精品解析：四川省眉山市仁寿县2025-2026学年八年级下学期期末教学质量监测数学试卷

2026年八年级（下）期末教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号准确填写在答题卡相应的位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他选项；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．凡作图题或辅助线均用签字笔画图． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将相应题目的正确选项涂黑． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式的意义，分式有意义的条件为，即可求得的范围． 【详解】解：∵分式有意义， ， ， 故选：A． 2. 最新研究发现，宇宙中普遍存在的“太空冰”，其内部暗藏纳米级结晶，通过计算机模拟与实验验证，首次捕捉到这些神秘冰体内部存在约宽的微晶体．数据0.000000003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示为，其中，n是原数中第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】∵0.000000003中，第一个非零数字3前共有9个零，且， ． 3. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可． 【详解】解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高， 从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定， ∴选择乙同学参加比赛， 故选：B． 4. 若点在直线上，则点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由点在直线上，求出点的坐标，再求出关于轴对称的点即可． 【详解】解：点在直线上， 将代入直线解析式得， 点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一判断各选项正误即可． 【详解】A项：一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故A错误； B项：一组对边相等且有一个角是直角的四边形不符合矩形的判定定理，不一定是矩形，故B错误； C项：只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直不能判定，故C错误； D项：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形， ∴对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D正确． 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键． 7. 如图，平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，延长和，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，即可求得，再利用等腰三角形的性质求得，根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，，， ， 根据作图可得， , ， ． 8. 如图，平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得出，从而判定四边形是平行四边形，再结合判定四边形是菱形，最后利用勾股定理求出的长，根据菱形面积公式计算即可； 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，，，  ，  点是的中点，  ， 在和中，  ，  ，  ，， ，，  四边形是平行四边形，  ，  平行四边形是菱形，  ， 在中，，  ，  四边形的面积． 9. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再根据方程的解为非负数且分式分母不为零，列出不等式求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：对分式方程， 方程两边同乘去分母得： ， 展开整理得： ， ， ， ∵分式方程的解为非负数，且分母不为零， ，且， 解不等式得：，且． 10. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①平分；②是的中点；③；④．其中正确结论的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．由旋转的性质可得在上，结合矩形性质证明可判断①；通过角度计算证明可判断②；通过线段关系判断与是否相等可判断③；如图，在上截取，连接，可得是的中位线，设，则，，进而表示出，再根据线段和差关系可判断④． 【详解】解：，， ，， 由旋转的性质可知：， ，，，，， 旋转角为， ， ，即点在上， ， ， 又，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分，故①正确； 如图，连接， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即是的中点，故②正确； ，， 在中，，， ， ，故③错误； 如图，在上截取，连接， 是的中点， 是的中位线， ， 在中，， ， ， ， 设，则，， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④，共个． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的比例关系，设参数表示出和，再代入所求分式化简计算即可得到结果． 【详解】解：设，其中， 则，， ∴． 13. 如图，点是边的中点，平分，于点．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，利用角平分线的定义和垂直的定义证明，从而得到且为的中点，再根据三角形中位线定理求出的长，最后利用线段的和差关系求得的长． 【详解】解：如图，延长交于点 平分 在和中 ， 是的中点 是的中点 是的中位线 ． 14. 如图，矩形中，点、分别在边、上，连接、、．将和分别沿、折叠，点，点恰好落在上同一点，记为点．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，，进而求出的长，设，表示出和的长，在Rt中利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：由折叠的性质可知，，.， ，，，， ， ， ，  四边形是矩形， ，，， 设，则， ，  ，  ，  ， 在Rt中，由勾股定理得， 即，    ，  ． 15. 如图，在正方形中作菱形，连接，若，，则正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、、，、相交于点O，根据正方形的性质得出，O为中点，，，，，，根据菱形的性质得出，过中点O，，则在上，证明，得出，过B在左侧作，并截取，则，，证明，得出，，证明，得出，则，即可求解． 【详解】解：连接、、、，、相交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，O为中点，，，， ∴，，即， ∵四边形是菱形， ∴，过中点O，， ∴在上， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 过B在左侧作，并截取， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共9个小题，共90分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上． 16. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解： 整理得 去分母 解得 经检验：当时， 故原分式方程无解 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先对分子分母因式分解，计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，约分得到最简结果，代入的值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 18. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1）40，25，4，3 （2）这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数为； （3）该校学生每月参加志愿服务的时间是的人数约为人． 【解析】 【分析】（1）利用的人数除以其所占百分比，即可求出的值，进而即可求出的值，再结合众数和中位数定义求解，即可解题； （2）根据平均数定义计算求解，即可解题； （3）利用1000乘以的人数所占比即可． 【小问1详解】 解：由题知，， ， ， ， 众数为， 随机调查了该校40名学生，中位数为按顺序排列后，第20位与第21位的平均数， 又， 中位数为； 【小问2详解】 解：， 答：这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生每月参加志愿服务的时间是的人数约为人． 19. 如图，平行四边形中，，分别平分和，交于点，交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若已知，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （2）平行四边形周长为． 【解析】 【分析】（1）首先利用平行四边形的性质，得到对角相等、对边平行的关系，再结合角平分线的定义，推导和的关系，以及与的位置关系，结合与的平行关系，依据平行四边形的判定定理证明结论. （2）首先根据平行的性质，推导角的等量关系，得到，再结合（1）中平行四边形的性质，得到的长度，进而求出的长度，最后利用平行四边形周长公式计算即可. 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ， 又平分， ， ∴， ∴． 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴平行四边形周长为：． 20. 如图1，点从矩形的点出发，沿矩形的边，，对角线移动，运动路线为．设点经过的路程为，的面积为．如图2，反映了与的函数关系． （1）由题意可分析得：________，________，________； （2）当为何值时，的面积为12？ 【答案】（1）6，8，24 （2）3或19 【解析】 【分析】（1）设，，点经过的路程为，的面积为，当点P在时，得，当时，点P在上运动，此时，故，求解即可． （2）确定，分，当，，求解即可； 【小问1详解】 解：矩形， ， 设，， 点经过的路程为，的面积为， 当点P在时即时，， 根据图象，得当时，，此时， 故， 当时，点P在上运动，此时 故，此时，故， ． 【小问2详解】 解：根据勾股定理，得， ， ， 当时，设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故， 根据题意，得当时，， 解得； 当时，点P在上运动，此时，不可能等于12，此时不存在解； 当时，根据题意，得， 解得； 21. 为丰富校园课外活动，鼓励同学们参与体育锻炼，某中学准备一次性购买若干个篮球和排球，已知用480元购买篮球的数量和用360元购买排球的数量相同，篮球的单价比排球的单价多15元． （1）求篮球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买篮球和排球共100个，但要求其总费用不超过5000元，那么学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）篮球的单价是60元，排球的单价是45元； （2）学校最多可以购买33个篮球． 【解析】 【分析】（1）根据数量相等的等量关系，设未知数列出分式方程，求解检验后即可得到单价； （2）根据总费用不超过5000元的要求，设未知数列出一元一次不等式，求解后取最大正整数即可得到结果． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，  ， 答：篮球的单价是60元，排球的单价是45元． 【小问2详解】 解：设学校可以购买个篮球，则可以购买个排球， 依题意得：， 化简得：， 解得：，  为正整数，  可以取的最大值为33， 答：学校最多可以购买33个篮球． 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，点． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入求出的值，然后把代入反比例函数表达式求出的值，最后把、的坐标代入求解即可； （2）根据函数图象直接求解即可； （3）利用对称性，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，根据待定系数法求出直线的表达式，然后令，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，关于x的不等式的解集或； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 则， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴. 23. 【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 （1）如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； （2）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ，即， ， ， ， 设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 24. 综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次数学活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，作，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，取边的中点，连接并延长交于点． 【初步猜想】 （1）通过初步观察、测量，猜想与的位置关系为________； 【特例证明】 （2）如图2，当为等腰三角形，时，试证明上述猜想结论的正确性； （3）如图3，当为直角三角形，°时，试证明上述猜想结论的正确性； 【推理论证】 （4）如图1，当为一般三角形时，上述结论是否依然成立？请证明． 【答案】（1） （2）证明：∵，M是边的中点， ∴， ∵正方形和正方形， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴； （3）证明：正方形和正方形， ∴，，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，M是边的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ （4）解：成立， 理由：延长至N，使，连接， ∵M是中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）观察图形，经过测量即可判断； （2）根据三线合一的性质得出，根据正方形的性质，余角的性质可得出，，然后根据三线合一的性质即可得证； （3）证明，得出，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等边对等角得出，结合，得出，即可得证； （4）延长至N，使，连接，证明，得出，，导角得出，证明，得出，结合，得出，即可得证． 【小问1详解】 解：观察图形，经过测量判断； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级（下）期末教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号准确填写在答题卡相应的位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他选项；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．凡作图题或辅助线均用签字笔画图． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将相应题目的正确选项涂黑． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 最新研究发现，宇宙中普遍存在的“太空冰”，其内部暗藏纳米级结晶，通过计算机模拟与实验验证，首次捕捉到这些神秘冰体内部存在约宽的微晶体．数据0.000000003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 若点在直线上，则点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，延长和，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 240 9. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①平分；②是的中点；③；④．其中正确结论的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算：________． 12. 若，则________． 13. 如图，点是边的中点，平分，于点．若，，则的长为________． 14. 如图，矩形中，点、分别在边、上，连接、、．将和分别沿、折叠，点，点恰好落在上同一点，记为点．若，，则的长为________． 15. 如图，在正方形中作菱形，连接，若，，则正方形的边长为________． 三、解答题：本大题共9个小题，共90分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上． 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是的人数约为多少？ 19. 如图，平行四边形中，，分别平分和，交于点，交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若已知，，求平行四边形的周长． 20. 如图1，点从矩形的点出发，沿矩形的边，，对角线移动，运动路线为．设点经过的路程为，的面积为．如图2，反映了与的函数关系． （1）由题意可分析得：________，________，________； （2）当为何值时，的面积为12？ 21. 为丰富校园课外活动，鼓励同学们参与体育锻炼，某中学准备一次性购买若干个篮球和排球，已知用480元购买篮球的数量和用360元购买排球的数量相同，篮球的单价比排球的单价多15元． （1）求篮球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买篮球和排球共100个，但要求其总费用不超过5000元，那么学校最多可以购买多少个篮球？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，点． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标． 23. 【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 （1）如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； （2）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 24. 综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次数学活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，作，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，取边的中点，连接并延长交于点． 【初步猜想】 （1）通过初步观察、测量，猜想与的位置关系为________； 【特例证明】 （2）如图2，当为等腰三角形，时，试证明上述猜想结论的正确性； （3）如图3，当为直角三角形，°时，试证明上述猜想结论的正确性； 【推理论证】 （4）如图1，当为一般三角形时，上述结论是否依然成立？请证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $