精品解析：云南省昆明市东川区第一中学2023-2024学年高二下学期第六次月考数学试题

昆明一中嵩明学校2025届高二第六次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章~第三章3.2． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 3. 过点且斜率为3的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 5. 已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，） A. 12年 B. 13年 C. 14年 D. 15年 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 图象关于直线对称 C. 图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 11. 如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ） A. 圆台的侧面积为 B. 直线与下底面所成的角的大小为 C. 圆台的体积为 D. 异面直线和所成的角的大小为 12. 已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点 B. 点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上 C. 若直线、的斜率分别为、，则 D. 过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，若， 则_________. 14. 已知圆，则圆在点处的切线方程为______． 15. 已知，，则最大值为________. 16. 已知，则的最小值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求A； （2）若，求a的最小值. 19. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： （1）估计田径队测试的平均成绩； （2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做领队，求领队来自不同队伍的概率. 20. 已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． （1）求的标准方程； （2）设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 21. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 22. 已知双曲线的焦点为，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明一中嵩明学校2025届高二第六次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章~第三章3.2． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数四则运算法则计算即可. 【详解】. 故选：B 2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】结合幂函数的解析式，代入已知点坐标可求出幂函数解析式，再代值计算即可得出答案. 【详解】设，则由题意，得， 所以，则， 故选：B. 3. 过点且斜率为3的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为，化简得， 故选： 4. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项. 【详解】A：平行于平面的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确； B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：B 5. 已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解. 【详解】如图所示，椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为， 为等边三角形， 则椭圆的离心率为. 故选：A. 6. 国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，） A. 12年 B. 13年 C. 14年 D. 15年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解. 【详解】设该品牌设置的质保期至多为年， 由题意可得，，则， 两边取对数，即，则， 即，则， 因为，所以，则，又因为，所以， 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正切的两角差公式求，然后利用二倍角公式和平方关系将所求化为齐次式，利用可求. 【详解】由，有，解得， 则． 故选：C． 8. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由两条直线斜率相乘为-1，判断两直线的垂直. 【详解】直线的斜率为4，则与直线垂直的直线的斜率为，符合条件的为B、C项. 故选：BC 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 图象关于直线对称 C. 图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正切函数的最小正周期，可判断A；根据正切函数没有对称轴可判断B；采用代入验证的方法可判断C；根据正切函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，由于正切函数的最小正周期是， 故函数最小正周期是，A正确； 对于B，由于正切函数没有对称轴，故的图象也没有对称轴，B错误； 对于C，由于，故的图象关于点对称，C正确； 对于D，由于正切函数在上单调递增， 故对于函数，令， 则， 故在区间上单调递增，D正确， 故选：ACD 11. 如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ） A. 圆台的侧面积为 B. 直线与下底面所成的角的大小为 C. 圆台的体积为 D. 异面直线和所成的角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式以及体积公式即可判断AC，由线面角的定义即可判断B，由异面直线所成角的定义即可判断D. 【详解】由题意可得上底面半径为，下底面圆半径为，母线， 则圆台的侧面积为，故A正确； 做圆台的轴截面如图所示，做， 则直线与下底面所成的角为，且， 则，且， 则，所以，故B正确； 因为上底面圆的面积，圆台的高， 则圆台的体积为，故C错误； 取中点，连接，由为弧的中点，可得， 过点，作，连接， 则，且，且， 则四边形为平行四边形，所以， 则异面直线和所成的角即为与所成角，即为， 又，， 所以， 在中，，， 则为等腰直角三角形，则，故D正确； 故选：ABD. 12. 已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点 B. 点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上 C. 若直线、的斜率分别为、，则 D. 过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线与双曲线的位置关系可判断出A选项；求出点关于双曲线的渐近线的对称点的坐标，再将点的坐标带入双曲线的方程，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；求出当直线的斜率为时的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点垂直于轴的直线、平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，所以至少有条，故A错误； 对于B选项，易得，双曲线的一条渐近线方程为， 设点关于的对称点为， 则，解得，所以， 又，即点在双曲线上，故B正确； 设，所以，即， 所以，故C正确； 当直线的斜率为时，，故D错误． 故选：BC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，若， 则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】由垂直向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，若， 则，即，即，解得：. 故答案为：. 14. 已知圆，则圆在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线的斜率，利用点斜式即可得解. 【详解】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 15. 已知，，则最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 16. 已知，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先将已知条件化简整理可得，然后利用“1”的代换和基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴， 两边平方得， ，，，∴， 所以， 当且仅当，时，上述等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解，结合集合的交并补运算即可求解. （2）根据题意可得，进而根据，代入即可根据不等式求解. 【小问1详解】 若，则，， ； 【小问2详解】 ，由于， 所以，有，且，有， 有或， . 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求A； （2）若，求a的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可； （2）应用余弦定理结合基本不等式求值即可. 【小问1详解】 ，即， 即； 【小问2详解】 由余弦定理有， 当且仅当时取等号，故a的最小值为1. 19. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： （1）估计田径队测试的平均成绩； （2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做领队，求领队来自不同队伍的概率. 【答案】（1）73 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，再根据平均数公式计算得到答案. （2）确定抽取的比例及抽取的人数，列举出所有情况，统计满足条件的情况，由古典概型公式求得概率. 【小问1详解】 由田径队的频率分布直方图得：， 解得. 其中“田径队”的平均成绩为： ， 【小问2详解】 “田径队”中90分以上的有（人）， “足球队”中90分以上有（人）， 所以抽取的比例为， 在“田径队”抽取（人），记作a，b，c，d； 在“足球队”抽取（人），记作A，B，C. 从中任选2人包含的基本事件有： ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，dA，dB，dC，AB，AC，BC，共21个， 领队来自不同队伍包含的基本事件aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，共12个， 故领队来自不同队伍的概率为. 20. 已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． （1）求的标准方程； （2）设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，，设点， 则，， ，， ， 为定值． 【解析】 【分析】（1）由离心率，椭圆的性质列方程组计算即可； （2）设点，由斜率的定义表示出，，再结合点在椭圆上化简即可. 【小问1详解】 根据题意得，解得， 的标准方程为； 【小问2详解】 略 21. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【小问1详解】 由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 22. 已知双曲线的焦点为，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）过定点， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，再结合求出，从而可求得双曲线的方程； （2）直线的方程为，设，将直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，同理表示出点的坐标，由得，表示出，从而可表示出直线的方程，化简可得答案. 【小问1详解】 由题意知， 解得， 所以双曲线的方程是； 【小问2详解】 直线的方程为，设． 由，得， 所以， 所以，所以， 所以， 同理可得， 因为，所以，即， 当且时，， 所以直线的方程为， ， ， ， ， 所以， 所以直线过定点； 当或时，直线的方程为，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中直线过定点问题，解题的关键是将直线方程代入双曲线方程化简，结合根与系数的关系的中点坐标公式表示出的坐标，考查计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $