第一章 集合与常用逻辑用语 课后题课件2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件系统涵盖集合的概念、关系、运算及常用逻辑用语，从具体实例（如判断元素组成集合）导入，逐步过渡到抽象概念，形成从具体到抽象的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于通过“游泳能手”判断集合确定性等实例培养数学眼光的抽象能力，结合集合关系分析和充要条件证明发展数学思维的推理能力，用符号语言和表示法强化数学语言的符号意识。实例丰富如集合运算结合方程求解，助力学生提升思维能力，也为教师提供系统教学资源。

1.1集合的概念 课后题解析 高中数学必修第一册课本课后题答案 1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由 (1) A，B 是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点； (2) 高中学生中的游泳能手. 2. 用符号 “∈” 或 “∉” 填空 0 __N； -3 __N； 0.5 __Z； __Z； __Q； π__R 3. 用适当的方法表示下列集合 (1) 由方程 −9=0 的所有实数根组成的集合； (2) 一次函数 =+3 与 =−2+6 图象的交点组成的集合； (3) 不等式 4−5<3 的解集. 解：集合中元素的特性是：确定性、互异性、无序性； (1)是，满足集合中元素的确定性； (2)不是，“游泳能手”没有明确的标准。 N:自然数集；Z:整数集；Q:有理数集；R:实数集 练习 1. 用符号 “∈” 或 “∉” 填空 (1) 设A为所有亚洲国家组成的集合，则 中国\\\A，美国\\\A，印度\\\A，英国\\\A (2) 若A=x∣x2=x，则−1***A； (3) 若B=x∣x2+x−6=0，则3***B； (4) 若C=x∈N∣1≤x≤10，则8C，9.1C。 2. 用列举法表示下列集合 (1) 大于1且小于6的整数； (2) A=x∣(x−1)(x+2)=0； (3) B=x∈Z∣−3<2x−1<3。 1. 用符号 “∈” 或 “∉” 填空 (1) 设A为所有亚洲国家组成的集合，则 中国____A，美国____A，印度____A，英国____A (2) 若 ，则−1____A； (3) 若 ，则3____B； (4) 若 ，则8____C，9.1____C. 2. 用列举法表示下列集合 (1) 大于1且小于6的整数； (2) A={x∣(x−1)(x+2)=0}； (3) B={x∈Z∣−3<2x−1<3}. 习题1.1 复习巩固 3. 把下列集合用另一种方法表示出来 (1) {2,4,6,8,10}； (2) 由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3){ x∈N∣3<x<7}； (4) 中国古代四大发明. 4. 用适当的方法表示下列集合 (1) 二次函数 −4的函数值组成的集合； (2) 反比例函数的自变量的取值组成的集合； (3) 不等式3x≥4−2x的解集. 综合运用 1.2集合间的基本关系 课后题解析 1. 写出集合 a,b,c 的所有子集 2. 用适当的符号填空（∈,∉,⫋,=,⫌,⊆,⊇,∅） (1) a ___ {a,b,c}； (2) 0 ___ {x \mid x^2=0}； (3) \varnothing ___ {x\in \mathbf{R} \mid x^2+1=0}； (4) {0,1} ___ \mathbf{N}； (5) {0} ___ {x \mid x^2=x}； (6) {2,1} ___ {x \mid x^2-3x+2=0}。 1. 写出集合{ a,b,c }的所有子集 2. 用适当的符号填空 (1) a ___ {a,b,c}； (2) 0 ___ {x 0}； (3) Ø___ {x +10}； (4) {0,1} ___ N； (5) {0} ___ {x x}； (6) {2,1} ___ {x } 练习 按“没有元素”，“1个元素”，“2个元素”，“3个元素”的顺序写出： 元素与集合的关系 元素与集合的关系 方程没有实数解 集合间的关系 集合间的关系 集合间的关系 集合间的关系 3. 判断下列两个集合之间的关系 (1) A{x x<0}，B{x∣x<1}； (2) A{x∣x3k,k∈N}，B{x∣x6z,z∈N}； (3) A{xN+ ∣x 是 4 与 10 的公倍数}，B{x∣x20m,m∈N+}。 习题1.2 复习巩固 (2) 若集合 A {x 0}，则 = 1. 选用适当的符号填空 (1) 若集合 A={x|2x−3<3x}，B={x∣x≥2}，则 -4 ___ B，-3 ___ A，{2} ___ B，B ___ A； 1 ___ A，{-1} ___ A，Ø ___ A，{1,-1} ___ A； (3) {x∣x 是菱形} ___ {x ∣ x 是平行四边形}； {x∣x 是等腰三角形} ___ {x∣x 是等边三角形}。 2. 指出下列各集合之间的关系，并用 Venn 图表示 A={x∣x 是四边形}，B={x∣x 是平行四边形}，C={x∣x 是矩形}，D={x∣x 是正方形}。 3. 举出下列各集合的一个子集 (1) A={x∣x是立德中学的学生}； (2) B={x∣x是三角形}； (3) C={0}； (4) D={x∈Z∣3<x<30} 4. 在平面直角坐标系中，集合 C={(x,y)∣y=x }表示直线 y=x，从这个角度看， 集合 D= 表示什么？集合 C,D 之间有什么关系？ 综合运用 5.(1) 设 a,b∈R，P={1,a}，Q={−1,−b}，若 P=Q，求 a−b 的值； (2) 已知集合 A={x∣0<x<a}，B={x∣1<x<2}，若 B⊆A，求实数 a 的取值范围. 拓广探索 1.3集合的基本运算 课后题解析 2.设 A={x −4x−5=0}，B={x =1}，求 A∪B，A∩B 1.设 A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，求 A∩B，A∪B 3.设 A={x∣x是等腰三角形}，B={x∣x 是直角三角形}，求 A∩B，A∪B 4.设 A={x∣x是幸福农场的汽车}，B={x∣x是幸福农场的货车}，求 A∪B 练习 2.设 A={x −4x−5=0}，B={x =1}，求 A∪B，A∩B ∩ 求交集；∪ 求并集 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5}，B={1,3,5,7}，求 A∩(∁UB)，(∁UA)∩(∁UB). 2.设 S={x∣x是平行四边形或梯形}，A={x∣x是平行四边形}，B={x∣x是菱形}， C={x∣x是矩形}，求 B∩C，∁AB，∁SA 3.全集为U，A,B是U的子集，用阴影表示下列集合： (1) (∁UA)∩(∁UB)； (2) (∁UA)∪(∁UB). 练习 菱形是邻边相等的平行四边形 习题1.3 复习巩固 1.集合 A={x∣2≤x<4}，B={x∣3x−7≥8−2x}，求 A∪B，A∩B 2.设 A={x∣x是小于 9 的正整数}，B={1,2,3}，C={3,4,5,6}。求 A∩B，A∩C， A∩(B∪C)， A∪(B∩C)。 3.校运动会：A={x∣x是参加 100 m 跑的同学}，B={x∣x是 参加 200 m 跑的同学}， C={x∣x是参加 400 m 跑的同学}，规定每人最多参加两项比赛。 用集合运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义： (1) A∪B；(2) A∩C 综合运用 4.已知 A={x∣3≤x<7}，B={x∣2<x<10}，求 ∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB). 分类的原则：分类不重不漏。 分类的步骤： ①确定讨论的对象及其范围； ②确定分类讨论的分类标准； ③按所分类别进行讨论； ④归纳小结、综合得出结论。 5.设 A={x∣(x−3)(x−a)=0,a∈R}，B={x∣(x−4)(x−1)=0}，求 A∪B，A∩B 拓广探索 6.全集 U=A∪B={x∈N∣0≤x≤10}，A∩(∁UB)={1,3,5,7}，求集合 B。 1.4充分条件与必要条件 课后题解析 1.下列 “若p，则q” 形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1) 若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB； (2) 若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； (3) 若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方。 2.下列 “若p，则q” 形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1) 若直线l与⊙O有且仅有一个交点，则l为⊙O的一条切线； (2) 若x是无理数，则也是无理数。 练习 3.如图，直线a与b被直线l所截，得到∠1,∠2,∠3,∠4，写出几个 “a∥b” 的充分 条件和必要条件。 练习 1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1) p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2) p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3) p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集。 2.分别写出 “两个三角形全等” 和 “两个三角形相似” 的几个充要条件。 练习 3.证明：梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD。 习题1.4 复习巩固 1.举例说明： (1) p是q的充分不必要条件； (2) p是q的必要不充分条件； (3) p是q的充要条件. 2.判断p是q的什么条件（充分不必要 / 必要不充分 / 充要充分 / 既不充分也不必要）： (1) p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； (2) p：一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，q：b2−4ac≥0(a≠0)； (3) p：a∈P∩Q，q：a∈P； (4) p：a∈P∪Q，q：a∈P； (5) p：x>y，q：x2>y2 3.判断下列命题的真假： (1) 点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件； (2) 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件； (3) A∪B=A是B⊆A的必要不充分条件； (4) x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件. 4.已知A={x x满足条件p}，B={x x满足条件q}, (1) 若A⊆B，则p是q的什么条件？ (2) 若B⊆A，则p是q的什么条件？ (3) 若A=B，则p是q的什么条件？ 5.设a,b,c∈R，证明：a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c。 综合运用 6.设a,b,c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC是直角三角形， 那么 (勾股定理) .反过来，如果 ，那么△ABC是直角 三角形 (勾股定理的逆定理) .由此可知，△ABC是直角三角形的充要条件是 . 请利用边长分别给出△ABC为锐角三角形、钝角三角形的一个充要条件并证明。 拓广探索 1.5全称量词与存在量词 课后题解析 1.判断下列全称量词命题的真假： (1) 每个四边形的内角和都是 360∘； (2) 任何实数都有算术平方根； (3) ∀x∈{y∣y是无理数},x3 是无理数。 2.判断下列存在量词命题的真假： (1) 存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2) 至少有一个整数 n，使得 n2+n 为奇数； (3) ∃x∈{y∣y是无理数},x2 是无理数。 练习 练习 1.写出下列命题的否定： (1) ∀n∈Z,n∈Q； (2) 任意奇数的平方还是奇数； (3) 每个平行四边形都是中心对称图形。 2.写出下列命题的否定： (1) 有些三角形是直角三角形； (2) 有些梯形是等腰梯形； (3) 存在一个实数，它的绝对值不是正数。 习题1.5 复习巩固 1.判断全称量词命题真假 (1) 每一个末位是 0 的整数都是 5 的倍数。 (2) 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 (3) 对任意负数 x，x 的平方是正数。 (4) 梯形的对角线相等。 2.判断存在量词命题真假 (1) 有些实数是无限不循环小数。 (2) 存在一个三角形不是等腰三角形。 (3) 有些菱形是正方形。 (4) 至少有一个整数 n，n2+1 是 4 的倍数。 3.写出命题的否定 (1) ∀x∈Z,|x|∈N (2) 所有可以被 5 整除的整数，末位数字都是 0。 (3) ∃x∈R,x+1≥0 (4) 存在一个四边形，它的对角线互相垂直。 综合运用 4. 判断命题真假，并写出命题否定 (1) 平面直角坐标系下每条直线都与 x 轴相交。 (2) 每个二次函数的图象都是轴对称图形。 (3) 存在一个三角形，它的内角和小于 180∘。 (4) 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上。 5. 将命题改写为含有一个量词的全称量词或存在量词的形式，并写出否定 (1) 平行四边形的对角线互相平分 (2) 三个连续整数的乘积是 6 的倍数 (3) 三角形不都是中心对称图形 (4) 一元二次方程不总有实数根 拓广探索 6.一个命题的否定仍是一个命题，它和原命题只能一真一假，不能同真同假. 在数学中，有很多“若 p，则 q” 形式的命题，有的是真命题，有的是假命题. 例如： ① 若 x>1，则 2x+1>5；（假命题） ② 若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等.（真命题） 这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题. （1）有人认为，①的否定：∃x>1, 2x+1≤5， ② 的否定：若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等。 你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的否定. ①的否定是： ②的否定是： 复习参考题1 课后题解析 复习参考题1 复习巩固 1. 用列举法表示下列集合 (1) A={x∣x2=9} (2) B={x∈N∣1⩽x⩽2} (3) C={x∣x2−3x+2=0} 2. 动点集合对应的图形 (1) {P∣PA=PB}（A,B 为不同定点） (2) {P∣PO=3cm}（O 为定点） 3.设平面内有 ,且P表示这个平面内的动点,指出属于集合 {P∣PA=PB}∩{P∣PA=PC} 的点是什么. 4. 条件关系填空 (1) 三角形两边上的高相等 是这个为等腰三角形的___________ (2) x∈A是 x∈A∪B的_____________ (3) x∈A是x∈A∩B的_______________ (4) x,y 为无理数是x+y 为无理数的___________________ 5.a,b,c∈R，判断命题真假 (1) “a>b” 是 “a2>b2” 的充分条件 (2) “a>b” 是 “a2>b2” 的必要条件 (3) “a>b” 是 “ac2>bc2” 的充分条件 (4) “a>b” 是 “ac2>bc2” 的必要条件 6.用量词符号表示下列含有量词的命题，并判断真假 (1) 任意实数的平方大于或等于 0 (2) 对任意实数 a，二次函数 y=x2+a 的图象关于 y 轴对称 (3) 存在整数 x,y，使得 2x+4y=3 (4) 存在一个无理数，它的立方是有理数 7.写出命题的否定并判断真假 (1) ∀a∈R，一元二次方程 x2−ax−1=0 有实根 (2) 每个正方形都是平行四边形 (3) ∃m∈N, ∈N (4) 存在一个四边形 ABCD，其内角和不等于 360∘ 综合运用 8.已知集合A={(x,y)∣2x−y=0},B={(x,y)∣3x+y=0},C={(x,y)∣2x−y=3}， 求 A∩B,A∩C ，并解释几何意义. 9.已知集合 是否存在实数a，使 A∪B=A？ 若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 10.下列定理表示的命题改写为含有量词的命题 (1) 勾股定理 (2) 三角形内角和定理 拓广探索 11.学校举办运动会时，高一（1）班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛， 有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛。 同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 12.根据下述事实，分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题： (1)1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52 …… (2) 如图，在△ABC中，AD，BE与CF分别为BC，AC与AB边上的高， 则AD，BE与CF所在的直线交于一点O。 $