常考) 6.喷水问题(常考) 7.增长率问题 8.跳跃问题(常考) 9.隧道问题 10.图表问题 知识点01:解题通用步骤（所有二次函数应用题通用） 1.审：读懂题意，梳理已知量、变化量、所求最值； 2.设：合理设出自变量 x（直接 / 间接设元）； 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.定：结合实际场景，确定自变量 x 的取值范围(x>0、整数、线段长度限制等）；. 5.求：分两种情况求最值： 顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 顶点横坐标不在取值范围内：最值在区间左右端点处； 6：检验结果是否符合实际意义，规范写出答案。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:三大必考经典模型 模型名称 核心公式 变化规律 自变量限制条件 考察核心 销售利润最值问题 单件利润 = 售价−进价总利润 = 单件利润 × 销量 涨价→销量减少降价→销量增加 单价、销量、单件利润均大于 0，取值可为整数 求最大利润；给定利润求对应售价 几何图形面积最值问题 矩形面积 = 长 × 宽三角形面积 =底× 高 总长固定，一边增大另一边减小 线段长度＞0，边长不超过给定总长度 求最大面积；限定面积求边长 抛射运动最值问题 高度y为水平距离x的二次函数 物体先上升至最高点，再下落 水平距离x≥0，高度y≥0 求最大高度、落地水平距离 知识点05:自变量取值范围对最值的影响（核心难点） 设二次函数对称轴为 x=h，自变量取值区间 m≤x≤n 1.若 h 在区间 [m,n] 内： a>0：最小值在顶点，最大值对比两端点； a<0：最大值在顶点，最小值对比两端点。 2.若 h<m（对称轴在区间左侧）： a>0：区间内y随x增大而增大，x=m最小，x=n最大； a<0：区间内y随x增大而减小，x=m最大，x=n最小。 3.若 h>n（对称轴在区间右侧）： a>0：区间内y随x增大而增大，x=m最小，x=n最大； a<0：区间内y随x增大而减小，x=m最大，x=n最小。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 建模列式 利润问题销量增减关系写反 涨价销量减少，降价销量增加 先理清单价变动对销量的影响再列式 最值判断 忽略自变量取值范围，直接取顶点最值 顶点不在取值区间时，最值取区间端点 求完顶点必须核对 x 的取值范围 取值范围 忘记限制 x>0、长度 / 价格不为负数 长度、销量、单价均为正数 列完函数立刻标注自变量范围 单位与作答 只算出最值，不检验是否符合现实 结果要满足生活实际，负数、超界值舍去 作答前检验数值合理性 配方法计算 配方时常数项变形出错 提取二次项系数后，括号内配完全平方 分步配方，避免符号失误. 题型1.图形问题 【典例】把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）． 【跟踪专练1】如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【跟踪专练3】如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 题型2.图形运动问题 【典例】如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【跟踪专练1】如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练2】如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． (1)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； (2)求当时，t的值． 【跟踪专练3】在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型3.拱桥问题 【典例】某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 【跟踪专练1】如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【跟踪专练2】一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【跟踪专练3】如图，一座古桥的桥拱截面为抛物线，，是桥墩，桥的跨径为，水位在处时，桥拱最高点P离水面，水面以上的桥墩，都为．以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式； (2)当水位上涨时，一艘宽的游船能否从桥洞下通过？请说明理由． 题型4.销售问题 【典例】某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 【跟踪专练1】软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 【跟踪专练2】红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，灯笼每对的进价为35元/对，经市场调查发现，灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设灯笼每对涨价元，小明一天卖灯笼获得利润元． (1)求出与之间的函数解析式； (2)灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【跟踪专练3】因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 题型5.投球问题 【典例】从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，距离地面的高度是______． 【跟踪专练1】一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【跟踪专练2】在学校科技节中，某科学兴趣小组进行了水火箭发射展示，如图所示，发射点离地面的距离米，火箭在离发射点水平距离为48米时达到最高处，此时离地面24.5米，最后火箭落在地面上的点处．火箭飞行的过程可以看作是一条抛物线．现以为原点，所在的水平线为轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式（不要求写出的取值范围）； (2)求火箭落地点到发射点的水平距离． 【跟踪专练3】某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动． 【研究背景】活动中，小明、小亮、小红站在同一条直线上，其中小明抛沙包，小红接沙包，小亮在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 【探究发现】如图，以小明站立的位置为原点，三人所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为y（单位：m），沙包距小明的水平距离记为x（单位：m），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，如果小明在处将沙包抛给小红，小红恰好在处接到沙包． 【建立模型】（1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】（2）小亮竖直跳起，拦截的最大高度为，求小亮拦截沙包成功的运动范围． （3）如果小红在B处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，在小亮到小红的水平距离是时，小亮正上方飞行沙包的高度超过；回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的小明的水平距离不足．求k的取值范围． 题型6.喷水问题 【典例】如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度______米． 【跟踪专练1】某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 【跟踪专练3】综合与实践 为践行五育融合，提升学生实践能力，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚．处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米．米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式： 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． 题型7.增长率问题 【典例】一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【跟踪专练1】 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【跟踪专练2】某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 题型8.跳跃问题 【典例】某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 【跟踪专练1】跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段．为寻找更为有利的起跳条件，小西利用红外摄像仪记录得出运动员从起跳点起跳后的飞行高度S（米）与滑行时间t（秒）之间的关系式为，若起跳后的飞行高度为13米，则滑行的时间为（） A．1秒 B．11秒 C．秒 D．12秒 【跟踪专练2.】如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 【跟踪专练3】冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉淇所在城市新建滑雪场，嘉淇依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道（直线的解析式为）上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看作一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并直接写出点坐标； (3)现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 题型9.隧道问题 【典例】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【跟踪专练1】中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【跟踪专练3】小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 题型10.图表问题 【典例】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 【跟踪专练1】一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表中的数据可求的范围是（ ） 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 A． B． C． D． 【跟踪专练2】通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：）满足二次函数关系．如表记录了某患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 6 … 0 7 12 15 16 15 12 … 已知这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为3小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． (1)求与之间的函数表达式； (2)判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由． 【跟踪专练3】科研人员在测试一枚火箭向上竖直升空时，获得火箭的高度与时间的关系数据如下： 时间 火箭高度 (1)根据上表，以时间t为横轴、高度h为纵轴建立直角坐标系，并描出上述各点． (2)你能根据坐标系中各点的变化趋势确定h关于t的函数类型吗？ (3)你能确定h关于t的函数表达式吗？ (4)你能求出该火箭的最大高度是多少吗？你是根据哪种表示方式求解的？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $