第10讲 指数（4大知识点+6大题型）讲义-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版）

第10讲 指数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 3 知识点二、根式的概念和运算法则 3 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 4 知识点四、有理数指数幂的运算 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：根式取值范围判定 5 题型 2：根式性质化简计算 5 题型 3：带条件根式化简 6 题型 4：根式与指数幂互化 6 题型 5：分数指数幂化简求值 7 题型 6：整体代换处理指数幂 9 04 过关测试 11 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 题型 1：根式取值范围判定 例1．（2026·高一·全国·单元测试）若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 例2．若有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．x∈R 例3．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2．若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 题型 2：根式性质化简计算 例4．（2026·高一·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 例5．（2026·高一·广西南宁·期中）（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·高一·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 变式3．（2026·高一·云南保山·阶段检测）计算（   ） A．4 B．2 C． D． 变式4．（2026·高一·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 3：带条件根式化简 例7．当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 例8．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 例9．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 变式5．（2026·高一·浙江温州·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 题型 4：根式与指数幂互化 例10．（2026·高一·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 例11．（2026·高一·安徽淮北·期中）化简与计算： (1) (2) 例12．（多选题）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7．（多选题）（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 变式8．（多选题）（2026·高一·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 5：分数指数幂化简求值 例13．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期中）求值： (1)； (2). 例14．（2026·高一·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 例15．（2026·高一·浙江宁波·期中）求值 (1)； (2). 变式9．（2026·高一·安徽阜阳·期中）（1）化简：； （2）求值：. 变式10．（2026·高一·广东中山·期中）化简或求值： (1)化简：； (2)化简求值：； (3)化简求值：. 题型 6：整体代换处理指数幂 例16．（多选题）（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 例17．若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 例18．已知，求以及的值． 变式11．（2026·高一·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 变式12．（1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 变式13．（多选题）（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·高一·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 5．（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 6．（2026·高三·广东江门·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知，，则的值为______． 12．已知，则的值为______． 13．使等式成立的实数的取值范围为_____. 14．（2026·高一·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 15．（2026·高一·北京·期中）计算: (1) (2)已知，求的值. 16．（2026·高一·福建龙岩·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 17．（2026·高一·安徽合肥·期中）化简求值： (1)； (2)已知，求：. 18．（2026·高一·广东广州·期中）计算： (1)； (2)已知，其中，求的值. 19．（2026·高一·河北秦皇岛·期中）（1）用分数指数幂表示并计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 20．（2026·高一·广西南宁·期中）（1）化简式子：； （2）已知，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 指数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 3 知识点二、根式的概念和运算法则 3 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 4 知识点四、有理数指数幂的运算 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：根式取值范围判定 5 题型 2：根式性质化简计算 6 题型 3：带条件根式化简 7 题型 4：根式与指数幂互化 9 题型 5：分数指数幂化简求值 11 题型 6：整体代换处理指数幂 12 04 过关测试 16 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 题型 1：根式取值范围判定 例1．（2026·高一·全国·单元测试）若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】由题意可知， 且． 故选：B 例2．若有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．x∈R 【答案】C 【解析】由题意知，所以2≤x≤3. 故选：C． 例3．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 因为，即， 所以，可得，所以. 故选：D. 变式1．若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 变式2．若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.要使原式有意义，则解得且. 故选：A. 题型 2：根式性质化简计算 例4．（2026·高一·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【解析】对于A，，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，当为奇数时，（，），所以C错误； 对于D，（，），所以D正确. 故选：D. 例5．（2026·高一·广西南宁·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 例6．（2026·高一·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 故选：B. 变式3．（2026·高一·云南保山·阶段检测）计算（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 变式4．（2026·高一·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 题型 3：带条件根式化简 例7．当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【答案】C 【解析】因为有意义，可得，即， 又由 故选：C. 例8．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 【答案】A 【解析】因为，故， 所以. 故选：A 例9．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C 变式5．（2026·高一·浙江温州·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 变式6．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 则， 所以的值为1. 故选：A 题型 4：根式与指数幂互化 例10．（2026·高一·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 例11．（2026·高一·安徽淮北·期中）化简与计算： (1) (2) 【解析】（1）； （2），， ，， . 例12．（多选题）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由；；； ，显然ABC不正确. 故选：ABC 变式7．（多选题）（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为，所以选项A错误； 因为，所以选项B错误； 因为，所以选项C正确； 因为，所以选项D正确. 故答案为：CD. 变式8．（多选题）（2026·高一·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 题型 5：分数指数幂化简求值 例13．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期中）求值： (1)； (2). 【解析】（1）； （2）. 例14．（2026·高一·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【解析】（1）； （2）； （3）， ，则， . 例15．（2026·高一·浙江宁波·期中）求值 (1)； (2). 【解析】（1）由； （2）由 . 变式9．（2026·高一·安徽阜阳·期中）（1）化简：； （2）求值：. 【解析】（1）原式； （2）原式 . 变式10．（2026·高一·广东中山·期中）化简或求值： (1)化简：； (2)化简求值：； (3)化简求值：. 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 题型 6：整体代换处理指数幂 例16．（多选题）（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 例17．若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. 例18．已知，求以及的值． 【解析】对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 变式11．（2026·高一·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【解析】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 变式12．（1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 【解析】（1）原式 （2）（i）因为， 所以， 因此：. （ii）由，得， 故， 又， 故． 变式13．（多选题）（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 1．（2026·高一·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，，则，因此， 所以. 2．（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ； ； 所以 . 3．（2026·高一·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选：A 4．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【解析】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 故选：D 5．（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 6．（2026·高三·广东江门·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C. 7．（2026·高一·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】有意义，，， 又，，，. 故选：A. 8．（2026·高一·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 9．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 10．（多选题）（2026·高一·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 11．已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】因为， 所以， 故. 12．已知，则的值为______． 【答案】 【解析】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 13．使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 14．（2026·高一·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【解析】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 15．（2026·高一·北京·期中）计算: (1) (2)已知，求的值. 【解析】（1）由 ； （2）由，则. 16．（2026·高一·福建龙岩·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 【解析】（1）原式； （2）因为，所以，则， 由，因为，所以，所以. 17．（2026·高一·安徽合肥·期中）化简求值： (1)； (2)已知，求：. 【解析】（1） ； （2）方法一：由已知条件可得， ，所以. 方法二：由已知条件，不妨设， ，解得或. 当时，； 当时，； 综上所述：. 18．（2026·高一·广东广州·期中）计算： (1)； (2)已知，其中，求的值. 【解析】（1）原式； （2），， ，， ，， 又，， . 19．（2026·高一·河北秦皇岛·期中）（1）用分数指数幂表示并计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 【解析】（1），所以的分数指数幂形式为， 又，所以. （2）因为，令，则①， 又，则②， 由①②得到，即，所以， 故的值为. 20．（2026·高一·广西南宁·期中）（1）化简式子：； （2）已知，求的值. 【解析】（1） ； （2）因为，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $