☆ 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦特殊平行四边形，围绕内嵌正八边形、内接四边形及菱形等核心内容展开。课堂从建筑多边形嵌套图案导入，通过观察判断、折纸操作到尺规作图与证明，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合实践操作与问题探究，以数学眼光观察建筑图案，通过折纸和尺规作图培养空间观念，借助内接菱形面积对比提升推理能力与应用意识。学生能在探究中深化理解，教师可利用分层训练优化教学效果。

第一章　特殊平行四边形 ☆ 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 　 1 在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案.如果一个正方形里嵌套了一 个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我 们称这个正八边形内嵌于这个正方形.正八边形内嵌于正方形，可能有哪些 情形？请你画出相应的草图. 　 【例1】综合与实践 如图1，在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案.如果一个正方形里面 嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边 上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.如图2是一个正方形. 【观察判断】（1）图3中可以称为正八边形内嵌于正方形的是 ⁠； A 解析：根据题意得图3中可以称为正八边形内嵌于正方形的是A. 故答案为A. 　 【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图4所示. （2）请按照折纸的思路在图2中作内嵌正八边形并证明.（要求：尺规作 图，不写作法，保留作图痕迹） 　 如图，正八边形LGFIHKJE即为所求作. 证明：设AO＝a，则AD＝AB＝BC＝CD＝ a， ∵AE＝AF＝BG＝BH＝CI＝CJ＝DK＝DL＝AO＝a， ∴∠ALG＝∠AGL＝∠BFI＝∠BIF＝∠CHK＝ ∠CKH＝∠DJE＝∠DEJ＝45°， AL＝AG＝BF＝BI＝CH＝CK＝DJ＝DE＝ a－a， ∴GL＝FI＝HK＝EJ＝2a－ a， ∠GLE＝∠LGF＝∠GFI＝∠FIH＝ ∠IHK＝∠HKJ＝∠KJE＝∠JEL＝135°. ∵LE＝AD－AL－DE＝ a－（ a－a）－（ a－a）＝2a－ a， 同理可得GF＝IH＝KJ＝2a－ a， ∴GF＝FI＝IH＝HK＝KJ＝JE＝EL＝LG， ∴八边形LGFIHKJE是正八边形. 　 古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性.如图，某亭子的平 面图是由正方形和正八边形复合而成，则 ＝ 　​ 　. ​ 　 【例2】在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD边 上的点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形. （1）如图1，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，四边形EFGH为▱ABCD 的内接四边形，对角线EG，FH都经过点O. 求证：四边形EFGH为平行四 边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠GCO. 在△AOE和△COG中， ∴△AOE≌△COG（ASA）， ∴OE＝OG， 同理可得OF＝OH， ∴四边形EFGH为平行四边形. 　 （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规在▱ABCD中作出对角线最短的内接矩 形EFGH. （不写作法，保留作图痕迹） 解：如图. 四边形EFGH（或四边形EF′GH′）即是满足条件的四边形. 　 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正 三角形，E，F在菱形边上. （1）证明：不论E，F在BC，CD上如何移动，总有BE＝CF. 证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，BC∥AD. ∵∠BAD＝120°， ∴∠B＝180°－∠BAD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC. 　 ∵△AEF为正三角形， ∴AE＝AF. ∵∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△ABE≌△ACF， ∴BE＝CF. 　 （2）当点E，F在BC，CD上移动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的 面积是否发生变化.如果不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大 （小）值. 解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化. ∵△ABE≌△ACF， ∴S△ABE＝S△ACF， ∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC. ∵AB＝4，∠B＝60°， ∴AC＝4，BD＝4 ， ∴S菱形ABCD＝ AC•BD＝8 ， ∴S四边形AECF＝ S菱形ABCD＝4 . 当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大， 　 当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小. ∵△ABC是等边三角形，AB＝4， ∴AE＝2 ， ∴S△AEF＝ ×2 ×3＝3 ， ∴△CEF的面积最大值为 S四边形AECF－S△AEF＝4 －3 ＝ . 　 1. 如图，正八边形和正方形有一边重合，则∠ABC为 ⁠°. 135 　 2. 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD边上的 点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形.如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝6，若四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形，则AE的 取值范围是 ⁠. ≤AE≤ 　 解析：∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝GH，EF∥GH. ∵AF∥CH，且∠AFE，∠CHG是锐角，∴∠AFE＝∠CHG. ∵∠A＝90°＝∠C，∴△AEF≌△CGH（AAS），∴AE＝CG. 设AE＝a＝CG，DH＝b，则DE＝AD－AE＝BC－AE＝6－a， CH＝CD－DH＝AB－DH＝4－b. ∵EH＝GH，∴DE2＋DH2＝CH2＋CG2， 即（6－a）2＋b2＝（4－b）2＋a2，化简得b＝ a－ . ∵b≥0，4－b≥0， ∴ 解得 ≤a≤ . 　 3. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程. 已知：△ABC. 求作：菱形AEDF，使点E在AB上，点D在BC上，点F在 AC上. 作法：①作∠BAC的平分线，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线， 交AB于点E，交AC于点F；③连接DE，DF. 所以四边形AEDF为所求的菱形. （1）请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） 解：（1）根据小明的作法补全图形如图所示. 　 （2）若∠BAC＝60°，AD＝2 ，则四边形AEDF的周长为 ，它的 面积为 ⁠. 8 2 　 解析：∵AE＝AF，∠BAC＝60°，∴△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝AF. ∵AD⊥EF，∴EI＝FI＝ EF＝ AE，∴AE＝2EI. ∵AD＝2 ，∴AI＝DI＝ AD＝ . ∵AI＝ ＝ ＝ EI＝ ， ∴EI＝1，∴EF＝AE＝2EI＝2， ∴AE＋DE＋AF＋DF＝4AE＝8，S四边形AEDF＝ AD•EF＝ ×2 ×2＝ 2 ，∴四边形AEDF的周长为8，它的面积为2 . 故答案为8，2 . 　 4. 已知▱ABCD. （1）如图1，E是AD上一点，以点C为圆心，AE的长为半径作弧，交BC 于点F，连接AF，CE. 求证：四边形AFCE是平行四边形. 证明：由作图可得AE＝CF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴四边形AFCE是平行四边形. 　 4. 已知▱ABCD. （2）图1中▱AFCE的四个顶点在▱ABCD的边上，这样的四边形叫 ▱ABCD的内接四边形.在图2中用直尺和圆规作一个▱ABCD的内接菱形 （保留作图痕迹）. 解：如图，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点E，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F，连接EF，则菱形ABEF即为所求（答案不唯一）. 　 5. 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应 的任务. 作矩形的最大内接菱形的方法 　　顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形.在实践活动课上，数学老 师提出一个问题：“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”. 实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法. 　 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个 直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1），则四边形EHGF是矩形 ABCD的内接菱形. 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重 叠的部分形成四边形AECF，则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形 （如图2）. 　 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与 AD边交于点E，与BC边交于点F，连接AF，CE，则四边形AECF是矩 形ABCD的内接菱形. 对实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得 出矩形的最大内接菱形. 　 任务： （1）图1中菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为 ⁠； ​ 解析：由题意得AB＝FH，AD＝EG. ∵菱形EHGF的面积＝ EG•HF＝ AD•AB， 矩形ABCD的面积＝AD•AB， ∴菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为 ，故答案为 . 　 （2）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程.（保留 作图痕迹，不要求写作法） 如图1所示，四边形AFCE即为所求. 　 （3）若在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，请你根据日记中的三种方法， 通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值. 　 方法二：如图2， ∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N，AB＝CN， ∴△ABF≌△CNF（AAS）， ∴AF＝CF. 设AF＝CF＝x. ∵∠B＝90°，AB2＋BF2＝AF2， ∴62＋（18－x）2＝x2， ∴x＝10， ∴菱形AECF的面积＝10×6＝60. 方法三：同理方法二，S菱形AECF＝60， ∵54＜60， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60. 方法一：菱形EFGH的面积＝ 矩形ABCD的面积＝ ×6×18＝54； 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：（1）A　解析：根据题意得图3中可以称为正八边形内嵌于正 方形的是A. 故答案为A. （2）如图，正八边形LGFIHKJE即为所求作. 　 证明：设AO＝a，则AD＝AB＝BC＝CD＝ a， ∵AE＝AF＝BG＝BH＝CI＝CJ＝DK＝DL＝AO＝a， ∴∠ALG＝∠AGL＝∠BFI＝∠BIF＝∠CHK＝∠CKH＝∠DJE＝ ∠DEJ＝45°，AL＝AG＝BF＝BI＝CH＝CK＝DJ＝DE＝ a－a， ∴GL＝FI＝HK＝EJ＝2a－ a，∠GLE＝∠LGF＝∠GFI＝∠FIH＝ ∠IHK＝∠HKJ＝∠KJE＝∠JEL＝135°. ∵LE＝AD－AL－DE＝ a－（ a－a）－（ a－a）＝2a－ a， 同理可得GF＝IH＝KJ＝2a－ a， ∴GF＝FI＝IH＝HK＝KJ＝JE＝EL＝LG， ∴八边形LGFIHKJE是正八边形. 　 变式训练1　 【例2】　（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠GCO. 在△AOE和△COG中， ∴△AOE≌△COG（ASA），∴OE＝OG， 同理可得OF＝OH， ∴四边形EFGH为平行四边形. 　 （2）解：如图. 四边形EFGH（或四边形EF′GH′）即是满足条件的四边形. 　 变式训练2　（1）证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，BC∥AD. ∵∠BAD＝120°，∴∠B＝180°－∠BAD＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC. ∵△AEF为正三角形，∴AE＝AF. ∵∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△ABE≌△ACF， ∴BE＝CF. 　 （2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化. ∵△ABE≌△ACF，∴S△ABE＝S△ACF， ∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC. ∵AB＝4，∠B＝60°，∴AC＝4，BD＝4 ， ∴S菱形ABCD＝ AC•BD＝8 ，∴S四边形AECF＝ S菱形ABCD＝4 . 当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大， 当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小. ∵△ABC是等边三角形，AB＝4，∴AE＝2 ， ∴S△AEF＝ ×2 ×3＝3 ， ∴△CEF的面积最大值为S四边形AECF－S△AEF＝4 －3 ＝ . 　 【随堂小测】 1.135 2. ≤AE≤ 　 解析：∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝GH，EF∥GH. ∵AF∥CH，且∠AFE，∠CHG是锐角，∴∠AFE＝∠CHG. ∵∠A＝90°＝∠C，∴△AEF≌△CGH（AAS），∴AE＝CG. 设AE＝a＝CG，DH＝b，则DE＝AD－AE＝BC－AE＝6－a，CH＝ CD－DH＝AB－DH＝4－b. ∵EH＝GH，∴DE2＋DH2＝CH2＋CG2， 即（6－a）2＋b2＝（4－b）2＋a2，化简得b＝ a－ . ∵b≥0，4－b≥0，∴ 解得 ≤a≤ . 　 3. 解：（1）根据小明的作法补全图形如图所示. （2）8　2 　解析：∵AE＝AF，∠BAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形，∴EF＝AE＝AF. ∵AD⊥EF，∴EI＝FI＝ EF＝ AE，∴AE＝2EI. ∵AD＝2 ，∴AI＝DI＝ AD＝ . ∵AI＝ ＝ ＝ EI＝ ，∴EI＝1， ∴EF＝AE＝2EI＝2，∴AE＋DE＋AF＋DF＝4AE＝8， S四边形AEDF＝ AD•EF＝ ×2 ×2＝2 ， ∴四边形AEDF的周长为8，它的面积为2 . 故答案为8，2 . 　 4. （1）证明：由作图可得AE＝CF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴四边形AFCE是平行四边形. （2）解：如图，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点E，以点 A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F，连接EF，则菱形ABEF即 为所求（答案不唯一）. 　 5. 解：（1） 　解析：由题意得AB＝FH，AD＝EG. ∵菱形EHGF的面积＝ EG•HF＝ AD•AB，矩形ABCD的面积＝AD•AB， ∴菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为 ，故答案为 . （2）如图1所示，四边形AFCE即为所求. 　 （3）方法一：菱形EFGH的面积＝ 矩形ABCD的面积＝ ×6×18＝54； 方法二：如图2， ∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N，AB＝CN， ∴△ABF≌△CNF（AAS），∴AF＝CF. 设AF＝CF＝x. ∵∠B＝90°，AB2＋BF2＝AF2， ∴62＋（18－x）2＝x2，∴x＝10， ∴菱形AECF的面积＝10×6＝60. 方法三：同理方法二，S菱形AECF＝60， ∵54＜60，∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60. 　 $