综合与实践 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“猜想、证明与拓广”，涵盖矩形周长面积关系、三角形相似全等及四边形性质探究，通过“观察现象-提出猜想-尝试证明-结论推广”的流程，以正方形“加倍”问题等实例搭建学习支架，衔接特殊到一般的知识脉络。 其亮点在于以问题驱动培养数学思维，如矩形“减半”存在性讨论中，引导学生列方程、算判别式推理结论，体现推理意识与模型意识。采用动手实践（如折铁丝探究角平分线）和分层例题，助力学生发展抽象能力与创新意识，教师可直接使用案例提升教学效率，学生能在探究中深化知识理解。

综合与实践 2　池塘里有多少条鱼 　 1 想知道一个鱼缸里有几条鱼，只要数一数就可以了.想知道一个池塘里有多 少条鱼，就不能一条一条地数了，该怎么办呢？ 　 　　用频率估计概率 【例1】如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”.数 学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计 算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1 500 2 000 3 000 落在“心形线” 内部的次数 61 93 165 246 759 996 1 503 落在“心形线” 内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为 （　B　）. A. 0.46 B. 0.50 C. 0.55 D. 0.61 B 　 当前，二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚现 将二维码打印在面积为200 cm2的正方形纸上，如图，为了估计黑色阴影部分 的面积，他在纸内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳 定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　D　）. A. 0.4 cm2 B. 0.6 cm2 C. 180 cm2 D. 120 cm2 D 　 【例2】（2024秋•宝安区校级月考）在一个不透明的盒子中有20个大小相同 的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随 机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了 1 000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中黄色乒乓球的个数 是 . 8 　 在一个不透明的袋子里有红球、黄球共50个，这些球除颜色外其 余都相同，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.7左右，则袋 子中红球的个数可能是（　B　）. A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 B 　 1. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个， 某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它 放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ⁠； （2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率 是 ；（精确到0.1） 0.60 0.6 0.4 　 （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个. 因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，所以白球有20×0.6＝12 （个），黑球有20×0.4＝8（个）. 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 　 2. （2024秋•南山区校级期中）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合 格品. （1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检 测.请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率； 解：画树状图如图. 共有12种等可能的情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（两次抽到的都是合格品）＝ ＝ . 　 （2）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检 测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品 的频率稳定在0.95，求x的值. 解：∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95， ∴抽到合格品的概率等于0.95， ∴ ＝0.95，解得x＝16. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】 B 变式训练1 D 【例2】 8 变式训练2 B 【随堂小测】 1. 解：（1）0.60　（2）0.6　0.4 （3）因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，所以白球有 20×0.6＝12（个），黑球有20×0.4＝8（个）. 　 2. 解：（1）画树状图如图. 共有12种等可能的情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（两次抽到的都 是合格品）＝ ＝ . （2）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95， ∴抽到合格品的概率等于0.95， ∴ ＝0.95，解得x＝16. 　 $综合与实践 1　猜想、证明与拓广 　 1 数学中许多重要结论都始于一个大胆的猜想.今天，我们将体验数学家的工 作过程：先观察现象提出猜想，然后尝试证明，最后将结论推广到更一般的 情形. 　 　　猜想、拓展与拓广 面对特殊问题得到特殊结论，我们可以将其问题一般化，再探究这一结论是 否仍然存在，形成一个命题，再给予证明，然后再换一个角度或层面进一步 探讨，从而拓宽学生的知识范围. 　 【例1】（根据教材第179页猜想与证明改编）阅读理解： 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周 长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形.如图，矩形 A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形.请你解决下列问题： （1）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正 方形的边长；如果不存在，说明理由. 解：不存在.因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，面积比必 定是4，所以不存在. 　 （2）当矩形的长和宽分别为m，n时，它是否存在“加倍”矩形？请做出判 断，并说明理由. 解：存在.设“加倍”矩形的长和宽分别为x，y，则 x，y就是关于A的方程A2－2（m＋n）A＋2mn＝0的两个正根. ∵Δ＝［－2（m＋n）］2－8mn＝4（m2＋n2）， 此题中，m＞0，n＞0. ∴Δ＝4（m2＋n2）＞0. ∴方程有两个不相等的正实数根x和y，即存在一个矩形是已知矩形的“加 倍”矩形. 　 （根据教材第179页拓广与证明改编） 【学以致用】问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和 面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【讨论】小明说：一定存在. 小华说：一定不存在. 小红说：不一定存在. 　 【探究】老师和大家一起举例说明： （1）如果已知矩形的长和宽分别为7和1，那么它的周长和面积分别为16和 7，则所求矩形的周长和面积应分别为8和3.5.问题转化为：周长为8，面积 为3.5的矩形是否存在？我们假设所求矩形的长为x，固定它的周长为8，则 它的宽为 ，可列出方程 ，解得 ⁠ ，x2＝2－ 　，所以矩形的长为 　2＋ 　. 4－x x（4－x）＝3.5 x1＝2＋ ，x2＝2－ 2＋ 　 （2）如果矩形的长和宽分别为5和1，这时情况如何？ 如果矩形的长和宽分别为5和1，则矩形的周长为12，面积为5， ∴新矩形的周长为6，面积为2.5. 设新矩形的长为x，固定它的周长为6，则它的宽为 3－x，可列出方程 x（3 －x）＝2.5，Δ＜0，没有实数根， ∴不存在这样的矩形，故小红的说法正确. 　 【例2】【综合与实践】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边 AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧 构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE. 【特例感知】 （1）如图1，若CA＝CB，CD＝CE，BE与AD之间的位置关系 是 ，数量关系是 ⁠. AD⊥BE AD＝BE 　 【类比迁移】 （2）如图2，若 ＝ ＝k（k≠1），猜想BE与AD之间的位置关系和数 量关系，并证明猜想. 解：BE＝kAD，AD⊥BE. 证明如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB－∠BCD＝∠DCE－∠BCD，即∠ACD＝∠BCE. 又∵ ＝ ＝k（k≠1）， ∴△ACD∽△BCE， ∴ ＝ ＝k，∠CBE＝∠A， ∴BE＝kAD. 又∵∠A＋∠ABC＝90°， ∴∠CBE＋∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°，即AD⊥BE. 　 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF. 四边形 CDFE的对角线DE与CF交于点M，如图3.已知AC＝4，设AD＝x，四边 形CDFE的面积为y.求y与x之间的函数表达式，并求出y的最小值. 　 解：∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴AB＝ ＝4 . ∵AD＝x， ∴BD＝AB－AD＝4 －x. 由（1）易知△ACD≌△BCE（SAS），∠DBE＝90°， ∴AD＝BE＝x，CD＝CE， ∴DE2＝BD2＋BE2＝（4 －x）2＋x2. ∵点F与点C关于DE对称， ∴DE垂直平分CF， 　 ∴CE＝EF，CD＝DF. ∵CD＝CE， ∴CD＝DF＝EF＝CE. ∵∠DCE＝90°， ∴四边形CDFE是正方形， ∴y＝ DE2＝ ［（4 －x）2＋x2］＝x2－4 x＋16， ∴y与x的函数表达式为y＝x2－4 x＋16（0＜x≤4 ）. ∵y＝x2－4 x＋16＝（x－2 ）2＋8， ∴y的最小值为8. 　 综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】 用两段铁丝分别折成一个锐角∠A和一个钝角∠B，∠A＋∠B＝180°，在 锐角∠A的两边分别截取AC＝AD，在平面内∠B与∠A相对放置，并且 ∠B的两边刚好经过点C、点D，连接AB（如图1），兴趣小组通过测量发 现∠CBA＝∠DBA. 　 【提出猜想】 兴趣小组提出猜想： 在有一组邻边相等，对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的 一条对角线，必平分这个四边形的一个内角. 　 【验证猜想】 兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路. 思路一：如图2，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点E，过点A作BD的 垂线，垂足为F，证明BA平分∠CBD. 思路二：如图3，延长BD到点E，使得DE＝BC，连接AE. 证明BA平分 ∠CBD. 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想. 　 证明：思路一：如图1，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点 E，过点A作BD的垂线，垂足为F. 在四边形ACBD中，∵∠CAD＋∠CBD＝180°， ∴∠ACB＋∠ADB＝180°. ∵∠ACB＋∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝∠ADB. 又∵AE⊥BE，AF⊥BD， ∴∠AEC＝∠AFD＝90°. ∵AC＝AD， ∴在△AEC和△AFD中， ​ ∴△AEC≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， ∴点A在∠DBC的平分线上， ∴BA平分∠CBD. 　 思路二：如图2，延长BD到点E，使得DE＝BC，连接AE， 在四边形ACBD中，∵∠CAD＋∠CBD＝180°， ∴∠ACB＋∠ADB＝180°. ∵∠ADB＋∠ADE＝180°， ∴∠ACB＝∠ADE. 在△ACB和△ADE中， ​ ∴△ACB≌△ADE（SAS）， ∴AB＝AE，∠ABC＝∠E. ∴∠ABE＝∠E， ∴∠ABC＝∠ABE， ∴BA平分∠CBD. 　 【拓展应用】 在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），使得∠ABC ＝∠ADC＝90°，AD＝DC. （1）请直接写出∠ABD＝ °； 45 　 （2）经测量BD＝30 cm，求四边形ABCD的面积. 如图3，过点D作AB的垂线，垂足为E. 过点D作BC的垂线 交BC的延长线于点F. 在四边形ABCD中，已知∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC， 由猜想可知BD平分∠ABC， ∵DE⊥AB，DF⊥BF， ∴DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△DFC（HL）， ∴S四边形ABCD＝S四边形EBFD. 　 又∵DE⊥AB，DF⊥BF， ∴∠BED＝∠BFD＝∠ABC＝90°， ∴四边形EBFD是矩形. ∵DE＝DF， ∴四边形EBFD是正方形， ∴S四边形ABCD＝S四边形EBFD＝ BD2. ∵BD＝30 cm， ∴S四边形ABCD＝ BD2＝ ×302＝450（cm2）. 　 1. 已知矩形的长、宽分别为m，n，如果存在另一个矩形的周长和面积是已 知矩形的周长和面积的一半，求m，n满足的条件. 解：设另一个矩形的长为x，则宽为 （m＋n）－x.由题意得 x•［ （m＋n）－x］＝ mn，整理可得2x2－（m＋n）x＋mn＝0　①. 当Δ＝［－（m＋n）］2－4×2×mn＝m2＋n2－6mn≥0，即m2＋ n2≥6mn时，方程①有解，故m，n满足的条件为m2＋n2≥6mn. 　 2. 【问题探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在 线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，求 的值. 　 理由：如图1，过点A作 AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG 交CD的延长线于点N， ∴AM＝HF，AN＝EG， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN. 在△ABM和△ADN 中， ∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN， ∴△ABM≌△ADN（ASA）， ∴AM＝AN，即EG＝FH， ∴ ＝1. 　 【知识迁移】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E， F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH. 求 的值. 　 解：如图2，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG 交CD的延长线于点N，则AM＝HF，AN＝EG. 在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°. ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， ∴△ABM∽△ADN， ∴ ＝ . ∵AB＝m，AD＝BC＝n， ∴ ＝ ＝ ＝ . 　 【拓展应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC ＝60°，AB＝BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，求 的值. 　 解：如图3，过点C作 CM⊥AB于点M. 设CE交BF于点O. ∵CM⊥AB， ∴∠CME＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°. ∵CE⊥BF， ∴∠BOE＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△CME∽△BAF， ∴ ＝ . ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴ ＝ ＝ sin 60°＝ . 　 3. 综合与探究 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，P是直线AC上的一动点， 将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD. 【操作判断】 （1）如图1，当点P与点C重合时，连接BD，根据题意，在图1中画出 PD，BD，图中四边形ABDC是什么特殊的四边形？ 　 解：四边形ABCD是平行四边形.　 理由如下：如图1，由旋转得CB＝CD，∠BCD＝90°. ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠BCD＝∠ABC，AB＝CD， ∴AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形. 　 【问题探究】 （2）当点P与点A，C都不重合时，连接DC，试猜想DC与BC的位置关 系，并利用图2证明你的猜想. 　 证明如下： 如图2，过点P作PE⊥AC交AB于点E，连接ED，则∠APE＝90°. ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴∠BAC＝∠AEP＝45°， ∴AP＝EP. ∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD， ∴PD＝PB. ∵∠APE＝∠BPD＝90°， ∴∠APE＋∠EPB＝∠BPD＋∠EPB， 即∠APB＝∠EPD. 在△APB 和△EPD中，​ 解：DC⊥BC. 　 ∴△APB≌△EPD（SAS）， ∴∠PAE＝∠PED＝45°，AB＝ED， ∴∠AED＝∠AEP＋∠PED＝45°＋45°＝90°， ∴∠AED＝∠ABC＝90°， ∴ED∥BC. ∵AB＝BC， ∴ED＝BC， ∴四边形EBCD是平行四边形. ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EBCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴DC⊥BC. 　 【拓展延伸】 （3）当点P与点A，C都不重合时，若AB＝6，AP＝5，求CD的长. 　 解：当点P在点A右侧时，如图3，过点P作PE⊥AC交AB的 延长线于点E，连接ED. ∵∠BAC＝45°，PE⊥AC， ∴△EPA是等腰直角三角形， ∴AE＝ AP＝5 . 由（2）可知，四边形EBCD是矩形， ∴AB＝AE－BE＝AE－CD＝5 －CD. ∵AB＝6， ∴6＝5 －CD， ∴CD＝5 －6. 　 当点P在点A的左侧时，如图4，过点P作PE⊥AC交BA的延 长线于点E，连接ED. 同理可得AB＝BE－AE＝CD－5 ， ∴6＝CD－5 ， ∴CD＝5 ＋6. 综上，CD的长为5 ±6. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：（1）不存在.因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比 为2时，面积比必定是4，所以不存在. 　 （2）存在.设“加倍”矩形的长和宽分别为x，y，则 x，y就是关于A的方程A2－2（m＋n）A＋2mn＝0的两个正根. ∵Δ＝［－2（m＋n）］2－8mn＝4（m2＋n2）， 此题中，m＞0，n＞0. ∴Δ＝4（m2＋n2）＞0. ∴方程有两个不相等的正实数根x和y，即存在一个矩形是已知矩形的“加 倍”矩形. 　 变式训练1　解：（1）4－x　x（4－x）＝3.5　x1＝2＋ ，x2＝2－ 　 2＋ （2）如果矩形的长和宽分别为5和1，则矩形的周长为12，面积为5， ∴新矩形的周长为6，面积为2.5. 设新矩形的长为x，固定它的周长为6，则它的宽为 3－x，可列出方程 x（3 －x）＝2.5，Δ＜0，没有实数根， ∴不存在这样的矩形，故小红的说法正确. 　 【例2】　解：（1）AD⊥BE　AD＝BE （2）BE＝kAD，AD⊥BE. 证明如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB－∠BCD＝∠DCE－∠BCD，即∠ACD＝∠BCE. 又∵ ＝ ＝k（k≠1），∴△ACD∽△BCE， ∴ ＝ ＝k，∠CBE＝∠A，∴BE＝kAD. 又∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠CBE＋∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°，即AD⊥BE. 　 （3）∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝ ＝4 . ∵AD＝x，∴BD＝AB－AD＝4 －x. 由（1）易知△ACD≌△BCE（SAS），∠DBE＝90°， ∴AD＝BE＝x，CD＝CE， ∴DE2＝BD2＋BE2＝（4 －x）2＋x2. ∵点F与点C关于DE对称，∴DE垂直平分CF， ∴CE＝EF，CD＝DF. ∵CD＝CE，∴CD＝DF＝EF＝CE. ∵∠DCE＝90°，∴四边形CDFE是正方形， ∴y＝ DE2＝ ［（4 －x）2＋x2］＝x2－4 x＋16， ∴y与x的函数表达式为y＝x2－4 x＋16（0＜x≤4 ）. ∵y＝x2－4 x＋16＝（x－2 ）2＋8，∴y的最小值为8. 　 变式训练2　【验证猜想】证明：思路一：如图1，过点A作BC的垂线交BC 的延长线于点E，过点A作BD的垂线，垂足为F. 在四边形ACBD中，∵∠CAD＋∠CBD＝180°， ∴∠ACB＋∠ADB＝180°. ∵∠ACB＋∠ACE＝180°，∴∠ACE＝∠ADB. 又∵AE⊥BE，AF⊥BD，∴∠AEC＝∠AFD＝90°. ∵AC＝AD，∴在△AEC和△AFD中， ∴△AEC≌△AFD（AAS），∴AE＝AF， ∴点A在∠DBC的平分线上，∴BA平分∠CBD. 　 思路二：如图2，延长BD到点E，使得DE＝BC，连接AE， 在四边形ACBD中，∵∠CAD＋∠CBD＝180°， ∴∠ACB＋∠ADB＝180°. ∵∠ADB＋∠ADE＝180°，∴∠ACB＝∠ADE. 在△ACB和△ADE中， ∴△ACB≌△ADE（SAS），∴AB＝AE，∠ABC＝∠E. ∴∠ABE＝∠E，∴∠ABC＝∠ABE，∴BA平分∠CBD. 　 【拓展应用】解：（1）45 （2）如图3，过点D作AB的垂线，垂足为E. 过点D作BC的垂线交BC的 延长线于点F. 在四边形ABCD中，已知∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC， 由猜想可知BD平分∠ABC， ∵DE⊥AB，DF⊥BF，∴DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△DFC（HL）， ∴S四边形ABCD＝S四边形EBFD. 又∵DE⊥AB，DF⊥BF， ∴∠BED＝∠BFD＝∠ABC＝90°， ∴四边形EBFD是矩形. 　 ∵DE＝DF， ∴四边形EBFD是正方形， ∴S四边形ABCD＝S四边形EBFD＝ BD2. ∵BD＝30 cm， ∴S四边形ABCD＝ BD2＝ ×302＝450（cm2）. 　 【随堂小测】 1. 解：设另一个矩形的长为x，则宽为 （m＋n）－x.由题意得 x•［ （m＋n）－x］＝ mn，整理可得2x2－（m＋n）x＋mn＝0　①. 当Δ＝［－（m＋n）］2－4×2×mn＝m2＋n2－6mn≥0，即m2＋ n2≥6mn时，方程①有解，故m，n满足的条件为m2＋n2≥6mn. 　 2. 解：（1） 理由：如图1，过点A作 AM∥HF交BC于点M， 作AN∥EG交CD的延长线于点N， ∴AM＝HF，AN＝EG， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN. 在△ABM和△ADN 中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN， ∴△ABM≌△ADN（ASA），∴AM＝AN，即EG＝FH， ∴ ＝1. 　 （2）如图2，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线 于点N，则AM＝HF，AN＝EG. 在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°. ∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN，∴△ABM∽△ADN， ∴ ＝ . ∵AB＝m，AD＝BC＝n，∴ ＝ ＝ ＝ . 　 （3）如图3，过点C作 CM⊥AB于点M. 设CE交BF于点O. ∵CM⊥AB，∴∠CME＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. ∵CE⊥BF，∴∠BOE＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3， ∴△CME∽△BAF，∴ ＝ . ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴ ＝ ＝ sin 60°＝ . 　 3. 解：（1）四边形ABCD是平行四边形.　理由如下：如图1，由旋转得CB ＝CD，∠BCD＝90°. ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠BCD＝∠ABC，AB＝CD， ∴AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形. 　 （2）DC⊥BC. 证明如下： 如图2，过点P作PE⊥AC交AB于点E，连接ED，则∠APE＝90°. ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴∠BAC＝∠AEP＝45°，∴AP＝EP. ∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD， ∴PD＝PB. ∵∠APE＝∠BPD＝90°， ∴∠APE＋∠EPB＝∠BPD＋∠EPB， 即∠APB＝∠EPD. 　 在△APB 和△EPD中， ∴△APB≌△EPD（SAS）， ∴∠PAE＝∠PED＝45°，AB＝ED， ∴∠AED＝∠AEP＋∠PED＝45°＋45°＝90°， ∴∠AED＝∠ABC＝90°，∴ED∥BC. ∵AB＝BC，∴ED＝BC，∴四边形EBCD是平行四边形. ∵∠ABC＝90°，∴四边形EBCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，∴DC⊥BC. 　 （3）当点P在点A右侧时，如图3，过点P作PE⊥AC交AB的延长线于点 E，连接ED. ∵∠BAC＝45°，PE⊥AC， ∴△EPA是等腰直角三角形，∴AE＝ AP＝5 . 由（2）可知，四边形EBCD是矩形， ∴AB＝AE－BE＝AE－CD＝5 －CD. ∵AB＝6，∴6＝5 －CD， ∴CD＝5 －6. 　 当点P在点A的左侧时，如图4，过点P作PE⊥AC交BA的延长线于点E， 连接ED. 同理可得AB＝BE－AE＝CD－5 ， ∴6＝CD－5 ， ∴CD＝5 ＋6. 综上，CD的长为5 ±6. 　 $