精品解析：云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

马关县第一中学2026年春季学期高二年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把代入代数式，再对分式分母实数化，化简整个复数，最后找出虚部. 【详解】因为，所以 ， 所以， 该复数的虚部为. 2. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 120 B. 15 C. 25 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为. 故选：B. 3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有名和名学生，则不同的抽样结果共有（ ）种. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层随机抽样先求出初中部和高中部抽取的人数，再根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】由题意可知初中部抽取（人），高中部抽取（人）， 因此初中部不同的抽样结果有，高中部不同的抽样结果有， 根据分步乘法计数原理可得不同的抽样结果共有种， 故选：B 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式以及对数函数的性质化简两个集合，即可根据交集和补集的定义求解. 【详解】已知集合，不等式等价于，解得，因此集合， 集合，根据对数函数的性质，，解得，因此集合， 所以，则，故A正确. 5. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算逐项分析即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误， 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 6. 设等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先分公比与讨论，排除后利用等比数列求和公式化简求出，再结合算出首项，最后代入通项公式求得． 【详解】设等比数列的公比为， ①若， 由，得， 则，， 显然，所以不满足题意； ②若， 由，得， 因为，所以， 即， 所以，解得， 由，得，解得， 所以， 综上． 7. 文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（   ） A. 68种 B. 98种 C. 100种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】第一步先按和确定分组，第二步将含有同学甲的一组安排到B或C服务点，即可求解. 【详解】将5名同学按和分组分别有种和种分法， 再将含有同学甲的一组安排到B、C服务点，最后安排另两组，安排方法有种， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：C 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为 C. 的极值点个数为 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的单调性和奇偶性画图求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，所以，选项A错误. 因为当时，，所以， 令得，（舍去），当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 函数在处取到极大值. 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，且函数的图象关于原点对称. 函数的图象如下： 结合函数图象可知的零点个数为3，分别是、0、，选项B错误. 的极值点个数为2，分别是、1，选项C错误. 若方程有三个实数根，则的取值范围是，选项D正确. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一条对称轴为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图象关于原点成中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查正弦型函数的周期、对称轴、单调性与图像平移，逐一验证四个选项. 【详解】选项A，函数，. 所以最小正周期，不是，A错误. 选项B，把代入：，， 此时函数取得最小值，故是一条对称轴，B正确. 选项C，当时，. 在单调递增，因此在该区间单调递增，C正确. 选项D，向左平移个单位： ， 是偶函数，图像关于轴对称，不关于原点对称，D错误. 10. 五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（ ） A. 所有可能的方法有125种 B. 若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C. 若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D. 若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB：根据分步乘法计数原理分析判断；对于C：利用间接法，讨论这5人去的景点个数，结合组合数运算求解；对于D：利用间接法，讨论这个景点去的人数，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】对于选项A：因为每个人均有3个景点可以选择， 所以所有可能的方法有种，故A错误； 对于选项B：若小张同学必须去“夫子庙”，即小张的选择已经确定，不需要考虑， 所以不同的安排方法有种，故B错误； 对于选项C：若5个人都去一个景点，不同的安排方法有种； 若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有种，故C正确； 对于选项D：若每个景点必须有同学去，且小张和小李去同一个景点，则有： 若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有种； 若这个景点有3人去，不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有种，故D正确； 故选：CD. 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线与圆相切，则 C. 若，则 D. 当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，将直线方程整理为参数项与常数项分离的形式，建立关于的方程并求解，即可得到定点坐标；选项B，通过圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式建立关于的方程并求解；选项C，求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减去半径，所以代入对应值计算即可；选项D，利用勾股定理表示切线长，根据点到圆心的距离最小时切线长最小，代入公式计算即可. 【详解】整理圆方程可得，因此圆心，半径. 选项A，整理直线的方程可得：， 令，解得，即直线恒过定点， A正确. 选项B，由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离： ， 解得：，B正确. 选项C，如图所示，当时，直线， 则圆心到直线的距离为：. ，C错误. 选项D，如图所示，从点向圆引切线，设一个切点为，连接、，则， 切线长， 因此当且仅当最小时最小，， 代入得：，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，解方程，求出的值，然后分别验证即可． 【详解】已知函数，则， 由于在处取得极大值，则，即，解得或， 当时，，则对任意的，都有，此时不存在极值点，不符合题意，舍去； 当时，，令，解得或， 当时，，函数在单调递增； 当时，，函数在单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意， 综上所述，实数的值为. 13. 数列为等差数列，为其前项和，已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知和联立方程组，求解得到和，进而求解的表达式，再利用二次函数的性质求最值. 【详解】由得：， 由得：，化简得， 联立方程组解得：，. ， 因此或时取最小值：， 即的最小值为. 14. 已知，，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为，设函数，利用导数判断函数的单调性，由此可得，设，利用导数求其范围即可. 【详解】因为， 所以，故， 注意到， 所以， 设函数，其导数， 故在上单调递增，因此由得 所以，设， 求导得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，取最小值，最小值为， 当时，， 故的取值范围是. 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足． （1）求； （2）若，，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理求出的值，求出的面积，即可求出边上的高． 【小问1详解】 由正弦定理，有，有， 通分后，有，有， 因为，则， 又由，有，可得， 又由，可得. 【小问2详解】 设边上的高为， 由及余弦定理，有， 的面积为， 则. 16. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列； （2）设，为数列的前项和，求． 【答案】（1）由，得， 即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）对线性递推式进行配凑构造，推出后项与构造数列前项的比值为定值，结合首项非零完成等比数列证明； （2）先利用等比数列通项得到的表达式，借助对数化简，再对裂项相消，累加抵消中间项后求出前项和． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以， 则， 所以． 17. 如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面平面，， 且平面平面，平面， 所以平面，平面，所以． 又，，，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先由题意求证平面得到，再结合和线面垂直的判定定理即可求证； （2）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用平面夹角的向量法公式即可计算求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由平面和， 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 因为，，，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）在一点处切线的方程可利用在这点处切线斜率等于在这点处的导数值，再代入函数解析式中求出切点坐标，利用点斜式写出切线方程； （2）导函数的正负决定原函数的单调性，故通过求导判断导函数的零点，讨论零点是否在定义域范围内从而判断原函数的单调性； （3）由（2）可知，单调性改变的点为极值，代入求出极小值，建立不等式，通过求导求解不等式即可． 【小问1详解】 当时，， 所以，所以． 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 由题意得， 函数的定义域为． 若，因为时，，所以在上单调递增； 若，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值， 极小值为，此时极小值也是最小值． 由，可得，， 又，所以． 令，求导得， 所以在上单调递减． 又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围为． 19. 已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长. （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线与相交于两点，直线，分别与相交于两点. ①证明：直线与直线的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）由的关系以及已知条件即可求解. （2）①由题意设方程为.联立抛物线方程，结合韦达定理以及斜率公式即可得证. ②由三角形面积公式只需分别求出，分别联立直线方程与抛物线、椭圆方程，结合弦长公式以及同理思想即可求解，进一步由基本不等式即可得解. 【小问1详解】 已知抛物线中，令，解得，所以， 因为椭圆上的点到距离的最小值为， 则，所以，从而， ∴椭圆的方程为：. 【小问2详解】 ①直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，则， 由已知，所以的斜率分别为， ，故， 所以直线与直线的斜率之积为定值； ②设直线，显然，由，解得或， ∴，则， 由①知，直线，则， 由，得，解得或， ，则， 由①知，直线， 则 ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2026年春季学期高二年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 120 B. 15 C. 25 D. 90 3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有名和名学生，则不同的抽样结果共有（ ）种. A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（   ） A. 68种 B. 98种 C. 100种 D. 120种 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为 C. 的极值点个数为 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一条对称轴为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图象关于原点成中心对称 10. 五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（ ） A. 所有可能的方法有125种 B. 若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C. 若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D. 若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线与圆相切，则 C. 若，则 D. 当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 13. 数列为等差数列，为其前项和，已知，，则的最小值为__________． 14. 已知，，若，则的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足． （1）求； （2）若，，求边上的高． 16. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列； （2）设，为数列的前项和，求． 17. 如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围． 19. 已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长. （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线与相交于两点，直线，分别与相交于两点. ①证明：直线与直线的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $