精品解析：云南省昆明市东川区高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

东川区高级中学高二2026年5月月考数学试题卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集交集计算即可 【详解】根据题意可得：， 所以. 故选：D 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 3. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是单位向量，且 所以 4. 已知直线和平面，下列表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行和垂直的判定定理和面面平行和垂直的判定定理即可求解. 【详解】由，条件中缺少，故A错误； 由，条件中缺少，故B错误； 由，条件中缺少，故C错误； 由，故D正确； 故选：D. 5. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题，，所以． 试题解析：由已知， 又因为， 所以，即该家庭支出为万元． 考点：线性回归与变量间的关系． 6. 一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ） A. 二项分布，且 B. 两点分布，且 C. 超几何分布，且 D. 超几何分布，且 【答案】C 【解析】 【分析】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解. 【详解】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以. 故选：C 7. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 8. 已知，若恒成立，则（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式恒成立可得必为函数的最小值点，由可得，经检验符合题意. 【详解】因为，可得，所以当时，等号成立； 若恒成立，则必为函数的最小值点，可得； 又，即可得，所以； 经检验，当时， 令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取得极小值，也是最小值，即恒成立， 所以符合题意. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为，则 ， ，故A错误； 又，则， 所以，故B正确， 又因为，故C正确， ，故D正确． 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两个不同的点．则下列选项正确的有（ ） A. B. 设三点的横坐标分别为，则成等比数列 C. 若的面积为4，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设准线为，则，过点作于点，过点作于点，利用相似三角形即可判断A，设直线的方程为，与抛物线方程联立即可判断B，根据的面积求出即可判断C，设，则，利用，解出即可判断D. 【详解】设准线为，则，， 过点作于点，过点作于点， 所以， 显然，所以，故A正确； 设直线的方程为， 所以，消元整理得， 设，所以， 又，所以，即成等比数列，故B正确； 由， 点到直线的距离为： ， 所以， 解得，即，故C错误； 设，所以， 又， 在中有：， 同理在中有：， 又，所以， 所以，即， 化简整理得：，即， 所以，所以， 即，所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列前项和为，，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质以及等差数列的前项和的性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，，， ，解得． ． 令，解得， 时，前项和取得最小值，为． 13. 过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再求解与，可得以及即可求解. 【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知， ， 即. cos ，=2 14. 已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，则正三棱锥体积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得正三棱锥的外接球的半径，设正三棱锥的底面边长为，高为，根据正三棱锥的结构特征与对应外接球球心的几何关系列方程得，最后应用棱锥体积公式及基本不等式求体积最大值. 【详解】 设正三棱锥的外接球的半径为,则,解得， 如图设正三棱锥的底面边长为，高， 则正三角形的外接圆的半径为，, 在直角三角形中，，即， 所以， 正三棱锥体积为 ， 当且仅当时取等号，即体积最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理角化边得，再利用余弦定理求解； （2）结合余弦定理可得，则可得的值，从而得解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，又， 所以， 故，解得， 故的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； 【小问2详解】 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 17. 以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）讨论直线的斜率是否存在的情况，并与椭圆联立方程，结合韦达定理求出，再求出原点到直线AB的距离，从而求得的面积． 【小问1详解】 由题意： 又 联立 ∴椭圆的方程是：. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，不合题意， 当直线的斜率存在时，令， 联立，得：， ， ，解得， 经检验：符合题意， 原点到直线AB的距离， . 18. 贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动． （1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ （2）某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即． ①求，； ②证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 【答案】（1）能认为喜爱足球运动与性别有关 （2）①， ②证明见解析；第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率. 【解析】 【分析】（1）计算，依据小概率值的独立性检验作出判断； （2）①根据古典概型公式计算即可；②根据等比数列的定义证明数列为等比数列，并求得数列的通项公式，进而求得，比较与的大小即可． 【小问1详解】 零假设： ：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 【小问2详解】 ①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，所以第二次触球者是甲的概率记为； 第二次触球者必不是甲，第三次传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故． ②因为第n次触球者是甲的概率记为， 所以当时，第次触球者是甲的概率为，则第次触球者不是甲的概率为. 所以，所以， 因为，所以数列为首项是，公比是的等比数列。 所以，所以. 所以，， 所以，即第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率. 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求证：恰有一个极值点； （3）设为的极值点，若为的零点，且，求证：. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）证明：的定义域为， 所以， 令，因为， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减， 因为， 所以存在唯一，使得，即， 所以当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以函数在处取得极大值，为的极大值点，无极小值点. 所以恰有一个极值点. （3）证明：因为为的极值点，若为的零点，且， 所以，且，即且， 所以且，所以. 令，则在时恒成立， 所以为增函数，，即， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据导数研究函数的单调性即可； （2）函数求导，构造函数，根据函数的存在性定理可得函数的单调性，从而得证. （3）利用（2）中的结论和函数的单调性即可求证. 【小问1详解】 由题意知， 令，解得或；令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东川区高级中学高二2026年5月月考数学试题卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和平面，下列表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 6. 一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ） A. 二项分布，且 B. 两点分布，且 C. 超几何分布，且 D. 超几何分布，且 7. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知，若恒成立，则（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两个不同的点．则下列选项正确的有（ ） A. B. 设三点的横坐标分别为，则成等比数列 C. 若的面积为4，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列前项和为，，，则的最小值为_________． 13. 过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________． 14. 已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，则正三棱锥体积的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 17. 以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 18. 贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动． （1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ （2）某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即． ①求，； ②证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求证：恰有一个极值点； （3）设为的极值点，若为的零点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $