4.4 简单的三角恒等变换（全国通用）【5大考点】-2027年高考数学一轮复习专题训练

**基本信息** 高中数学一轮复习"简单的三角恒等变换"专项训练，通过5大考点40道题构建完整训练体系，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量|题型特征|知识逻辑| |----|----|----------|----------| |给角求值|8|基础计算与多选|三角函数值计算入门，培养数学眼光| |给值求值|8|选择与解答题|条件分析与公式应用，发展推理意识| |给值求角|8|角度范围判断|多步推理与角度确定，提升数学思维| |辅助角与降幂公式|8|函数性质分析|公式变形与函数应用，强化运算能力| |三角函数式化简|8|综合化简与证明|知识整合与数学表达，培养应用意识|

4.4 简单的三角恒等变换 5大考点汇总 考点01 给角求值型问题 考点02 给值求值型问题 考点03 给值求角型问题 考点04 辅助角公式与降幂公式 考点05 三角函数式的化简 题型专练 考点01 给角求值型问题 1．___________． 2．（    ） A． B． C． D． 3．的值为______． 4．求值：． 5．（多选）计算下列各式，结果为的是（    ） A． B． C． D． 6．的值为________. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则______． 考点02 给值求值型问题 9．已知为锐角，，，则=（    ） A． B． C． D．或 10．已知，. (1)求的值； (2)求的值. 11．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 12．已知，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 14．已知，，，． (1)求； (2)求． 15．已知，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 16．已知，，则（     ） A． B． C． D． 考点03 给值求角型问题 17．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 18．已知，且，（提示：.）求： (1)的值； (2)的值. 19．已知，其中，求： (1)； (2) 20．已知向量，，其中，且. (1)求，的值； (2)若，且，求角． 21．已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 22．已知，，，. (1)求； (2)求的值. 23．若，并且均为锐角，且，则________． 24．（1）已知均为锐角，且，则______． （2）已知，则______． 考点04 辅助角公式与降幂公式 25．（     ） A． B．2 C． D． 26．函数的值域是______________． 27．设函数． (1)求； (2)求的最大值和最小正周期． 28．设函数． (1)求的值； (2)求方程的最小的9个正实数解之和； (3)已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 29．已知，，则____. 30．若函数的最小正周期为2，则正实数（　　） A． B． C． D． 31．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．设，都是锐角，且， (1)求的值； (2)求的值. 考点05 三角函数式的化简 33．函数的最大值为_____. 34．设函数，若，则函数的值域为（     ） A． B． C． D． 35．化简（    ） A． B． C． D． 36．若中，、是方程的两个根，则___________． 37．在中，． (1)求证：； (2)当时，，求的值． 38．（多选）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 39．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 40．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)已知，，且，，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 简单的三角恒等变换 5大考点汇总 考点01 给角求值型问题 考点02 给值求值型问题 考点03 给值求角型问题 考点04 辅助角公式与降幂公式 考点05 三角函数式的化简 题型专练 考点01 给角求值型问题 1．___________． 【答案】/0.5 【分析】根据诱导公式及逆用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为，， ， 所以 . 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 . 3．的值为______． 【答案】 【详解】 . 4．求值：． 【答案】 【分析】根据二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得. 【详解】原式 5．（多选）计算下列各式，结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据辅助角公式判断A，根据二倍角公式及两角和的余弦公式判断B，直接求值判断C，根据两角和的正切公式判断D. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：AD 6．的值为________. 【答案】/0.5 【分析】利用和差角的正弦公式、诱导公式及二倍角的余弦公式化简求解. 【详解】. 故答案为： 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以. 8．已知，则______． 【答案】 / 【详解】注意到，令，已知， 由二倍角公式，代入得. 考点02 给值求值型问题 9．已知为锐角，，，则=（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为为锐角，，所以. 因为，所以，且， 所以， 所以 . 10．已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系得到，最后根据即可求解； （2）由平方关系得到，最后根据即可求解. 【详解】（1）因为，所以，故， 由，得， . （2）由，且，故，从而， 则. 11．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，， 所以 ，所以， 又， 所以， 所以． 12．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正切和角公式化简条件，得到与的关系式；再对第二个条件同乘以，转化为正弦和角形式，得出，代入展开化简，通过整体比例代换直接求出． 【详解】由 ，得， 所以， 化简得， 所以， 化简得，即①， 由， 得 ， 即，即， 故其代入①，，故． 13．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又，所以． 14．已知，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】（1）∵，，∴， ∴； （2）∵，，∴， ∵，∴， ∴ ． 15．已知，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】B 【分析】根据诱导公式以及正切的和差角公式可得，即可由正切的二倍角公式求解. 【详解】由，可得， 故，因此， 故，化简得， 故. 16．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切化弦可得，再由，求出和的值，即可求出. 【详解】解：由，则，即①， 因为，所以②， 联立①②解得，， 所以. 考点03 给值求角型问题 17．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 18．已知，且，（提示：.）求： (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将配凑为，利用两角和的正弦公式进行计算； （2）将配凑为，利用两角差的余弦公式求出，再结合的取值范围，确定的值. 【详解】（1） ，又， . （2）由题意得 ， 又，所以. 19．已知，其中，求： (1)； (2) 【答案】(1)7 (2) 【详解】（1）由题设； （2）由，且， 所以，故. 20．已知向量，，其中，且. (1)求，的值； (2)若，且，求角． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得到，再结合同角三角函数的基本关系求出，. （2）先利用两角差的正弦公式计算的值，确定的取值范围，进而得到所求角. 【详解】（1）由可得，，即， 又因为，代入可得， 又因为，所以，. （2）已知，， 所以， 由（1）可知，，， 则， 因为，则， 又因，则，故得，因此. 21．已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由齐次式及同角三角函数的商数关系即可求解； （2）由同角三角函数的平方关系及二倍角公式即可求解； （3）由两角差的正弦公式及各象限三角函数的符号即可求解． 【详解】（1）. （2）因为为锐角，所以， 由，设， 由得，（舍去负值）， 所以，则． （3）为锐角，则，所以， 又，所以，则， 由，又，所以， 所以， 则 ， 因为，所以， 所以． 22．已知，，，. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系及两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系及两角差的正切公式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 则， 则 ； （2）由，， 则， 则， ， 又，故. 23．若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】/ 【分析】由题意知，，，进而得，，再根据，结合余弦差角公式求得，最后根据余弦函数性质即可求得答案. 【详解】因为均为锐角，且，即， 所以，，， 所以 因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以 24．（1）已知均为锐角，且，则______． （2）已知，则______． 【答案】 【详解】（1）均为锐角，，． ． 又，． 故． （2）． ， ． ． 考点04 辅助角公式与降幂公式 25．（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式可得，利用倍角公式可得，再结合辅助角公式化简即可. 【详解】因为， 且， 所以原式. 26．函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，所以，其中， 因此的值域为. 27．设函数． (1)求； (2)求的最大值和最小正周期． 【答案】(1)2 (2)最大值为， 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式进行化简求值即可； （2）根据正弦型函数的性质求解． 【详解】（1）函数， . （2）由， 当， 即时，取得最大值为， 最小正周期为． 28．设函数． (1)求的值； (2)求方程的最小的9个正实数解之和； (3)已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用辅助角公式结合两角和的余弦公式对进行化简，再代入求解； （2）根据已知条件，结合（1）构造方程求出，进而根据正弦函数的性质求解； （3）根据（1），运用换元法把恒成立条件转化为，，设，分类讨论的最小值，进而得出的最大值． 【详解】（1）， ． （2）已知，由（1）知， ，即，解得或， 此方程最小的9个正实数解之和为：． （3）已知恒成立，即恒成立， 设，则有，， 设， ①时，要满足题意则需，即， ，即； ②时，要满足题意则需，即， 设，则， ，即，整理得， 要满足题意则此不等式有解，即，解得， 当，时取等号， 综上所述，的最大值为2． 29．已知，，则____. 【答案】 【详解】由，，得， 所以. 30．若函数的最小正周期为2，则正实数（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式得，最后根据周期公式即可得到答案. 【详解】， 其周期，解得． 故选：A． 31．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由二倍角余弦公式有，即可得；法二：由及二倍角余弦公式，即可得. 【详解】法一：由，则， 法二：由，则， . 故选：A． 32．设，都是锐角，且， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)-5 (2)或 【分析】（1）方法一：首先根据平方关系求得的值，再将待求式子分子分母同乘，然后根据正弦二倍角及其降幂扩角公式进行化简整理，最后代入数值求解即可； 方法二：首先根据半角公式求解及的值，然后代入待求式子中进行求解即可. （2）首先根据，利用平方关系求得的值，然后根据凑角得，最后根据余弦的差角公式展开求解即可. 【详解】（1）方法一，因为是锐角，，所以. . 方法二，因为，所以，， . （2）因为，所以， 若， 则 . 若， 则 . 故或. 考点05 三角函数式的化简 33．函数的最大值为_____. 【答案】1 【详解】 ， 设，即， 因此当，即时,. 34．设函数，若，则函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用降幂公式，代入原函数得 ， 再用辅助角公式整理得 . 已知，则 ， 正弦函数，的取值范围是，故， 则， 因此函数的值域为. 35．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， ， ， ， ， . 36．若中，、是方程的两个根，则___________． 【答案】 【分析】根据韦达定理得到与的和与积，从而可以计算出的值，将所求的式子看作分母为1的式子，化简为关于的式子即可计算结果． 【详解】因为、是方程的两个根， 由韦达定理可得，； 因为中，； 故， 故； ． 37．在中，． (1)求证：； (2)当时，，求的值． 【答案】(1)整理得： ①， 在中，因为， 所以， 所以， 所以②. 将①乘以得： ， 再把②代入： ，得证. (2) 【详解】（1）略. （2）由正弦定理：， 由余弦定理：，联立得： ， 正弦化边：，化简 ； 由，去分母：， 所以：，，故， 由，结合，当为钝角时，不成立， 所以为锐角，. 38．（多选）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出和，再根据两角和差的正余弦公式进行判断. 【详解】由A，B，C成等差数列，得. 因为，所以，则，所以，A正确. 又，由， 得， 所以，B正确. ，C错误. ，D正确. 故选：ABD 39．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和两边平方并分别相加和相减，利用三角函数公式化简可得结果. 【详解】由题意，，， 则， 化简可得，所以， 又， 则， ， 即， 所以， 所以， 由，可得. 故选：A. 40．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)已知，，且，，求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式、辅助角公式将化简为正弦型函数的标准形式，结合正弦函数的单调递增区间列不等式求解，即可得到的单调递增区间. （2）先根据、的函数值求解、，结合、的取值范围确定、所在象限，进而求得对应的余弦值；再利用三角诱导公式将转化为关于、的余弦和角形式，代入计算即可得到结果. 【详解】（1）． 由，，得，， 所以的单调递增区间为，． （2）由，， 得，． 由，，得，， 所以，． 故 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $