期末综合测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 覆盖必修二核心知识，以综合题型构建复数、向量、立体几何、概率统计、解三角形的知识网络，注重空间观念与数据意识的考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数与向量|3题|纯虚数判定、向量运算及共线证明|复数概念→向量线性运算→几何意义应用| |立体几何|6题|线面关系判断、空间角与距离计算、外接球问题|空间几何体性质→空间角与距离→球的切接综合| |概率统计|5题|统计图表分析、概率事件独立性、数据特征计算|数据收集与整理→概率事件关系→统计量应用| |解三角形|3题|余弦定理应用、三角形形状判断、实际测量|三角公式→边角关系→实际问题建模|

人教A版必修二 高一期末测试卷 一、单选题 1．若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D．0或2 2．已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（     ） A．平均数不变 B．方差不变 C．极差变大 D．中位数不变 5．2022年7月15日，国家统计局发布了2022年上半年居民人均消费支出及构成情况如图所示，根据图中的信息，针对2022年上半年，下列结论不正确的是（　　） A．居民在“教育文化娱乐”上的人均消费支出的占比为9.8% B．居民人均消费支出为11440元 C．居民在“居住”“生活用品及服务”“医疗保健”上的人均消费支出之和大于在“食品烟酒”上的人均消费支出 D．居民在“衣着”上的人均消费支出比在“交通通信”上的人均消费支出的一半少 6．抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，事件和事件独立 C．当时，事件和事件独立 D．当时，事件和事件互斥 7．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（   ） A． B． C． D． 8．已知点在边长为的正方形上运动，点，在正方形的外接圆上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题正确的是（     ） A．数据1，2，3，4，5，6的中位数是3 B．数据，，，的方差是1，则，，…，的方差是9 C．若事件与互斥，且，，则 D．记事件与的对立事件分别为，，若事件与互斥，则是必然事件 10．在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（ ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 11．在三棱锥中，平面，，，，则（   ） A．异面直线与所成的角为 B．点A到平面的距离为 C．二面角的正弦值为 D．三棱锥各顶点均在半径为3的球的球面上 三、填空题 12．样本数据：2，3，7，5，1，6，8，3，8的第60百分位数为______. 13．已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该棱柱内部能容纳的体积最大的球的表面积为______． 14．如图，为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为__________米．    四、解答题 15．如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，． (1)试用，表示，，； (2)证明：，，三点共线． 16．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数； (2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在的学生中抽取12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取2人作为组长，求至少有一名组长的竞赛成绩在内的概率. 17．如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点在上，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 19．在四棱锥中，底面是菱形，，是边长为2的正三角形，设平面与平面的交线为，直线与平面所成角的大小为．    (1)证明：（ⅰ）；（ⅱ）； (2)求二面角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B D C B B BCD ABC 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据中，当时，为纯虚数列式求解． 【详解】复数为纯虚数，则 ，解得：或，且； 综上． 2．C 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 3．C 【分析】根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项验证即可. 【详解】选项A，若，则直线与直线位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误； 选项B，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故B错误； 选项C，根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可知，若， 则内必存在直线平行于m，设为l，则，则，故C正确； 选项D，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故D错误. 4．B 【分析】求出新数据的平均数，即可判断A；求出新数据的方差即可判断B；求出两组数据的极差，即可判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，设新数据的平均数为， 则，故A错误； 对于B，设新数据的方差为，原数据的方差为， 则 ，故B正确； 对于C，假设原数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为； 则新数据中最大的数为，最小的数为， 则新数据的极差为，即极差不变，故C错误； 对于D，假设原数据为1，2，3，则平均数为2，中位数为2； 则新数据为3，4，5，中位数为4， 所以两组数据的中位数不等，故D错误. 5．D 【分析】根据饼状图的信息可对各个选项进行分析运算即可判断，从而得出结论. 【详解】对于A，由题中饼状图可知，居民在“教育文化娱乐”上的人均消费支出的占比为： ，故A正确； 对于B，居民在“其他用品及服务”上的人均消费支出为286元，占比2.5%， 所以居民人均消费支出为 （元），故B正确； 对于C，居民在“居住”“生活用品及服务”“医疗保健”上的人均消费支出之和占比为 ， 在“食品烟酒”上的人均消费支出占比为30.8%， ，故C正确； 对于D，居民在“衣着”上的人均消费支出的占比为6.5%，在“交通通信”上的人均消费支出的占比为12.7%， ，故D错误. 故选：D. 6．C 【分析】分别计算、时事件、、的概率，结合事件独立、互斥的定义逐一判断选项。 【详解】选项A，，，错误. 选项B，，所以，两者不独立，错误. 选项C，，，，相互独立，正确. 选项D，因为，所以不互斥，错误. 7．B 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线及轴截面等腰三角形底角正弦，再利用圆锥及其外接球的关系，结合正弦定理求解. 【详解】由圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，得该圆锥母线长为， 令该圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，， 由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，得该圆锥轴截面等腰三角形外接圆为球的大圆， 由正弦定理，球的半径等于. 8．B 【分析】设为的中点，利用极化恒等式转化向量数量积，先求出定点对应的最小值，再对正方形边上的动点求全局最小值. 【详解】设为的中点，由极化恒等式：， 在圆上，由弦长公式：， 代入得：， 设（取正方形左边，），，展开： = 当时，上式取得最小值：， 所以 ，当时，. 9．BCD 【分析】由中位数的定义可判断A；由方差的性质可判断B；由互斥事件概率加法运算可判断C；根据互斥事件和对立事件的定义可判断D. 【详解】对于A，数据1，2，3，4，5，6的中位数是，故A错误； 对于B，数据，，，的方差是1，则，，…，的方差是：，故B正确； 对于C，若事件与互斥，且，，则，故C正确； 对于D，事件互斥，则是不可能事件，则是必然事件，故D正确. 10．ABC 【分析】利用余弦定理得出，A，C中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由C是直角求得B，进而判断D. 【详解】对A，由余弦定理得， 又，所以，即，所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形，若，又，则，不是，D错误. 11．ACD 【分析】由两两垂直的条件，先推导线面垂直，解决A选项异面直线垂直问题；固定体积不变，用等体积法列式求点面距，判断B选项；取等腰三角形底边中点构造棱的两条垂线，找到二面角平面角，解直角三角形求正弦值，判断C选项；利补体法，由体对角线求外接球半径，判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 又，，所以平面， 由平面知，故异面直线与所成的角为，故A正确； 对于B选项，显然三棱锥的体积， 而，，记M为中点，连接，由等腰三角形得， 由勾股定理得， 故的面积， 可知点A到平面的距离，故B错误； 对于C选项，连接，，由，，平面， 平面知为二面角的平面角，而， 可得，故C正确； 对于D选项，由两两垂直，可将三棱锥补成长方体， 其长宽高分别为，三棱锥外接球与长方体外接球相同， 外接球直径等于长方体体对角线：，，故D正确． 12． 【详解】对样本数据排序，，样本数据共个， ， 所以第60百分位数为第六个数，即. 13． 【分析】正三棱柱内最大球的半径由底面正三角形内切圆半径和棱柱高的一半中的较小值决定，代入球的表面积公式计算即可. 【详解】正三棱柱内体积最大的球，需同时满足两个限制： 球与上下底面相切、球与三个侧面都相切，球的直径取两个方向限制的较小值； 底面正三角形边长，正三角形内切圆半径公式为：， 则， 即底面内切圆直径为 2，这是侧面方向允许的最大球直径； 棱柱的高为，对应上下底面方向允许的最大球直径为， 取两个限制的较小值，因此球的最大直径为，半径， 球的表面积公式. 14． 【详解】设铁塔的高度为米. 由题意可得，，地面，则，. ，，，. ，，即，解得； ，，即铁塔的高度为米. 15．(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）由平面向量的线性运算进行求解； （2）由平面向量的共线定理进行证明． 【详解】（1）在中，因为，，所以， ， ； （2）因为， ， 所以，所以与共线，且有公共点， 所以，，三点共线． 16．(1)；平均数为 (2) 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求出，再根据频率分布直方图中平均数的定义计算平均数； （2）根据频率分布直方图确定与上各抽取的人数，然后求出从中任取2人和2人中至少有1名成绩在上的方法数，再由古典概型概率公式计算概率即可． 【详解】（1）由题意，， 平均数为； （2）与两个区间的频率之比为， 因此抽取的12人中，区间上有10人，区间上有2人， 任取2人的方法数为，其中至少有1人竞赛成绩在内的方法数是， 所以概率为． 17．(1) 连交于，连接， ，， ，， 又面，面， 面； (2) 【分析】（1）连接辅助线、，利用相似三角形得到线段比例相等可得，再由线面平行判定定理推出平面； （2）利用面面垂直性质作垂线，确定线面角为，再通过直角三角形边长计算该角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）过点作于，连接， ∵面面，，且面面， 面，所以是在面内的射影， 即为直线与平面所成的角， 由题可得，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值是． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，化简求出后可得角A； （2）结合已知条件和三角形面积公式求出，再用余弦定理求，进而得周长. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， 即， 因为， 所以，则，即， 因为，所以. （2）因为，， 所以， 所以. 由余弦定理可得， . 故的周长为 19．(1) （i）因为底面是菱形，所以 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， （ii）取中点，连接，， 因为是正三角形，所以， 因为底面是菱形，， 所以， 又平面，所以平面， 因平面，则； (2) 【分析】（1）（ⅰ）先应用线面平行判定定理证明线面平行平面，再应用线面平行性质定理证明线线平行；（ⅱ）先应用线面垂直判定定理得出平面，进而得出线线垂直； （2）先应用面面垂直性质定理得出平面，再应用二面角定义得出是二面角的平面角，最后结合边长计算求解. 【详解】（1）（i）略；（ii）略 （2）因为且直线与平面所成角的大小也为， 由最小角定理得，平面与底面互相垂直． 又，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 由（1）（2）知，，，， 所以是二面角的平面角， 又，， 所以，即二面角的正弦值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $