安徽省2026年高一数学下学期期末自建模拟卷04

**基本信息** 安徽省2026年高一数学期末模拟卷，聚焦人教A版必修二内容，通过黄鹤楼高度测量、AI工具满意度调查等情境，融合向量、概率、立体几何等知识，突出文化传承与现实应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量夹角、概率独立事件、斜二测画法|第3题结合互斥与独立事件辨析，考查逻辑推理| |填空题|3题15分|平行四边形向量最值、四面体外接球表面积|第13题通过四面体棱长求外接球表面积，综合空间想象| |解答题|5题77分|复数运算、频率分布直方图、四棱锥证明与线面角|第19题四棱锥中面面垂直证明及线面角计算，体现空间几何综合能力；第6题以黄鹤楼为背景考查解三角形，渗透文化元素|

安徽省2026年高一数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】由题意， 则. 2．已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模的坐标表示，向量数量积公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又，， 即， 因为，所以. 3．已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【答案】C 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由独立，得，B正确； 对于C，由独立，得，C错误； 对于D，由互斥，得，D正确. 4．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系，再计算边长即可. 【详解】由题意可得还原后如下： 中，， 所以， 所以， ，，， 则. 5．某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 【答案】B 【详解】由于两类从业者总人数均为10万，权重均为，分别为两组的样本平均， 两类职业满意度的总体均值的估计值， 又为两组的样本方差，代入数值计算：， 因此总体方差的估计值. 6．中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 【答案】C 【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【详解】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，m. 故选：C. 7．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，. . ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 8．在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则b的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用射影定理并结合题意得到，再结合余弦定理和基本不等式求解即可. 【详解】由射影定理得，且， 可得，又，得到， 又，则， 解得，由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，所以b的最小值为2，故A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在一次比赛中，10位评委给某选手的评分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的有（ ） A．用简单随机抽样的方法从10个评分中随机去掉2个，则每个评分被去掉的概率是 B．这10个评分的第60百分位数为90 C．这10个评分的平均数小于中位数 D．去掉一个最低分和一个最高分后，评分的平均数会变大，方差会变小 【答案】ACD 【分析】对于A，根据古典概型的概率公式计算判断，对于B，根据百分位数的定义计算判断，对于C，计算出平均数和中位数进行判断，对于D，通过计算平均数和方差进行判断即可． 【详解】从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是，故A正确； ，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数， 即，所以B错误； 对于C选项：这10个数的平均数为． 因为，所以中位数是第5个数90与第6个数90的平均数90，所以C正确； 对于D选项： 10个数的方差为 ． 去掉70和100后，平均数为， 方差为， ，，所以D正确． 10．设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．复数的共轭复数的模 B．若复数是纯虚数，则得或 C．若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于x的方程的一个根，则 【答案】ACD 【分析】利用复数的基本概念、运算、几何意义及实系数一元二次方程的虚根性质，结合对应知识点逐一判断选项即可. 【详解】选项A：，故，A正确， 选项B：纯虚数要求实部为且虚部不为，令实部，解得或， 当时虚部，复数为实数，不符合要求，仅成立，B错误； 选项C：向量，对应的复数为，C正确； 选项D：实系数一元二次方程的虚根共轭成对，另一根为， 由韦达定理，两根和得，两根积， 故，D正确. 11．如图，矩形中，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置，点在平面内的射影在线段上，则（    ） A．存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．的取值范围为 D．与平面所成角最大为 【答案】BCD 【分析】假设存在，使得∥平面，由线面平行的性质定理可得∥，所以四边形是平行四边形，所以，由平面推得的取值范围，且，从而判断A，C； 取的中点，证得平面时，存在平面，满足题意，判断B；设，，求得与平面所成角的正弦值的取值范围，从而得到的最大值，判断D. 【详解】对于A，C， 假设存在，使得∥平面， 因为平面，平面平面， 所以∥. 又∥，所以四边形是平行四边形，所以. 由题意知，平面. ， ，即，所以的取值范围为. 所以，所以假设不成立，故A不正确，C正确. 对于B，若为的中点，则， ， 当时，， 此时，所以. 又平面， 所以平面. 作于点，则， 所以， 所以， 所以. 又平面， 所以平面，满足题意. 所以B正确. 对于D，设，则. 设，则，. 因为平面，平面， 所以，所以， 即， 化简得，. 所以与平面所成角为,. 因为，所以的最大值为， 即与平面所成角最大为. 故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在平行四边形中，是边上的动点，则的最大值是__． 【答案】28 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，，结合平面向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】设， 则，， 所以 ，函数开口向上，对称轴为， 又，则时，取得最大值28．    13．在四面体中，，，且，，，，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】把四棱锥补成一个直三棱柱，进而可求外接球的半径. 【详解】如图，过点作且，连接， 过点作且，连接，得到三棱柱． 因为，，所以三棱柱为直三棱柱． 由，得，则， 从而，则三棱柱外接球的半径， 表面积，即该四面体的外接球的表面积为． 故答案为：． 14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理，得出关于角的三角等式，进而可求得的值即可；根据为锐角三角形求得角的取值范围，结合三角形的面积以及正弦函数的性质求面积取值范围. 【详解】已知，根据正弦定理，. 因为，且，化简得. 因为是锐角三角形，所以. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，故，解得. 由正弦定理，所以，. 因此面积. 由，得，故， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，（是虚数单位）． (1)求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据虚数单位的性质结合复数的除法运算求得，再利用共轭复数的定义求解； （2）根据复数的乘法运算化简，再利用复数的几何意义列式求解； （3）先化简，再根据复数模的公式结合二次函数求最值. 【详解】（1）因为，，，， 所以. 所以. （2）， 则复数在复平面内对应点的坐标为. 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得. 即实数的取值范围是. （3）由（1）得，则. 由复数模的公式，得. 所以当时，取得最小值， 即，所以的最小值为. 16．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 【答案】(1) (2)平均数为，众数为，中位数为 (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征计算参数即可； （2）根据平均数，众数，中位数的求解方式求解即可； （3）先计算，，的比例，再根据分层抽样计算人数即可． 【详解】（1）由题可知， 解得； （2）平均数， 众数为， 根据题意，中位数在，设中位数为 ， 解得：， 则中位数为； （3）竞赛成绩在，，内的比人数例为， 故内被抽取的人数为（人）． 17．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 18．已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求的周长； (2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值； (3)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简并由求出，应用正弦定理求得，再应用余弦定理列方程求，结合确定其值，即可得； （2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不等式求得的最小值； （3）由正弦定理得外接圆半径，将周长表示为的三角函数，结合锐角三角形条件，可求得周长范围. 【详解】（1）， 由 ， 由，因此， 其中，则，故， 由，可得， 由，则，可得， 所以或，又，则，即， 综上，，故三角形的周长为； （2）由已知，又的面积为，则，解得， 又，则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． （3）由正弦定理可知：， 因此有 ， 由于，故，则， 可得，因此. 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，进而利用线面平行判定定理证明； （2）利用等腰三角形性质证明，结合线面垂直性质证明，从而证得平面，进而利用面面垂直判定定理证明； （3）取中点，确定直线与平面所成角为，通过解直角三角形计算正弦值. 【详解】（1） 连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为， 所以为等腰三角形，故． 所以，即． 因为平面，平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （3）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省2026年高一数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 2．已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 4．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 5．某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 6．中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 7．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 8．在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则b的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在一次比赛中，10位评委给某选手的评分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的有（ ） A．用简单随机抽样的方法从10个评分中随机去掉2个，则每个评分被去掉的概率是 B．这10个评分的第60百分位数为90 C．这10个评分的平均数小于中位数 D．去掉一个最低分和一个最高分后，评分的平均数会变大，方差会变小 10．设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．复数的共轭复数的模 B．若复数是纯虚数，则得或 C．若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于x的方程的一个根，则 11．如图，矩形中，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置，点在平面内的射影在线段上，则（    ） A．存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．的取值范围为 D．与平面所成角最大为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在平行四边形中，是边上的动点，则的最大值是__． 13．在四面体中，，，且，，，，则该四面体的外接球的表面积为______． 14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，（是虚数单位）． (1)求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)求的最小值. 16．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 17．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 18．已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求的周长； (2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值； (3)若，求锐角周长的取值范围. 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $