5.3　二次函数的应用 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的确定，通过推铅球高度与水平距离的实际问题导入，衔接二次函数顶点式知识，以“一设二代三求四还原”步骤为支架，逐步过渡到已知两点求一般式，构建从特殊到一般的学习脉络。 其特色在于以现实情境培养数学眼光，通过规范解题步骤发展数学思维，用顶点式与一般式建模体现数学语言。如例1用顶点式求表达式，例2借两点坐标列方程组求解，分层训练提升应用能力。助力学生建立知识联系，教师可高效实施教学。

第五章　二次函数 3　二次函数的应用 第3课时　二次函数的应用——销售问题 　 1 服装厂生产某种衬衫，成本为10元/件，根据市场调查，以单价13元批发给经 销商，经销商愿意销售5 000件；单价降价0.1元，愿意多销售500件.厂家批 发的单价为多少时利润最大？ 　 　 销售问题常用等量关系： 利润＝收入－成本；利润＝单件利润×① ⁠； 利润＝（售价－进价）×② ⁠. 销量 销量 　 【例1】（2025秋•深圳期末）某公司生产一种成本价为200元/台的无人机， 经调查发现该无人机每月的销售量w（台）与销售单价x（元）满足w＝ －5x＋3 000，设销售该无人机每月的利润为y（元）. （1）求y与x之间的函数表达式； 解：由题意得y＝w（x－200）， ＝（x－200）（－5x＋3 000） ＝－5x2＋4 000x－600 000， ∵销售量w≥0，即－5x＋3 000≥0， ∴x≤600. ∵每台利润x－200＞0， ∴x＞200. ∴200＜x≤600. ∴y＝－5x2＋4 000x＋600 000（200＜x≤600）. 　 （2）当销售单价定为多少元时，每月的利润最大，最大利润是多少？ 解：∵y＝－5x2＋4 000x－600 000 ＝－5（x－400）2＋200 000， ∴当x＝400时，y最大＝200 000. 答：当销售单价定为400元/台时，每月的利润最大，最大利润是200 000元. 【例1】（2025秋•深圳期末）某公司生产一种成本价为200元/台的无人机， 经调查发现该无人机每月的销售量w（台）与销售单价x（元）满足w＝ －5x＋3 000，设销售该无人机每月的利润为y（元）. 　 （2025秋•深圳校级月考）已知某种商品每件的进价为30元，在 某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件.每件定价为多少元时 利润最大？ 解：设利润为y元， ∴y＝（x－30）（100－x） ＝－x2＋130x－3 000 ＝－（x－65）2＋1 225， ∵－1＜0， ∴y有最大值. ∴当x＝65时，y的最大值为1 225. 答：每件定价为65元时利润最大. 　 【例2】（2025秋•南山区校级期末）某商城在2026年元旦节期间举行促销活 动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元.市场调研表明：当 每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平 均每天就能多售出10个.在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城 要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 解：设降价y元，则每个盈利（20－y－14）元，每天可售出（40＋10y） 个，每天的总利润为w元， w＝（20－y－14）（10y＋40） ＝－10y2＋20y＋240 ＝－10（y－1）2＋250， ∴当y＝1时，利润最大，为250元， 答：商品降价1元，最大利润是250元. 　 （根据教材第144页尝试•思考改编）某果园有100棵橙子树，每 一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种 树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计， 每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. （1）如果果园既要让橙子的总产量达到60 375个，又要确保每一棵橙子树接 受到的阳光照射尽量少受影响，那么应该多种多少棵橙子树？ 解：设应该多种x棵橙子树，依题意有 （100＋x）（600－5x）＝60 375， 解得x1＝5，x2＝15（不合题意舍去）. 答：应该多种5棵橙子树. 　 （2）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？ 解：设果园橙子的总产量为y个，根据题意，得 y＝（100＋x）（600－5x）＝－5（x－10）2＋60 500. ∴当x＝10时，y有最大值，为60 500. 答：增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多.最多为60 500个. 　 【例3】（2025•坪山区模拟）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式， 某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗.已知板栗的成本价为6元/kg，每 日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是 有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg.设公司销 售板栗的日获利为w（元）. x（元/kg） 10 11 12 y（kg） 4 000 3 900 3 800 （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数表达式为 ⁠ ；（不用写自变量的取值范围） y＝－100x＋ 5 000 　 解析：设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）. 把x＝10，y＝4 000和x＝11，y＝3 900代入，得 解得 ∴y＝－100x＋5 000. 故答案为y＝－100x＋5 000. 　 （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为 多少元？ 解：由题意得w＝（x－6）（－100x＋5 000）＝－100x2＋5 600x－30 000 ＝－100（x－28）2＋48 400， ∴a＝－100＜0，对称轴为直线x＝28. ∵6≤x≤30， ∴当x＝28时，w有最大值为48 400元， ∴当销售单价定为28元/kg时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为 48 400元. x（元/kg） 10 11 12 y（kg） 4 000 3 900 3 800 　 （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42 000元？ 解：当w＝42 000元时，有42 000＝－100（x－28）2＋48 400， 解得x1＝20或x2＝36， ∵a＝－100＜0， ∴当20≤x≤36时，w≥42 000. 又∵6≤x≤32， ∴当20≤x≤32时，日获利w不低于42 000元. x（元/kg） 10 11 12 y（kg） 4 000 3 900 3 800 　 （根据教材第161页第24题改编）某种蔬菜的销售单价与销售月 份之间的关系如图1所示，成本与销售月份之间的关系如图2所示（图1的图 象是线段，图2的图象是抛物线），哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最 大？（收益＝售价－成本） 　 解：设题图1的函数表达式为y1＝kx＋b， 将（3，5）和（6，3）代入，得 解得 ∴y1＝－ x＋7. 设题图2的函数表达式为y2＝a（x－6）2＋1， 把（3，4）代入，得4＝a（3－6）2＋1，解得a＝ . ∴y2＝ （x－6）2＋1，即y2＝ x2－4x＋13. ∴每千克收益W＝y1－y2 ＝－ x＋7－（ x2－4x＋13） ＝－ （x－5）2＋ ， ∵a＝－ ＜0， ∴当x＝5时，W最大值＝ . 故5月出售这种蔬菜每千克收益最大. 　 1. （2025•福田区校级三模）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式， 某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物 销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）.经调查发现每件售价99元 时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件. 已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电 子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数表 达式为（　C　）. C A. w＝（99－x）［200＋2（x－50）］ B. w＝（x－99）［200＋2（x－50）］ C. w＝（x－50）［200＋2（99－x）］ D. w＝（x－50）［200－2（99－x）］ 　 2. （根据教材第147页习题5.3第6题改编）某旅行社组团去外地旅游，30人起 组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每 增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是 人时，这 个旅行社可以获得最大的营业额. 55 　 3. （2025秋•福田区校级月考）在九年级学生即将毕业之际.某商店购进了一 批成本为4元/本的毕业纪念册，当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售 出40本，为了扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果 每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本.商家要想获得最 大收益，每本纪念册应该降价多少元？最大收益是多少元？ 解：设每本纪念册应降价z元，商家获得收益最大为W元， W＝（10－4－z）（40＋20z）＝－20z2＋80z＋240＝－20（z－2）2＋320. 