☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用相似三角形测高”，通过“测量学校旗杆高度”的问题导入，衔接相似三角形性质，结合例题、变式训练构建从理论到实践的学习支架，帮助学生掌握测高方法。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过阳光下影子、标杆、镜子反射三种测高方法的推理过程发展数学思维，用相似模型和规范解题强化数学语言。例如利用平行光线抽象影子问题，用三点共线构造标杆测量模型，助力学生提升应用能力，为教师提供分层教学资源。

第三章　图形的相似 ☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高 　 1 你想知道学校旗杆的高度吗？利用相似三角形的相关知识，使用标杆、皮尺 等工具，就可以测出学校旗杆的高度. 　 　利用阳光下的影子测量 特别说明：这种方法是直接运用相似三角形的原理.事实上，太阳离我们非常 遥远，因此可以把太阳光线近似看成平行光线.在同一时刻，两物体影长之比 等于其对应高的比. 　 【例1】小明和他的同学在太阳光下行走，小明身高1.4 m，他的影长为1.75m，他同学的身高为1.6 m，求此时他同学的影长. 解：设他同学的影长为x m， ∵同一时刻物高与影长成正比例， ∴ ＝ ，解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解， ∴他同学的影长为2 m. 　 （2025秋•宝安区期中）在一次综合实践课上，小华测得旗杆的 影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附 近一座纪念塔的影子长为60米，求这座纪念塔的高度. 解：∵旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为 13米， ∴旗杆的高度为 ＝5（米）. 设这座纪念塔的高度为x米，由题意可得 ＝ ， 解得x＝25， 即这座纪念塔的高度为25米. 　 　利用标杆测量 特别说明：使用这种方法时，观察者的眼睛必须与标杆的顶端、物体的顶端 “三点共线”，标杆与地面要垂直. 　 【例2】（2025•绵阳期末）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度 进行测量.他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10 m远的C处，然 后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2 m至A点时，看大 树顶部F的视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB 为1.6 m，竹竿CD长3 m，求大树的高度. 　 解：如图，过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，则BH⊥CD， ∴∠BGD＝∠BHF＝90°. 由题意得AB＝CG＝EH＝1.6 m，AC＝BG＝2 m，CE＝GH＝10 m， ∴BH＝BG＋GH＝2＋10＝12（m）. ∵CD＝3 m， ∴DG＝CD－CG＝3－1.6＝1.4（m）. ∵∠DBG＝∠FBH， ∴△BDG∽△BFH， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，解得FH＝8.4， ∴EF＝FH＋EH＝8.4＋1.6＝10（m）， ∴大树的高度EF为10 m. 　 （2025•龙岗区开学）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用 长3.2 m的竹竿做测量工具.移动竹竿，使旗杆影子的顶端与竹竿影子的顶端 恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m，与旗杆相距22 m，求旗杆的高度. 　 解：对图形进行点标注，如图所示. ∵ED⊥AD，BC⊥AC， ∴ED∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴ ＝ . ∵AD＝8 m，AC＝AD＋CD＝30 m，ED＝3.2 m， ∴ ＝ ， ∴BC＝12，即旗杆的高为12 m. 　 　利用镜子的反射测量 【例3】（2025秋•深圳期中）如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点E处放 置了一平面镜，并测得BE＝12米，然后沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰 好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得DE＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6 米（此时∠AEB＝∠CED），求凉亭AB的高度. 解：∵∠AEB＝∠CED，∠ABC＝∠CDE＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得AB＝6.4， 即凉亭AB的高度为6.4米. 　 （2025秋•福田区期末）如图所示，点A，B，C是地面上同一直 线上的三个点，小童、标杆、旗杆分别立于上述三点处.今在标杆顶部点F处 平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童 眼睛的高度EA＝1.6 m，标杆的高度FB＝1 m，AB＝0.9 m，BC＝6 m， 求旗杆的高度. 　 解：如图，过F作FH⊥CD于点H，延长HF交AE于点G， ∵AE∥BF∥CD， ∴HG⊥AE， ∴AG＝BF＝CH＝1 m，FG＝AB＝0.9 m，BC＝FH＝6 m. 由题意得，∠EFG＝∠DFH， ∵∠FGE＝∠FHD＝90°， ∴△FGE∽△FHD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴DH＝4， ∴CD＝DH＋CH＝4＋1＝5（m）. 即旗杆的高度为5 m. 　 1. （2025•内江）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.” 这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就 能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意 图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA＝150 cm，阻力臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是（　B　）. A. 80 cm B. 60 cm C. 50 cm D. 40 cm B 　 2. （2025秋•福田区校级期末）如图所示，在小孔成像问题中，若点O到AB 的距离是21 cm，到CD的距离是7 cm，则物体AB的长是像CD长的 （　B　）. A. 2倍 B. 3倍 C. D. B 　 3. （2025秋•龙岗区期中）如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图） （数据如图），用去一部分液体后如图所示，此时液面AB的宽度是 （　B　）. A. 2.8 cm B. 3 cm C. 3.2 cm D. 3.6 cm B 　 4. 某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，那么 该建筑物的高为 米. 5. （2025•龙华区二模）立一表高八尺，影长六尺；今有一楼，影长四丈五 尺.问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆， 其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长4丈5尺（即45尺），这栋楼有多高？ 根据题意，求得这栋楼高 尺. 21.6 60 　 6. 如图，李强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端 B，此时EA＝25米，CE＝2.5米.已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请 计算出教学楼AB的高度.（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 解：根据题意，得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AB＝16. 即教学楼AB的高度为16米. 　 7. （2025秋•龙华区期中）早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量 日高的公式——“重差术”.如图，用长度为a的杆子（“表”）在间距为d 的两个地点测日影，测得影长分别为s1，s2，用这种方式计算出的日高公式 H＝ .（用含a，d，s1，s2的代数式表示） ​ 　 解析：如图，∵AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG， ∴AB∥CD∥EF， ∴△EFG∽△ABG，△CDO∽△ABO， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ＝ ， 解得H＝ .故答案为 . 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：设他同学的影长为x m， ∵同一时刻物高与影长成正比例， ∴ ＝ ，解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解， ∴他同学的影长为2 m. 　 变式训练1　解：∵旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端 的距离为13米， ∴旗杆的高度为 ＝5（米）. 设这座纪念塔的高度为x米，由题意可得 ＝ ， 解得x＝25， 即这座纪念塔的高度为25米. 　 【例2】　解：如图，过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，则 BH⊥CD， ∴∠BGD＝∠BHF＝90°. 由题意得AB＝CG＝EH＝1.6 m，AC＝BG＝2 m， CE＝GH＝10 m， ∴BH＝BG＋GH＝2＋10＝12（m）. ∵CD＝3 m，∴DG＝CD－CG＝3－1.6＝1.4（m）. ∵∠DBG＝∠FBH，∴△BDG∽△BFH，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，解得FH＝8.4， ∴EF＝FH＋EH＝8.4＋1.6＝10（m），∴大树的高度EF为10 m. 　 变式训练2　解：对图形进行点标注，如图所示. ∵ED⊥AD，BC⊥AC， ∴ED∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴ ＝ . ∵AD＝8 m，AC＝AD＋CD＝30 m，ED＝3.2 m， ∴ ＝ ， ∴BC＝12，即旗杆的高为12 m. 　 【例3】　解：∵∠AEB＝∠CED，∠ABC＝∠CDE＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AB＝6.4，即凉亭AB的高度为6.4米. 　 变式训练3　解：如图，过F作FH⊥CD于点H，延长HF交AE于点G， ∵AE∥BF∥CD，∴HG⊥AE， ∴AG＝BF＝CH＝1 m，FG＝AB＝0.9 m，BC＝FH＝6 m. 由题意得，∠EFG＝∠DFH， ∵∠FGE＝∠FHD＝90°，∴△FGE∽△FHD， ∴ ＝ ，∴ ＝ ， ∴DH＝4， ∴CD＝DH＋CH＝4＋1＝5（m）. 即旗杆的高度为5 m. 　 【随堂小测】 1. B　2.B　3.B　4.21.6　5.60 6. 解：根据题意，得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AB＝16. 即教学楼AB的高度为16米. 　 7. 　解析：如图，∵AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG， ∴AB∥CD∥EF， ∴△EFG∽△ABG，△CDO∽△ABO， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ＝ ， 解得H＝ .故答案为 . 　 $