5.2　二次函数的图象课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y＝x²和y＝－x²的图象与性质，通过类比一次函数“概念→图象→性质”的学习路径导入，搭建知识迁移支架，引导学生从已有认知过渡到新内容。 其亮点在于以作图（列表、描点、连线）培养几何直观，对比两函数性质（开口方向、增减性等）发展推理意识，例题与分层小测强化模型意识。如例1、例2规范作图步骤，小测中判断点是否在图象上、求取值范围等，帮助学生直观理解函数本质，教师可利用结构化流程提升教学效率。

第五章　二次函数 2　二次函数的图象 第3课时　二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质 　 1 二次函数y＝a（x－h）2的图象有什么特征？它与二次函数y＝ax2的图象 有什么关系？比如二次函数y＝2（x－1）2的图象与二次函数y＝2x2的图象 有什么关系？ 　 　二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质 【例1】（根据教材第135页随堂练习第1题改编）画出函数y＝2（x－1）2的 图象，回答问题. （1）它的图象与二次函数y＝2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？ 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 解：函数图象如图. 二次函数y＝2（x－1）2的图象与二次函数y＝ 2x2的图象大小和形状都相同，是由y＝2x2的图象 向右平移1个单位长度得到的；y＝2（x－1）2的 图象是轴对称图形；y＝2（x－1）2的图象是一 条开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝1，顶点 坐标为（1，0）. 　 （2）当x取哪些值时，y的值随x的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随 x的增大而减小？ 解：当x＞1时，y的值随x的增大而增大；当x＜1时，y的值随x的增大而 减小. 　 （教材第135页随堂练习第1题）已知二次函数y＝－3（x＋2）2. （1）它的图象与二次函数y＝－3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形 吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 解：函数图象如图. 二次函数y＝－3（x＋2）2的图象与二次函数y＝－ 3x2的图象大小和形状都相同，是由y＝－3x2的图象向 左平移2个单位长度得到的；y＝－3（x＋2）2的图象 是轴对称图形；y＝－3（x＋2）2的图象是一条开口向 下的抛物线，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为（－ 2，0）. 　 （2）当x取哪些值时，y的值随x的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随 x的增大而减小？ 解：当x＜－2时，y的值随x的增大而增大；当x＞－2时，y的值随x的增 大而减小. 　 　二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质 1. 当a＞0时，抛物线开口向① ，对称轴是直线② ，顶点坐 标为③ ⁠； 2. 当a＜0时，抛物线开口向④ ，对称轴是直线⑤ ，顶点坐 标为⑥ ⁠； 3. 抛物线y＝a（x－h）2可以看成是由抛物线y＝ax2⑦ ⁠平移得 到的. 上 x＝h （h，0） 下 x＝h （h，0） 左右 　 【例2】（根据教材第138页习题5.2第3题改编）指出下列二次函数图象的开 口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图验证. （1）y＝5（x－3）2； 解：∵y＝5（x－3）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，0）. （2）y＝－ （x＋2）2； 解：∵y＝－ （x＋2）2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为（－2，0）. 　 （3）y＝7（x＋5）2； 解：∵y＝7（x＋5）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－5，顶点坐标为（－5，0）. （4）y＝－ （x－6）2. 解：∵y＝－ （x－6）2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，0）. 　 （根据教材第138页习题5.2第3题改编）指出下列二次函数图象的 开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图验证. （1）y＝2（x－6）2； 解：∵y＝2（x－6）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，0）. （2）y＝－ （x＋1）2； 解：∵y＝－ （x＋1）2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，0）. 　 （3）y＝ （x＋4）2； 解：∵y＝ （x＋4）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－4，顶点坐标为（－4，0）. （4）y＝－ （x－2）2. 解：∵y＝－ （x－2）2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0）. 　 【例3】将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位长度，则平移后的二次函 数表达式为 ⁠. 将抛物线y＝x2平移，得到抛物线y＝（x＋2）2，则这个平移过 程正确的是（　A　）. A. 向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度 C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度 y＝（x－1）2 A 　 1. （2025•甘孜州）对于抛物线y＝2（x－1）2，下列说法正确的是 （　B　）. A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（1，0） C. 抛物线的对称轴为直线x＝－1 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 B 　 2. 将抛物线y＝（x－1）2向左平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为 （　A　）. A. y＝（x＋1）2 B. y＝（x－3）2 C. y＝（x－1）2＋2 D. y＝（x－1）2－2 A 　 3. （2025•威海）已知点（－2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数 y＝－（x－2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　C　）. A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y2＞y1 C 　 4. 抛物线y＝－ （x－3）2的顶点坐标是 ⁠. 5. （2025秋•福田区校级月考）为了得到抛物线y＝－（x－2）2，可以将抛 物线y＝－x2向 平移 个单位长度. 6. 当x＝ 时，二次函数y＝2（x＋1）2有最 值0. （3，0） 右 2 －1 小 　 7. 如图，抛物线y＝a（x＋1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且 OB＝OA. （1）求抛物线的表达式； 解：由题意得A（－1，0），则OA＝1. ∵OB＝OA， ∴OB＝1， ∴B（0，－1）， 将B点坐标代入表达式，可求得a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－（x＋1）2. 　 7. 如图，抛物线y＝a（x＋1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且 OB＝OA. （2）若点C（－3，b）在该抛物线上，求△ABC的面积. 解：∵点C（－3，b）在抛物线上， ∴b＝－（－3＋1）2＝－4. 如图，过点C作CD⊥x轴于点D， 则S△ABC＝S四边形OBCD－S△AOB－S△ACD ＝ ×（1＋4）×3－ ×1×1－ ×4×2＝3. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：函数图象如图. （1）二次函数y＝2（x－1）2的图象与二次函数 y＝2x2的图象大小和形状都相同，是由y＝2x2 的图象向右平移1个单位长度得到的； y＝2（x－1）2的图象是轴对称图形； y＝2（x－1）2的图象是一条开口向上的抛物线， 对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，0）. （2）当x＞1时，y的值随x的增大而增大；当x＜1时，y的值随x的增大而减小. 　 变式训练1　解：函数图象如图. （1）二次函数y＝－3（x＋2）2的图象与二次函数y＝－3x2的图象大小和 形状都相同，是由y＝－3x2的图象向左平移2个单位长度得到的；y＝－3 （x＋2）2的图象是轴对称图形；y＝－3（x＋2）2的图象是一条开口向下的 抛物线，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为（－2，0）. （2）当x＜－2时，y的值随x的增大而增大； 当x＞－2时，y的值随x的增大而减小. ①上　②x＝h　③（h，0）　④下　⑤x＝h　⑥（h，0） ⑦左右 　 【例2】　解：（1）∵y＝5（x－3）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，0）. （2）∵y＝－ （x＋2）2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为（－2，0）. （3）∵y＝7（x＋5）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－5，顶点坐标为（－5，0）. （4）∵y＝－ （x－6）2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，0）. 　 变式训练2　解：（1）∵y＝2（x－6）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，0）. （2）∵y＝－ （x＋1）2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，0）. （3）∵y＝ （x＋4）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－4，顶点坐标为（－4，0）. （4）∵y＝－ （x－2）2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0）. 【例3】　y＝（x－1）2 变式训练3　A 　 【随堂小测】 1. B　2.A　3.C　4.（3，0）　5.右　2　6.－1　小 7. 解：（1）由题意得A（－1，0），则OA＝1. ∵OB＝OA， ∴OB＝1， ∴B（0，－1）， 将B点坐标代入表达式，可求得a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－（x＋1）2. 　 （2）∵点C（－3，b）在抛物线上， ∴b＝－（－3＋1）2＝－4. 如图，过点C作CD⊥x轴于点D， 则S△ABC＝S四边形OBCD－S△AOB－S△ACD＝ ×（1＋4）×3－ ×1×1－ ×4×2＝3. 　 $第五章　二次函数 2　二次函数的图象 第1课时　二次函数y＝x2的图象与性质 　 1 与一次函数的学习过程类似，认识了二次函数的概念后，接下来要研究二次 函数的图象和性质.借助图象直观了解函数的性质，是研究函数的重要方法. 　 　y＝x2的图象与性质 【例1】（根据教材第132页引入改编）画出二次函数y ＝ x2的图象. 解：（1）列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … （2）描点： （3）连线： 　 根据例1中二次函数y＝x2的图象回答问题. 二次函数y＝x2的图象是一条 ，它的开口向 ，且关于 ⁠ 对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 点.在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ⁠. 抛物线 上 y轴 低 减小 增大 　 　y＝－x2的图象与性质 【例2】（根据教材第132页引入改编）画出二次函数y＝－x2的图象. 解：（1）列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 … （2）描点： （3）连线： 　 根据例2中二次函数y＝－x2的图象回答问题. （1）二次函数y＝－x2的图象是一条 ，它的开口向 ，且关 于 对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的 最 点.在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随 x的增大而 ⁠. （2）二次函数y＝－x2的图象是由y＝x2的图象关于 x 轴作轴对称变换得到 的.它们的开口方向 ，顶点 ，形状 ⁠. 抛物线 下 y轴 高 增大 减小 相反 相同 相同 　 1. 若点 A（2，m） 在y＝x2 的图象上，则m＝ ⁠. 2. 若点 P1（－2，y1）和 P2（3，y2）在 y＝x2的图象上，则y1 y2（填 “＞”或“＜”）. 4 ＜ 　 3. 若点（2，y1），（1，y2），（0，y3）都在二次函数y＝－x2的图象上， 则（　A　）. A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3 C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y1＞y2 4. 已知二次函数y＝－x2，当－1≤x＜2时，y的取值范围是 ⁠. A －4＜y≤0 　 5. 判断点Q（－2，－4）是否在函数y＝－x2的图象上. 解：当x＝－2时，y＝－（－2）2＝－4， ∴点 Q（－2，－4） 在函数y＝－x2 的图象上. 6. 抛物线y＝－x2与直线y＝－9交于C，D两点（点C在点D的左边），求 线段CD的长度. 解：当y＝－9时，x1＝3，x2＝－3， ∴C（－3，－9），D（3，－9）， ∴CD＝6. 　 7. （教材第133页随堂练习第1题）在二次函数y＝x2的图象上任取一点 P（x0， ），请写出点P关于y轴对称的点P′的坐标，并说明P′在二次函数 y＝x2的图象上. 解：∵点P′与点P（x0， ）关于y轴对称， ∴P′（－x0， ）. 当x＝－x0时，y＝（－x0）2＝ ， ∴P′（－x0， ）在二次函数y＝x2的图象上. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：（1）列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … （2）描点： （3）连线： 　 变式训练1　抛物线　上　y轴　低　减小　增大 【例2】　解：（1）列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 … （2）描点： （3）连线： 　 变式训练2　（1）抛物线　下　y轴　高　增大　减小 （2）相反　相同　相同 【随堂小测】 1.4　2.＜　3.A　4.－4＜y≤0 5. 解：当x＝－2时，y＝－（－2）2＝－4， ∴点 Q（－2，－4） 在函数y＝－x2 的图象上. 6. 解：当y＝－9时，x1＝3，x2＝－3， ∴C（－3，－9），D（3，－9）， ∴CD＝6. 　 7. 解：∵点P′与点P（x0， ）关于y轴对称， ∴P′（－x0， ）. 当x＝－x0时，y＝（－x0）2＝ ， ∴P′（－x0， ）在二次函数y＝x2的图象上. 　 $第五章　二次函数 2　二次函数的图象 第2课时　二次函数y＝ax2的图象与性质 　 1 我们已经研究了特殊的二次函数y＝x2和y＝－x2的图象，那么二次函数y＝ ax2的图象是什么样子呢？我们一起来探索. 　 　当a为正数时，y＝ax2的图象与性质 二次函数y＝ax2的图象是一条① ，当a＞0时，它的开口向 ② ，且关于③ 对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶 点，它是图象的最④ 点.在对称轴左侧，y随x的增大而⑤ ⁠； 在对称轴右侧，y随x的增大而⑥ ⁠. 抛物线 上 y轴 低 减小 增大 　 【例1】（根据教材第134页随堂练习第1题改编）画出二次函数y＝2x2的图 象，并填空： （1）图象的对称轴是 ，对称轴与图象的交点坐标是 ⁠； （2）图象的开口向 ⁠； （3）图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ⁠； 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ⁠. y轴 （0，0） 上 减小 增大 　 下列关于函数y＝6x2的性质表述正确的一项是（　C　）. A. 无论x为任何实数，y的值总为正 B. 当x的值增大时，y的值也增大 C. 它的图象关于y轴对称 D. 它的图象在第一、三象限内 C 　 　当a为负数时，y＝ax2的图象与性质 二次函数y＝ax2的图象是一条⑦ ，当a＜0时，它的开口向 ⑧ ，且关于⑨ 对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶 点，它是图象的最⑩ 点.在对称轴左侧，y随x的增大而⑪ ⁠， 在对称轴右侧，y随x的增大而⑫ ⁠. ｜a｜的大小决定抛物线开口的大小：｜a｜越大，抛物线的开口越小； ｜a｜越小，抛物线的开口越大. 抛物线 下 y轴 高 增大 减小 　 【例2】二次函数y＝－ x2的图象的顶点是 ，开口 ⁠， 对称轴是 ；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时， y随x的增大而增大，顶点是最 点. 已知A（－1，y1），B（－2，y2）两点都在二次函数y＝－3x2 的图象上，则（　A　）. A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. y1≥y2 （0，0） 向下 y轴 ＞0 ＜0 高 A 　 　二次函数y＝ax2＋k与二次函数y＝ax2的图象的关系 k为正数时，函数y＝ax2＋k的图象是由y＝ax2的图象向⑬ ⁠平移 ⑭ 个单位长度得到的； k为负数时，函数y＝ax2＋k的图象是由y＝ax2的图象向⑮ ⁠平移 ⑯ 个单位长度得到的. 上 k 下 ｜k｜ 　 【例3】（根据教材第134页随堂练习第2题改编）在同一平面直角坐标系中画出y＝2x2，y＝2x2＋2，y＝2x2－3的图象.说说三个函数的图象之间有什么关系？ 解：函数图象如图所示，函数y＝2x2，y＝2x2 ＋2，y＝2x2－3的图象形状完全相同，开口方向 相同.y＝2x2的图象向上平移2个单位长度后得 到y＝2x2＋2的图象；y＝2x2的图象向下平移3 个单位长度后得到y＝2x2－3的图象. 　 （根据教材第134页随堂练习第2题改编）在同一平面直角坐标系 中画出y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象. （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； 解：y＝－2x2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；y＝－2x2＋3的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，3）. （2）函数y＝－2x2＋3与函数y＝－2x2的图象有什么关系？ 解：如图，函数y＝－2x2＋3与函数y＝－2x2 的图象形状完全相同，开口方向相同，y＝－2x2＋3 的图象向下平移3个单位长度得到y＝－2x2的图象. 　 1. 对于抛物线y＝－3x2，下列说法正确的是（　D　）. A. 开口向上，对称轴是x轴 B. 开口向下，对称轴是x轴 C. 开口向上，对称轴是y轴 D. 开口向下，对称轴是y轴 D 　 2. 