当z＝2时，商家获得收益最大，最大收益是320元. 　 4. （2025•宝安区校级开学）某公司推出一款消毒产品，成本价为8元/千克， 经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（单 价不高于22元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价 的几组对应值如表： 销售单价x（元/千克） 10 15 18 20 日销售量y（千克） 240 190 160 140 （1）求y关于x的函数表达式； 解：设y＝kx＋b（k≠0），将（10，240）和（15，190）代入可得 解得 ∴y关于x的函数表达式为y＝－10x＋340. 　 （2）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，那么 当销售单价为多少元/千克时，每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 解：设每天获得的利润为W元， 则W＝（x－8）（－10x＋340）－100 ＝－10x2＋420x－2 820 ＝－10（x－21）2＋1 590， ∴当x＝21时，W有最大值，此时W＝1 590， ∴当销售单价为21元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润为1 590元. 销售单价x（元/千克） 10 15 18 20 日销售量y（千克） 240 190 160 140 　 5. （教材第147页习题5.3第8题）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经 常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的 数作为最佳近似值.例如，在测量了5个大麦穗长之后，得到的数据（单位： cm）是6.5，5.9，6.0，6.7，4.5，那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取 使函数y＝（x－6.5）2＋（x－5.9）2＋（x－6.0）2＋（x－6.7）2＋（x －4.5）2为最小值的x值.整理上式，并求出大麦穗长的最佳近似长度. 　 解：y＝（x－6.5）2＋（x－5.9）2＋（x－6.0）2＋（x－6.7）2＋（x－ 4.5）2 ＝x2－13x＋6.52＋x2－11.8x＋5.92＋x2－12x＋62＋x2－13.4x＋6.72＋x2 －9x＋4.52 ＝5x2－59.2x＋178.2 ＝5（x－5.92）2＋2.968， ∴当x＝5.92时，y有最小值， ∴大麦穗长的最佳近似长度为5.92 cm. 　 参考答案 【新课导学】 ①销量　②销量 【例1】　解：（1）由题意得y＝w（x－200）， ＝（x－200）（－5x＋3 000） ＝－5x2＋4 000x－600 000， ∵销售量w≥0，即－5x＋3 000≥0，∴x≤600. ∵每台利润x－200＞0，∴x＞200. ∴200＜x≤600.∴y＝－5x2＋4 000x＋600 000（200＜x≤600）. 　 （2）∵y＝－5x2＋4 000x－600 000 ＝－5（x－400）2＋200 000， ∴当x＝400时，y最大＝200 000. 答：当销售单价定为400元/台时，每月的利润最大，最大利润是200 000元. 　 变式训练1　解：设利润为y元， ∴y＝（x－30）（100－x） ＝－x2＋130x－3 000 ＝－（x－65）2＋1 225， ∵－1＜0， ∴y有最大值. ∴当x＝65时，y的最大值为1 225. 答：每件定价为65元时利润最大. 　 【例2】　解：设降价y元，则每个盈利（20－y－14）元，每天可售出（40 ＋10y）个，每天的总利润为w元， w＝（20－y－14）（10y＋40） ＝－10y2＋20y＋240 ＝－10（y－1）2＋250， ∴当y＝1时，利润最大，为250元， 答：商品降价1元，最大利润是250元. 　 变式训练2　解：（1）设应该多种x棵橙子树，依题意有 （100＋x）（600－5x）＝60 375， 解得x1＝5，x2＝15（不合题意舍去）. 答：应该多种5棵橙子树. （2）设果园橙子的总产量为y个，根据题意，得 y＝（100＋x）（600－5x）＝－5（x－10）2＋60 500. ∴当x＝10时，y有最大值，为60 500. 答：增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多.最多为60 500个. 　 【例3】　解：（1）y＝－100x＋5 000　解析：设y与x之间的函数表达式 为y＝kx＋b（k≠0）. 把x＝10，y＝4 000和x＝11，y＝3 900代入，得 解得 ∴y＝－100x＋5 000. 故答案为y＝－100x＋5 000. 　 （2）由题意得w＝（x－6）（－100x＋5 000）＝－100x2＋5 600x－30 000 ＝－100（x－28）2＋48 400， ∴a＝－100＜0，对称轴为直线x＝28. ∵6≤x≤30，∴当x＝28时，w有最大值为48 400元， ∴当销售单价定为28元/kg时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48 400元. （3）当w＝42 000元时，有42 000＝－100（x－28）2＋48 400， 解得x1＝20或x2＝36， ∵a＝－100＜0，∴当20≤x≤36时，w≥42 000. 又∵6≤x≤32，∴当20≤x≤32时，日获利w不低于42 000元. 　 变式训练3　解：设题图1的函数表达式为y1＝kx＋b， 将（3，5）和（6，3）代入，得 解得 ∴y1＝－ x＋7. 设题图2的函数表达式为y2＝a（x－6）2＋1， 把（3，4）代入，得4＝a（3－6）2＋1，解得a＝ . ∴y2＝ （x－6）2＋1，即y2＝ x2－4x＋13. 　 ∴每千克收益W＝y1－y2 ＝－ x＋7－（ x2－4x＋13） ＝－ （x－5）2＋ ， ∵a＝－ ＜0， ∴当x＝5时，W最大值＝ . 故5月出售这种蔬菜每千克收益最大. 　 【随堂小测】 1. C　2.55 3. 解：设每本纪念册应降价z元，商家获得收益最大为W元， W＝（10－4－z）（40＋20z）＝－20z2＋80z＋240＝－20（z－2）2＋320. 当z＝2时，商家获得收益最大，最大收益是320元. 　 4. 解：（1）设y＝kx＋b（k≠0），将（10，240）和（15，190）代入可 得 解得 ∴y关于x的函数表达式为y＝－10x＋340. （2）设每天获得的利润为W元， 则W＝（x－8）（－10x＋340）－100 ＝－10x2＋420x－2 820 ＝－10（x－21）2＋1 590， ∴当x＝21时，W有最大值，此时W＝1 590， ∴当销售单价为21元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润为1 590元. 　 5. 解：y＝（x－6.5）2＋（x－5.9）2＋（x－6.0）2＋（x－6.7）2＋（x －4.5）2 ＝x2－13x＋6.52＋x2－11.8x＋5.92＋x2－12x＋62＋x2－13.4x＋6.72＋x2 －9x＋4.52 ＝5x2－59.2x＋178.2 ＝5（x－5.92）2＋2.968， ∴当x＝5.92时，y有最小值， ∴大麦穗长的最佳近似长度为5.92 cm. 　 $第五章　二次函数 3　二次函数的应用 第1课时　确定二次函数的表达式 　 1 一名学生推铅球时，铅球向上运动的高度y（m）是向前运动的水平距离 x（m）的二次函数，它们之间的关系如图所示，其中（4，3）为图象的顶 点，你能求出这个二次函数的表达式吗？ 　 　利用顶点坐标求二次函数的表达式 利用待定系数法求表达式：一设、二代、三求、四还原. （1）设二次函数的表达式：顶点式为 ⁠； （2）根据图象或已知条件列方程； （3）解方程（或方程组），求出待定系数； （4）写出二次函数的表达式. y＝a（x－h）2＋k 　 【例1】已知抛物线的顶点C（4，－2），且过点（2，6）. （1）试确定此抛物线的表达式； 解：根据条件可设抛物线的表达式为y＝a（x－4）2－2，把（2，6）代入 得6＝a（2－4）2－2，解得a＝2， ∴抛物线的表达式为y＝2（x－4）2－2. （2）请你判断点P（－2，3）是否在这个二次函数的图象上. 解：当x＝－2时，y＝2（x－4）2－2＝2×（－2－4）2－2＝70， ∴点P（－2，3）不在这个二次函数的图象上. 　 （教材第142页随堂练习第1题）已知二次函数图象的顶点坐标为 （－1，1），且经过点（1，－3），求这个二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）2＋1， 把（1，－3）代入，得－3＝a（1＋1）2＋1，解得a＝－1， 所以二次函数的表达式为y＝－（x＋1）2＋1. 　 　利用两个点的坐标求二次函数的表达式 若只有两个未知系数，代入两个点的坐标求解即可. 【例2】（根据教材第142页随堂练习第2题改编）已知二次函数y＝ax2＋bx －3的图象经过点（1，0），（2，1）. （1）求该二次函数的表达式. 解：∵二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点（1，0），（2，1）， ∴ 解得 ∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－3. 　 （2）请判断点M（4，－3）是否在该二次函数的图象上，并说明理由. 解：当x＝4时，y＝－42＋4×4－3＝－16＋16－3＝－3， ∴点M（4，－3）在该二次函数的图象上. 　 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（0，－7）， B（1，－2）.求这个二次函数的表达式. 解：将点A（0，－7），B（1，－2）的坐标代入二次函数表达式y＝x2＋ bx＋c，得 解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝x2＋4x－7. 　 1. （2025秋•龙华区校级月考）一条抛物线的顶点坐标为（2，1），且开口 向下，则该二次函数的表达式可以为 ⁠. 2. 若一条抛物线的形状和开口方向与y＝－2x2＋2相同，且顶点坐标是（4， 2），则它的表达式是 ⁠. y＝－3（x－2）2＋1（答案不唯一） y＝－2（x－4）2＋2 3. 已知二次函数y＝（x－2）2＋m的图象经过A（1，0），则此二次函数 的表达式为 ⁠. 4. 已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点（－2，8）和（－1，5），则这 个二次函数的表达式为 ⁠. y＝（x－2）2－1 y＝－x2－6x 　 5. 如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（－1，－4）. （1）求这个二次函数的表达式； 解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）2－4. 将（1，0）代入y＝a（x＋1）2－4，得a×（1＋1）2－4＝0， 解得a＝1， ∴y＝（x＋1）2－4. 　 5. 如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（－1，－4）. （2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ⁠. －4≤y＜12 解析：当x＝－5时，y＝12， ∵抛物线的顶点坐标为（－1，－4）， ∴y的最小值为－4， ∴当－5＜x＜0时，y的取值范围为－4≤y＜12. 故答案为－4≤y＜12. 　 6. 已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c的图象经过A（0，4）和B（1，－2）. （1）求该抛物线的表达式； 解：把A（0，4）和B（1，－2）的坐标代入y＝－2x2＋bx＋c， 得 解得 所以该抛物线的表达式为y＝－2x2－4x＋4. （2）求该抛物线的顶点坐标. 解：因为y＝－2x2－4x＋4＝－2（x2＋2x）＋4＝－2［（x＋1）2－1］＋4 ＝－2（x＋1）2＋6， 所以该抛物线的顶点坐标为（－1，6）. 　 7. 抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0），B（0，3）. （1）求这条抛物线的表达式； 解：把A（－1，0），B（0，3）的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 　 （2）如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP，BP，当AP＋BP最小 时，求点P的坐标. 解：设抛物线与x轴的另一个交点为C， ∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. 当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴C（3，0）. 　 如图，连接BC交直线x＝1于点P， ∵PA＝PC， ∴PA＋PB＝PB＋PC＝BC， ∴此时PA＋PB最小. 设直线BC的表达式为y＝mx＋n， 把C（3，0），B（0，3）的坐标分别代入， 得 解得 ∴直线BC的表达式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝－x＋3＝－1＋3＝2， ∴点P的坐标为（1，2）. 　 参考答案 【新课导学】 y＝a（x－h）2＋k 【例1】　解：（1）根据条件可设抛物线的表达式为y＝a（x－4）2－2， 把（2，6）代入得6＝a（2－4）2－2，解得a＝2， ∴抛物线的表达式为y＝2（x－4）2－2. （2）当x＝－2时，y＝2（x－4）2－2＝2×（－2－4）2－2＝70， ∴点P（－2，3）不在这个二次函数的图象上. 变式训练1　解：设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）2＋1， 把（1，－3）代入，得－3＝a（1＋1）2＋1，解得a＝－1， 所以二次函数的表达式为y＝－（x＋1）2＋1. 　 【例2】　解：（1）∵二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点（1，0）， （2，1）， ∴ 解得 ∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－3. （2）当x＝4时，y＝－42＋4×4－3＝－16＋16－3＝－3， ∴点M（4，－3）在该二次函数的图象上. 变式训练2　解：将点A（0，－7），B（1，－2）的坐标代入二次函数表达 式y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝x2＋4x－7. 　 【随堂小测】 1. y＝－3（x－2）2＋1（答案不唯一）　2.y＝－2（x－4）2＋2 3. y＝（x－2）2－1 4.y＝－x2－6x 5. 解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）2－4. 将（1，0）代入y＝a（x＋1）2－4，得a×（1＋1）2－4＝0， 解得a＝1，∴y＝（x＋1）2－4. （2）－4≤y＜12　解析：当x＝－5时，y＝12， ∵抛物线的顶点坐标为（－1，－4），∴y的最小值为－4， ∴当－5＜x＜0时，y的取值范围为－4≤y＜12. 故答案为－4≤y＜12. 　 6. 解：（1）把A（0，4）和B（1，－2）的坐标代入y＝－2x2＋bx＋c， 得 解得 所以该抛物线的表达式为y＝－2x2－4x＋4. （2）因为y＝－2x2－4x＋4＝－2（x2＋2x）＋4＝－2［（x＋1）2－1］＋ 4＝－2（x＋1）2＋6， 所以该抛物线的顶点坐标为（－1，6）. 　 7. 解：（1）把A（－1，0），B（0，3）的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋ c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. （2）设抛物线与x轴的另一个交点为C， ∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. 当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴C（3，0）. 　 如图，连接BC交直线x＝1于点P， ∵PA＝PC，∴PA＋PB＝PB＋PC＝BC，∴此时PA＋PB最小. 设直线BC的表达式为y＝mx＋n， 把C（3，0），B（0，3）的坐标分别代入，得 解得 ∴直线BC的表达式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝－x＋3＝－1＋3＝2， ∴点P的坐标为（1，2）. 　 $第五章　二次函数 3　二次函数的应用 第2课时　二次函数的应用——最值问题 　 1 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两 条直角边上.如果设矩形的一边AB＝x m，矩形的面积为y m2，当x取什么 值时，y的值最大？最大值是多少？ 　 　图形面积最大问题 1. 求出函数表达式和自变量的取值范围； 2. 配方变形或利用公式求它的最大值或最小值； 3. 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范 围内. 　 【例1】（根据教材第142页材料改编）如图，OA＝4，OB＝8，在直角三角 形AOB内部作一个矩形ODCE，其中OD和OE分别在两条直角边上. （1）如果设矩形的一边OD＝x，那么矩形的面积S＝ （用 含x的式子表示）； －2x2＋8x 解析：∵AO⊥OB，CD⊥OA，∴CD∥OB， ∴ ＝ . ∵OA＝4，OB＝8，∴AD＝4－x， ∴ ＝ ，∴CD＝8－2x， ∴S＝－2x2＋8x. 　 （2）当x取何值时，矩形的面积S取最大值？最大值是多少？ 解：∵S＝－2x2＋8x＝－2（x2－4x）＝－2（x－2）2＋8， －2＜0，0＜x＜4， ∴当x＝2时，S有最大值8. 　 （3）若OA＝a，OB＝b（a＜b），求矩形的最大面积（用含a，b的式 子表示）. 解：设OD＝x，则由 ＝ ，得 ＝ ， ∴CD＝ （a－x）， 则S＝x• （a－x）＝－ x2＋bx. ∵－ ＜0， ∴当x＝ 时，S有最大值，最大值为S＝－ ×2＋b× ＝－ ＋ ＝ . 　 （根据教材第143页思考•交流改编）如图所示，直角三角形内部 有一矩形，求矩形的最大面积. 解：在Rt△POQ中，由勾股定理，得PQ＝50 m. 作OE⊥PQ于点E，交AB于点F，如图. ∵ ＝ ， ∴OE＝24 m. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥PQ， ∴△AOB∽△POQ， ∴ ＝ . 设EF为x m，则OF＝（24－x）m， 　 ∴ ＝ ， ∴AB＝ m， 设矩形的面积为y m2，由题意，得y＝x× ， ∴y＝－ （x－12）2＋300. ∵a＝－ ＜0， ∴当x＝12时，y最大＝300. 答：矩形的最大面积为300 m2. 　 　抛物线型问题 解决抛物线型问题的一般步骤： （1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；（2）把已知条件转化为点的坐 标；（3）合理设出函数表达式；（4）利用待定系数法求出函数表达式； （5）根据求得的表达式进一步分析、判断，并进行有关的计算. 　 【例2】（根据教材第146页习题5.3第3题改编）某高尔夫球手击出的高尔夫 球的运动路线是一条抛物线，当球水平运动了24 m时，达到最高点；落球点 比击球点低1 m，它们的水平距离为50 m. （1）建立适当的平面直角坐标系，求球的高度h（单位：m）关于水平距离 x（单位：m）的二次函数表达式； 解：建立平面直角坐标系如图所示. 设函数表达式为h＝ax2＋b，函数图象过（－24，1），（26，0）， 把点（－24，1），（26，0）的坐标代入h＝ax2＋b， 得 解得 所以函数表达式为h＝－0.01x2＋6.76. 　 （2）与击球点相比，球运动到最高点时有多高？ 解：当x＝0时，h＝6.76，因为击球点的高度为1 m， 所以与击球点相比，球运动到最高点时高度为5.76 m. 　 （教材第146页习题5.3第5题）如图，有一座抛物线形拱桥，在正 常水位时水面宽AB＝20 m，当水位上升3 m时，水面宽CD＝10 m. （1）按如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的表达式. 解：设抛物线的表达式为y＝ax2（a≠0），桥拱最高点O到水面CD的距离 为h m，则D（5，－h），B（10，－h－3）， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－ x2. 　 （2）有一条船以5 km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35 km时，桥 下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25 m，当水位达到CD处时，将 禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 解：由题意得船行驶到桥下的时间为35÷5＝7（h）， 水位上升的高度为0.25×7＝1.75（m）. 当h＝－4＋1.75＝－2.25（m）时， －2.25＝－ x2， ∴x＝±7.5，－7.5不符合题意，舍去， ∴2x＝15＞10. ∴水面宽是15 m，水位没有达到CD处，它能安全通过此桥. 　 1. （2025秋•深圳校级月考）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的 时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝－1.8t2＋72t.飞机着陆后滑行 秒才能停止. 20 　 2. 如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园 ABCD，则矩形ABCD的最大面积是 平方米. 32 　 3. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简 易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状， 身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最 低点与地面的距离为 m. 0.5 　 4. （根据教材第143页例2改编）某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是 半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度之和） 为15 m，材料的宽度及制造中的接口不计.当x等于 时，窗户的面 积最大（结果精确到0.01 m）.此时，窗户的面积是 （结果精确 到0.01 m2）. 1.11 m 5.53 m2 　 解析：设窗户的面积为S m2. ∵材料的总长为15 m， ∴3y＋6x＋πx＝15， ∴y＝ （15－6x－πx）， ∴S＝2x• （15－6x－πx）＋ πx2＝10x－（ ＋4）x2. ∵－（ ＋4）＜0， ∴S有最大值， 即当x＝－ ≈1.11时，y最大值＝5.53. 　 5. 如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米. （1）作图：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角 坐标系； 解：作图如图. 　 （2）在（1）的条件下进行下列探究： ①求抛物线的表达式； ②当水面下降多少米时，水面宽为8米？ 解：①由题意，设抛物线的表达式为y＝ax2， ∵AB＝6米，OC＝2米， ∴点B的坐标为（3，－2）. 将B（3，－2）的坐标代入y＝ax2，得－2＝a×32， ∴a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2. 　 解：②由题意，水面宽8米，则x＝4， ∴y＝－ ×42＝－ ， ∴拱顶离水面 米. ∵ －2＝ （米）， ∴水面下降 米. 　 6.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始 祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引 发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平 线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物 线y＝ax2＋x和直线y＝－ x＋b.其中，当火箭运行的水平距离为9 km时， 自动引发火箭的第二级. 　 （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km. ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km， 求这两个位置之间的距离. 　 解：①∵抛物线y＝ax2＋x经过点（9，3.6）， ∴81a＋9＝3.6，解得a＝－ . ∵y＝－ x＋b经过点（9，3.6）， ∴3.6＝－ ×9＋b，解得b＝8.1. 　 ②由①，得y＝－ x2＋x ＝－ （x2－15x＋ ）＋ ＝－ （x－ ）2＋ （0≤x≤9）. ∴火箭运行的最高点是 km， ∴ －1.35＝2.4（km）， ∴2.4＝－ x2＋x， 整理得x2－15x＋36＝0. 　 解得x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3. 由①得y＝－ x＋8.1， ∴2.4＝－ x＋8.1. 解得x＝11.4. ∴11.4－3＝8.4（km）. 答：这两个位置之间的距离为8.4 km. 　 （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 解：当x＝9时，y＝81a＋9. ∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a＋9）. 设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km， ∴y＝－ x＋b经过点（9，81a＋9），（15，0）， ∴ 解得 ∴－ ＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：（1）－2x2＋8x　解析：∵AO⊥OB，CD⊥OA， ∴CD∥OB，∴ ＝ . ∵OA＝4，OB＝8，∴AD＝4－x，∴ ＝ ，∴CD＝8－2x， ∴S＝－2x2＋8x. （2）∵S＝－2x2＋8x＝－2（x2－4x）＝－2（x－2）2＋8， －2＜0，0＜x＜4， ∴当x＝2时，S有最大值8. 　 （3）设OD＝x，则由 ＝ ，得 ＝ ， ∴CD＝ （a－x）， 则S＝x• （a－x）＝－ x2＋bx. ∵－ ＜0， ∴当x＝ 时，S有最大值，最大值为S＝－ ×2＋b× ＝－ ＋ ＝ . 　 变式训练1　解：在Rt△POQ中，由勾股定理，得PQ＝50 m. 作OE⊥PQ于点E，交AB于点F，如图. ∵ ＝ ，∴OE＝24 m. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥PQ， ∴△AOB∽△POQ，∴ ＝ . 设EF为x m，则OF＝（24－x）m， ∴ ＝ ，∴AB＝ m， 　 设矩形的面积为y m2，由题意，得y＝x× ， ∴y＝－ （x－12）2＋300. ∵a＝－ ＜0， ∴当x＝12时，y最大＝300. 答：矩形的最大面积为300 m2. 　 【例2】　解：（1）建立平面直角坐标系如图所示.设函数表达式为h＝ax2 ＋b，函数图象过（－24，1），（26，0）， 把点（－24，1），（26，0）的坐标代入h＝ax2＋b，得 解得 所以函数表达式为h＝－0.01x2＋6.76. （2）当x＝0时，h＝6.76，因为击球点的高度为1 m， 所以与击球点相比，球运动到最高点时高度为5.76 m. 　 变式训练2　解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2（a≠0），桥拱最高点O 到水面CD的距离为h m，则D（5，－h），B（10，－h－3）， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－ x2. （2）由题意得船行驶到桥下的时间为35÷5＝7（h）， 水位上升的高度为0.25×7＝1.75（m）. 当h＝－4＋1.75＝－2.25（m）时，－2.25＝－ x2， ∴x＝±7.5，－7.5不符合题意，舍去， ∴2x＝15＞10. ∴水面宽是15 m，水位没有达到CD处，它能安全通过此桥. 　 【随堂小测】 1.20　2.32　3.0.5 4. 1.11 m　5.53 m2　解析：设窗户的面积为S m2. ∵材料的总长为15 m，∴3y＋6x＋πx＝15， ∴y＝ （15－6x－πx）， ∴S＝2x• （15－6x－πx）＋ πx2＝10x－（ ＋4）x2. ∵－（ ＋4）＜0，∴S有最大值， 即当x＝－ ≈1.11时，y最大值＝5.53. 　 5. 解：（1）作图如图. （2）①由题意，设抛物线的表达式为y＝ax2， ∵AB＝6米，OC＝2米， ∴点B的坐标为（3，－2）. 将B（3，－2）的坐标代入y＝ax2，得－2＝a×32， ∴a＝－ ，∴抛物线的表达式为y＝－ x2. ②由题意，水面宽8米，则x＝4，∴y＝－ ×42＝－ ， ∴拱顶离水面 米. ∵ －2＝ （米），∴水面下降 米. 　 6. 解：（1）①∵抛物线y＝ax2＋x经过点（9，3.6）， ∴81a＋9＝3.6，解得a＝－ . ∵y＝－ x＋b经过点（9，3.6）， ∴3.6＝－ ×9＋b，解得b＝8.1. ②由①，得y＝－ x2＋x ＝－ （x2－15x＋ ）＋ ＝－ （x－ ）2＋ （0≤x≤9）. ∴火箭运行的最高点是 km， ∴ －1.35＝2.4（km）， ∴2.4＝－ x2＋x， 整理得x2－15x＋36＝0. 　 解得x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3. 由①得y＝－ x＋8.1， ∴2.4＝－ x＋8.1. 解得x＝11.4. ∴11.4－3＝8.4（km）. 答：这两个位置之间的距离为8.4 km. 　 （2）当x＝9时，y＝81a＋9. ∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a＋9）. 设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km， ∴y＝－ x＋b经过点（9，81a＋9），（15，0）， ∴ 解得 ∴－ ＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 　 $