精品解析： 四川省眉山市仁寿县乡村学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年四川省眉山市仁寿县乡村学校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数的图象不经过第二象限，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 对角线相等平行四边形是矩形 B. 一条对角线平分了一个内角平行四边形是菱形 C. 对角互补的平行四边形是矩形 D. 四个角相等的四边形是菱形 6. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若点在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（    ） A. B. C. D. 11. 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论： （1）a＝40，m＝1； （2）乙的速度是80km/h； （3）甲比乙迟h到达B地； （4）乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km． 正确的个数是（　　） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若分式的值为，则实数的值为______. 14. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为_________分． 15. 将平面直角坐标系中的直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的直线解析式是______． 16. 如图，点是矩形的边上一点，连结，沿折叠矩形得到，的延长线刚好经过点，若，，则的长是______． 17. 如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 18. 如图，反比例函数（x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为___． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 19. 某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． （2）计算乙队的平均成绩和方差． （3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 四、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：； （2）解分式方程：． 21. 先化简（－x＋1）÷，再从－1，0，1中选择合适的x值代入求值． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在线段BD上，且，连结AE、CE、AF、CF． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若，，，求四边形AECF周长． 23. 一商场正在销售A、B两种型号的冰箱，已知销售A型冰箱所获利润为2000元时的数量与销售B型冰箱所获利润为2500元时的数量相同，且销售1台B型冰箱的利润比销售1台A型冰箱的利润多50元． （1）分别求出A、B两种型号冰箱每台的销售利润； （2）该商场计划购进这两种型号的冰箱共80台，其中B型水箱的进货量不超过A型冰箱的2倍，则该商店应如何安排进货，才能使销售总利润最大？ 24. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上． （1）求出线段的长度； （2）求出的函数关系式； （3）若点是轴上的一个动点，点是线段上的点（不与点、重合），是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由． 26. 如图1，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，以、为邻边作平行四边形． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，若，连接、，求的度数； （3）如图3，若，，，M为的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四川省眉山市仁寿县乡村学校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，是分式， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式． 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000164=1.64×10-6， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10-n的形式是关键． 3. 平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-轴对称，熟练掌握点关于坐标轴对称的坐标特征是解答的关键． 4. 若一次函数的图象不经过第二象限，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于，当，的图象在第一、二、三象限；当，的图象在第一、三、四象限；当，的图象在第一、二、四象限；当，的图象在第二、三、四象限．根据一次函数图象与系数的关系得到且，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， 即图象经过第一、三、四象限或图象经过一、三象限， ∴且， ∴，． 故选：D． 5. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 一条对角线平分了一个内角的平行四边形是菱形 C. 对角互补的平行四边形是矩形 D. 四个角相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定、正方形和菱形的判定判断即可． 【详解】解：A． 对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题； B． 一条对角线平分了一个内角的平行四边形是菱形，是真命题； C． 对角互补的平行四边形是矩形，是真命题； D． 四个角相等的四边形是矩形，是假命题； 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是熟练掌握矩形和菱形的判定定理． 6. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 7. 若点在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，代入计算函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，先根据作图可知四边形是菱形，再利用菱形的面积公式求解即可，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 【详解】解：根据题意得：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到＋，可得到，再根据平行线的性质得到，，根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是解题的关键． 10. 若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据分式方程的解法和增根的定义进一步确定的值即可． 【详解】解：不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， 由于不等式组有解， ， 解得， 将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 又分式方程的解为有非负数解， ， 即， 又分式方程的增根是， ， 解得， 综上所述，且， 即或或或或， 符合条件的所有整数的值的和为． 故选：A ． 11. 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论： （1）a＝40，m＝1； （2）乙的速度是80km/h； （3）甲比乙迟h到达B地； （4）乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km． 正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】（1）由题意，得m=1.5﹣0.5=1． 120÷（3.5﹣0.5）=40（km/h），则a=40，故（1）正确； （2）120÷（3.5﹣2）=80km/h（千米/小时），故（2）正确； （3）设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y=kx+b，由题意，得 解得： ∴y=40x﹣20， 根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车， 把y=260代入y=40x﹣20得，x=7， ∵乙车的行驶速度：80km/h， ∴乙车的行驶260km需要260÷80=3.25h， ∴7﹣（2+3.25）=h， ∴甲比乙迟h到达B地，故（3）正确； （4）当1.5＜x≤7时，y=40x﹣20． 设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k'x+b'，由题意得 解得： ∴y=80x﹣160． 当40x﹣20﹣50=80x﹣160时， 解得：x=． 当40x﹣20+50=80x﹣160时， 解得：x=． ∴﹣2=，﹣2=． 所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故（4）错误． 故选C. 12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及≌是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，则，则，则，可求得，而，所以，可判断正确；由，得，则，所以，可求得，则，所以，则，所以，再证明，则，可判断正确；再证明≌，得，，可判断正确；由，，推导出，而，则，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 故正确； ，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 故正确； ，， ， ， ， ， 故正确， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若分式的值为，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 方程两边乘以，得， 解得或， 检验：当时，；当时，， ∴分式方程解为， 故答案为：． 14. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为_________分． 【答案】72 【解析】 【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解． 【详解】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为（分） 故答案为：72． 【点睛】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 15. 将平面直角坐标系中的直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的直线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式即可． 本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规律，属于基础题，中考常考题型． 【详解】解：将直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，得到直线，即， 故答案为：． 16. 如图，点是矩形的边上一点，连结，沿折叠矩形得到，的延长线刚好经过点，若，，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，解题关键是熟练运用等量代换，把条件和问题转化到一个直角三角形中去解决． 先运用矩形性质得到，，再设，则，，最后在中，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠的性质知：，，，， 在中，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 17. 如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 18. 如图，反比例函数（x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB由S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF可求解. 【详解】方法1：如图，连接OB． ∵E、F是反比例函数（x＞0）的图象上的点，EA⊥x轴于A，FC⊥y轴于C，∴S△AOE=S△COF=×3=． ∵AE=BE， ∴S△BOE=S△AOE=，S△BOC=S△AOB=3． ∴S△BOF=S△BOC﹣S△COF=3﹣=． ∴F是BC的中点． ∴S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=6﹣﹣﹣×=． 方法2 设点E的坐标为，则点B的坐标为，于是由，可得点F的坐标为．如图所示，过点F作轴的线，交OE于点，则为OE的中点．故点的坐标为，于是，从而． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 19. 某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． （2）计算乙队的平均成绩和方差． （3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 【答案】（1）9.5；10 （2）分， （3）乙 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键. （1）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （2）根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可； （3）根据方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：将甲队数据排序后，位于中间的2个数据是9和10， ∴中位数为（分）； 乙队数据中出现次数最多的是10，故众数为10分； 故答案为：9.5；10 【小问2详解】 （分）； ； 【小问3详解】 ∵，甲队成绩的方差是1.4，； 故成绩较为整齐的是乙队； 故答案为：乙． 四、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，实数的运算，掌握解分式方程的方法，有理数的乘方运算法则，算术平方根定义，零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，绝对值是解题的关键． （1）根据实数的运算法则，利用有理数的乘方运算法则，算术平方根定义，零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，绝对值进行计算即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】（1） ； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为． 21. 先化简（－x＋1）÷，再从－1，0，1中选择合适的x值代入求值． 【答案】；-1 【解析】 【分析】先将小括号内的分式通分化简，再根据除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，结合完全平方公式、平方差公式解题，约分、化简，最后根据分式有意义的条件代入，计算求值即可． 【详解】 当时， 原式 【点睛】本题考查分式的化简求值，其中涉及分式有意义的条件、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在线段BD上，且，连结AE、CE、AF、CF． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若，，，求四边形AECF的周长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由题意得四边形为菱形，再由得为等边三角形，则 ，然后设，求出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴四边形AECF为平行四边形； 【小问2详解】 ∵四边形AECF为平行四边形，， ∴四边形AFCE为菱形， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，即：， ∴，，∴，∴， ∴， ∴四边形AFCE的周长为8． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及三角形周长等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23. 一商场正在销售A、B两种型号冰箱，已知销售A型冰箱所获利润为2000元时的数量与销售B型冰箱所获利润为2500元时的数量相同，且销售1台B型冰箱的利润比销售1台A型冰箱的利润多50元． （1）分别求出A、B两种型号冰箱每台的销售利润； （2）该商场计划购进这两种型号的冰箱共80台，其中B型水箱的进货量不超过A型冰箱的2倍，则该商店应如何安排进货，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）每台A型冰箱销售利润为200元，每台B型冰箱的销售利润为250元 （2）商店购进27台A型冰箱和53台B型冰箱的销售利润最大 【解析】 【分析】（1）设每台A型冰箱销售利润为a元，则每台B型冰箱销售利润为元，销售A型冰箱所获利润为2000元时的数量与销售B型冰箱所获利润为2500元时的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设购进A型冰箱x台，B型冰箱台，总利润为W元，得出一次函数解析式，即，根据，求出，根据一次函数增减性求出结果即可． 【小问1详解】 解：设每台A型冰箱销售利润为a元，则每台B型冰箱销售利润为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：每台A型冰箱销售利润为200元，每台B型冰箱的销售利润为250元． 【小问2详解】 解：设购进A型冰箱x台，B型冰箱台，总利润为W元， 据题意得，， 即， ∵， 解得， ∵，， ∴W随x的增大而减小， ∵，且x为正整数， ∴当时，W取最大值，则， 即商店购进27台A型冰箱和53台B型冰箱的销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，求出一次函数解析式． 24. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）分两种情况：以为腰和以为底边，分别进行解答即可． 【小问1详解】 将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； ∵在的图象上， ∴， 将、坐标代入得， ， 解得 ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由函数图象可知： 当或时，， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 ①当以为腰时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为，或； ②当以为底边时， 如图，过点A作轴于点D，连接， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∵此时点P在x轴负半轴， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题、一次函数图象的性质，涉及到反比例函数性质，等腰三角形的判定及其性质、勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论的数学思想． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上． （1）求出线段的长度； （2）求出的函数关系式； （3）若点是轴上的一个动点，点是线段上的点（不与点、重合），是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）直线的解析式为； （3）存在，点坐标或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分的性质建立方程是解题的关键． （1）分别求出、点坐标，再求的长即可； （2）过点作轴交于点，证明，设，，则，由点在直线上，将点坐标代入直线解析式求出的值，可得点坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）由（2）可知，设，，，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分性质建立方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， 点在直线上， ， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（2）可知，， 设，，， ①当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ； ②当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， 此时点不存在； ③为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ； 综上所述：点坐标或． 26. 如图1，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，以、为邻边作平行四边形． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，若，连接、，求的度数； （3）如图3，若，，，M为中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）13 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）连接，先证明，得出，， 证明，得出等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由（1）知，四边形是菱形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形，， ∴四边形为正方形． 根据解析（2）可知，， ∵M中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$