二次函数y＝ x2的图象的顶点坐标是（　B　）. A. （1，0） B. （0，0） C. （－1，0） D. （0， ） B 　 3. （2025秋•龙华区校级月考）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋2的 图象大致是（　A　）. A 　 4. （2025秋•宝安区校级月考）关于二次函数y＝－3x2－1的图象，下列结论 正确的是（　D　）. A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线x＝3 C. 其最大值为1 D. 当x＞3时，y随x的增大而减小 D 　 5. 如图，A，B，C，D四点在抛物线y＝ax2上，且AB∥CD∥x轴，与y 轴的交点分别为E，F，已知AB＝20，CD＝10，EF＝3，求a的值及OF 的长. 解：由CD＝10，可设D（5，b）， ∵AB＝20，EF＝3， ∴B（10，b－3）， ∴ 解得 ∴OF＝1. 　 参考答案 【新课导学】 ①抛物线 ②上 ③y轴 ④低 ⑤减小 ⑥增大 【例1】（1）y轴 （0，0） （2）上 （3）减小 增大 变式训练1　C ⑦抛物线 ⑧下 ⑨y轴 ⑩高 ⑪增大 ⑫减小 【例2】（0，0） 向下 y轴 ＞0 ＜0 高 变式训练2　A ⑬上　⑭k　⑮下　⑯｜k｜ 　 【例3】　解：函数图象如图所示，函数y＝2x2，y＝2x2＋2，y＝2x2－3的 图象形状完全相同，开口方向相同.y＝2x2的图象向上平移2个单位长度后得 到y＝2x2＋2的图象；y＝2x2的图象向下平移3个单位长度后得到y＝2x2－3 的图象. 　 变式训练3　解：（1）y＝－2x2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标 为（0，0）；y＝－2x2＋3的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为 （0，3）. （2）如图，函数y＝－2x2＋3与函数y＝－2x2的图象形状完全相同，开口方 向相同，y＝－2x2＋3的图象向下平移3个单位长度得到y＝－2x2的图象. 　 【随堂小测】 1. D　2.B　3.A　4.D 5. 解：由CD＝10，可设D（5，b）， ∵AB＝20，EF＝3， ∴B（10，b－3）， ∴ 解得 ∴OF＝1. 　 $第五章　二次函数 2　二次函数的图象 第4课时　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与 性质（含对称轴与顶点坐标） 　 1 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象有什么特征？它与二次函数y＝ax2的图 象有什么关系？比如二次函数y＝2（x－1）2＋3的图象与二次函数y＝2x2 的图象有什么关系？ 　 　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 【例1】画出二次函数y＝2（x－1）2＋3的图象，回答问题. （1）图象是一条抛物线，开口向上，对称轴是 ，顶点坐标 是 ⁠； （2）当x＜1时，函数值随自变量取值的增大而 ；当x＞1时，函数 值随自变量取值的增大而 ⁠. 直线x＝1 （1，3） 减小 增大 　 （3）二次函数y＝2（x－1）2＋3的图象与二次函数y＝2x2的图象有什么 关系？ 解：y＝2（x－1）2＋3的图象与y＝2x2的图象形状相同，只是位置不同.将 二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，就可 以得到y＝2（x－1）2＋3的图象. 　 （根据教材第138页习题5.2第3题改编）指出下列二次函数图象的 开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图验证. （1）y＝2（x－2）2＋5： 解：∵y＝2（x－2）2＋5，a＝2＞0， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5）. （2）y＝－0.5（x－1）2－2； 解：∵y＝－0.5（x－1）2－2，a＝－0.5＜0， ∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－2）. 　 （3）y＝－2（x＋5）2＋3； 解：∵y＝－2（x＋5）2＋3，a＝－2＜0， ∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－5，顶点坐标为（－5， 3）. （4）y＝ （x＋3）2－1. 解：∵y＝ （x＋3）2－1，a＝ ＞0， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－3， 顶点坐标为（－3，－1）. 　 归纳： 二次函数 图象特征 开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝a（x－h）2＋k 向上（a＞0） 直线x＝h （h，k） 向下（a＜0） 1. 当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x＝h，顶点坐标为（h，k）； 2. 当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝h，顶点坐标为（h，k）. 　 　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与y＝ax2的图象之间的 平移规律 　 【例2】（2025秋•福田区校级月考）为了得到抛物线y＝3x2，可以将抛物线 y＝3（x＋1）2＋2（　D　）. A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D 　 将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位 长度，所得抛物线对应的函数表达式是（　B　）. A. y＝（x＋2）2＋2 B. y＝（x＋2）2－2 C. y＝（x－2）2＋2 D. y＝（x－2）2－2 B 　 　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 【例3】（教材第137页例题）求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶 点坐标. 解：将二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的右边配方，得 y＝ax2＋bx＋c ＝a ＋c ＝a ＋c ＝a（x＋ ）2＋ ， 因此，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴是直线x＝－ ，顶点坐标是 （－ ， ）. 　 （教材第138页随堂练习第1题）用配方法确定下列二次函数图象 的对称轴和顶点坐标： （1）y＝2x2－12x＋3； 解：y＝2x2－12x＋3＝2（x2－6x）＋3＝2（x－3）2－15，则该函数图象 的对称轴是直线x＝3，顶点坐标为（3，－15）. （2）y＝－5x2＋80x－319； 解：y＝－5x2＋80x－319＝－5（x2－16x）－319＝－5（x－8）2＋1，则 该函数图象的对称轴是直线x＝8，顶点坐标为（8，1）. 　 （3）y＝2（x－ ）（x－2）； 解：y＝2 （x－2）＝2 ＋2＝22－ ，则该函数图 象的对称轴是直线x＝ ，顶点坐标为 . （4）y＝3（2x＋1）（2－x）. 解：y＝3（2x＋1）（2－x）＝3（－2x2＋3x＋2）＝－6（x2－ x）＋6＝ －6（x－ ）2＋ ，则该函数图象的对称轴是直线x＝ ，顶点坐标为 （ ， ）. 　 归纳： 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） a的正负 a＞0 a＜0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x＝－ 顶点坐标 （－ ， ） 　 增减性 在对称轴的左侧，即当x＜ － 时，y随x的增大而减 小；在对称轴的右侧，即 当x＞－ 时，y随x的增 大而增大.简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当x＜－ 时，y随x的增大而增大；在对称 轴的右侧，即当x＞－ 时，y 随x的增大而减小.简记：左增右 减 最大（小） 值 抛物线有最低点，当x＝ － 时，y有最小值，y最小 值＝ 抛物线有最高点，当x＝－ 时，y有最大值，y最大值＝ 　 1. 对于抛物线y＝2（x－1）2＋3，下列说法正确的是（　B　）. A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（1，3） C. 抛物线的对称轴为直线x＝－1 D. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 B 　 2. （2025•攀枝花）关于抛物线y＝－x2＋6x－7，下列说法正确的是 （　D　）. A. 开口向上 B. 对称轴是直线x＝－3 C. 与y轴的交点坐标是（0，7） D. 顶点坐标是（3，2） D 　 3. （2025秋•龙岗区校级月考）将表达式为y＝（x－3）2＋5的抛物线经过 平移后得到表达式为y＝（x－1）2＋2的抛物线，则平移的方向和距离是 （　D　）. A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 D 　 4. （2025•哈尔滨）抛物线y＝－ （x－3）2＋4的顶点坐标是 ⁠. 5. 对于抛物线y＝－ （x＋1）2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（－1，3）；④当x＞1时，y随x的增 大而减小.其中正确的结论有 .（填序号） （3，4） ①③④ 　 6. （根据教材第138页习题5.2第3题改编）指出下列二次函数图象的开口方 向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证： （1）y＝2x2－4x－1； 解：∵y＝2x2－4x－1＝2（x－1）2－3，a＝2＞0， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－ ＝1，顶点坐标为（1， －3）. 　 （2）y＝3x2－6x＋2； 解：∵y＝3x2－6x＋2＝3（x－1）2－1，a＝3＞0， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－ ＝1，顶点坐标为 （1，－1）. （3）y＝－3（x＋3）（x＋9）. 解：y＝－3（x＋3）（x＋9）＝－3x2－36x－81＝－3（x＋6）2＋27， ∵a＝－3＜0， ∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－ ＝－6，顶点坐标为 （－6，27）. 　 7. （教材第139页习题5.2第10题）如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛 物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的平面直角坐标 系，y轴左侧的一条抛物线可以用y＝ x2＋ x＋10表示. （1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ 解：∵y＝ x2＋ x＋10， ∴该抛物线的顶点的横坐标为x＝ ＝－20， 纵坐标为y＝ ＝1， 即钢缆的最低点到桥面的距离是1 m. 　 （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 解：∵桥梁上两条钢缆的形状可以近似看成两条相同的抛物线，而且左、右 两条抛物线关于y轴对称，按照题图中的平面直角坐标系，左边的一条抛物 线可以用y＝ x2＋ x＋10表示， ∴两条钢缆的顶点横坐标为－20，20， 即两条钢缆最低点对应的横坐标分别是－20，20， 故两条钢缆最低点之间的距离是20－（－20）＝40（m）， 即两条钢缆最低点之间的距离是40 m. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：（1）直线x＝1　（1，3）　（2）减小　增大 （3）y＝2（x－1）2＋3的图象与y＝2x2的图象形状相同，只是位置不同. 将二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，就 可以得到y＝2（x－1）2＋3的图象. 　 变式训练1　解：（1）∵y＝2（x－2）2＋5，a＝2＞0， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5）. （2）∵y＝－0.5（x－1）2－2，a＝－0.5＜0， ∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－2）. （3）∵y＝－2（x＋5）2＋3，a＝－2＜0， ∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－5，顶点坐标为（－5，3）. （4）∵y＝ （x＋3）2－1，a＝ ＞0， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为（－3，－1）. 【例2】　D 变式训练2　B 　 【例3】　解：将二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的右边配方，得 y＝ax2＋bx＋c ＝a ＋c ＝a ＋c ＝a（x＋ ）2＋ ， 因此，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴是直线x＝－ ，顶点坐标是 （－ ， ）. 　 变式训练3　解：（1）y＝2x2－12x＋3＝2（x2－6x）＋3＝2（x－3）2－ 15，则该函数图象的对称轴是直线x＝3，顶点坐标为（3，－15）. （2）y＝－5x2＋80x－319＝－5（x2－16x）－319＝－5（x－8）2＋1，则 该函数图象的对称轴是直线x＝8，顶点坐标为（8，1）. （3）y＝2 （x－2）＝2 ＋2＝22－ ，则该函数图 象的对称轴是直线x＝ ，顶点坐标为 . （4）y＝3（2x＋1）（2－x）＝3（－2x2＋3x＋2）＝－6（x2－ x）＋6 ＝－6（x－ ）2＋ ，则该函数图象的对称轴是直线x＝ ，顶点坐标为 （ ， ）. 　 【随堂小测】 1. B　2.D　3.D　4.（3，4）　5.①③④ 6. 解：（1）∵y＝2x2－4x－1＝2（x－1）2－3，a＝2＞0， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－ ＝1，顶点坐标为 （1，－3）. （2）∵y＝3x2－6x＋2＝3（x－1）2－1，a＝3＞0， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－ ＝1，顶点坐标为 （1，－1）. 　 （3）y＝－3（x＋3）（x＋9）＝－3x2－36x－81＝－3（x＋6）2＋27， ∵a＝－3＜0， ∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－ ＝－6，顶点坐标为（－ 6，27）. 　 7. 解：（1）∵y＝ x2＋ x＋10， ∴该抛物线的顶点的横坐标为x＝ ＝－20，纵坐标为y＝ ＝1，即钢缆的最低点到桥面的距离是1 m. 　 （2）∵桥梁上两条钢缆的形状可以近似看成两条相同的抛物线，而且左、 右两条抛物线关于y轴对称，按照题图中的平面直角坐标系，左边的一条抛 物线可以用y＝ x2＋ x＋10表示， ∴两条钢缆的顶点横坐标为－20，20， 即两条钢缆最低点对应的横坐标分别是－20，20， 故两条钢缆最低点之间的距离是20－（－20）＝40（m）， 即两条钢缆最低点之间的距离是40 m. 　 $