精品解析：陕西宝鸡市千阳县中学2024-2025学年第二学期期末质量检测高一数学试题

陕西宝鸡市千阳县中学2024-2025学年第二学期期末质量检测高一数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 7 B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 11. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为_________． 13. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 14. 如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的值． 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，△ABC的面积为，求c． 17. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 18. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围. 19. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西宝鸡市千阳县中学2024-2025学年第二学期期末质量检测高一数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法结合虚部的定义可得. 【详解】，所以虚部为7. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法、正弦函数的值域求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由，得，故， 由的值域为，故， 所以. 故选：B 3. 某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】总体有个个体，每个个体被抽到的概率相同，故同学被抽到的可能性为． 4. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的加法减法及线性关系计算求解. 【详解】因为平行四边形中，为的中点，点在上，且， 所以， 则. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】，所以. 故选:D. 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 7. 如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若为中点，连接有，异面直线所成角即为，进而求其大小. 【详解】若为中点，连接，又M是的中点，则， 所以与所成角，即为与所成角， 令正方体棱长为2，则，，， 在△中，则. 故选：D 8. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上至少有3个零点， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数、极差、平均数以及百分位数的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69， 65出现次数最多，故众数为65，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数，故C错误； ，所以80%分位数为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算复数的模长即可判断选项A；由共轭复数的概念与减法运算即可判断选项B；由复数的除法运算结合几何意义即可判断选项C；由复数的乘法运算求解即可判断选项D. 【详解】对于A，复数，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，其在复平面内对应的点位于第四象限，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD 11. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用幂函数的概念求解析式，从而可判断ABC，利用分段函数单调性，结合分界点的端点值大小比较，可判断D. 【详解】由幂函数的定义，知，故，所以，A错误； 由，得函数为偶函数，B正确； 由，得，解得，C正确； 若函数在上单调递增，必有解得，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，高为， 则圆台的体积． 13. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 【答案】0.18## 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式求出，根据独立事件的概率公式求出． 【详解】因为与对立，所以， 又与相互独立，所以． 故答案为：0.18． 14. 如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及正弦定理有、，即可求. 【详解】由条件知，过作垂直于直线，垂足为， 在中，，在中，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】依据平面向量平行和垂直的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 由题知，，． 若，则， 解得，故实数的值为． 【小问2详解】 若，则， 整理得，解得或． 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，△ABC的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. （2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边. 【小问1详解】 由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． 【小问2详解】 由△ABC的面积为，得，所以ab＝8． 由余弦定理，得， 所以． 17. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可； （2）先计算出内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，，解得，； 这50名学生的物理成绩的平均数为：； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人， 其中内有2人，设为，内有3人，设为， “从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为： ，而事件 “2人成绩都在内”=， 由古典概型概率公式可得，. 即这2人成绩都在内的概率为. 18. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可. （2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得. （3）探讨函数在上的性质，借助直线与函数的图象交点问题求解. 【小问1详解】 函数， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问3详解】 当时，，由，得， 则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程在有两个根， 所以的取值范围. 19. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）连接交于点，连接． 因为四边形是平行四边形，所以是中点． 又是中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． （2）由题知，在中，，， 由余弦定理，得，所以． 在中，，，所以是等边三角形，所以， 所以，即． 因为平面平面，所以． 又，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据余弦定理结合勾股定理可得，再由线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明即可； （3）根据等体积法计算点到平面的距离，再由线面角的定义计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面平面，所以，． 由（2）知，所以． 设点到平面的距离为． 因为，，所以， 等腰底边上的高为，所以， 所以． 又点到的距离为，所以， 所以，解得． 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $