精品解析：江苏徐州市2025-2026学年第二学期期末抽测高二数学试卷

2025～2026学年度第二学期期末抽测 高二年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【详解】已知随机变量，因此正态分布密度曲线的对称轴为. 由于数值2和4关于对称轴对称，根据正态分布的对称性可得. 已知，因此. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原不等式等价于. 解得或， 即原不等式的解集为. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 4. 在7件产品中有2件不合格品，从中任取3件，用随机变量表示取出的3件中不合格品的件数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据超几何分布概率计算公式计算求解即可. 【详解】由题意可得. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解两个不等式对应的实数解集，再结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可. 【详解】可化为，可化为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 6. 现有5种不同的颜色，对如图所示的四个方格涂色，要求有公共边的两个方格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 260种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，根据对角位置的方格颜色是否相同进行分类讨论求解. 【详解】设四个方格分别为（左上）、（右上）、（左下）、（右下）， 其中与不相邻，与不相邻. 根据与涂色是否相同，分两类情况讨论： 第一类：与涂同一种颜色， 涂，有5种选法；涂，因与同色，有1种选法； 涂，因与、相邻（即与相邻），有4种选法； 涂，因与、相邻（即与相邻），有4种选法。 根据分步乘法计数原理，此类情况共有种方法； 第二类：与涂不同种颜色， 涂，有5种选法；涂，因与不同色，有4种选法； 涂，因与、均相邻且、颜色不同，故需避开这两种颜色，有3种选法； 涂，因与、均相邻且、颜色不同，故需避开这两种颜色，有3种选法. 根据分步乘法计数原理，此类情况共有种方法. 综上所述，不同的涂色方法共有种. 7. 已知随机变量的概率分布如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用离散型随机变量所有概率和为1求出，再结合期望公式求出，最后代入方差公式计算结果. 【详解】由题意可得，解得， 又，所以，即，即，得， 所以. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原式两边取以为底的对数，得到的对数表达式，再通过对数的运算性质（乘积的对数等于对数的和、对数的幂运算）对表达式进行变形，逐项验证即可. 【详解】已知，两边取以为底的对数，可得： ，， ， 则， 因此. 选项A，，，， 乘积为：，A错误. 选项B，左边， 右边， ，B错误. 选项C，由(1)(2)(3)得：，，， 因此： ，C正确. 选项D， ，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 10. 某厂用1号、2号、3号车床加工同一型号的零件，它们的产量之比为，次品率分别为4%，5%，6%，加工出来的零件混放在一起．现任取一个零件，设事件：零件为号车床加工，事件：取一个零件为次品，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据产量占比计算各车床生产零件的概率，再结合条件概率、全概率公式与贝叶斯公式逐一判断选项即可. 【详解】选项A：1号、2号、3号车床产量比为2:3:5， 故，A错误. 选项B：表示在零件为2号车床加工的条件下，取一个零件为次品的概率， 因为零件为2号车床加工的概率， 零件为2号车床加工且是次品的概率， 所以，B正确. 选项C：由全概率公式可得：， C错误. 选项D：由贝叶斯公式可得： ，D正确. 11. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用换元法化简已知二项式，得出二项式展开式的通项，进而利用二项式的性质结合选项逐一分析判断． 【详解】令，则，原式化为， 由二项式定理，展开式通项为； 选项A：已知，代入通项，当时， ，等式成立，故A正确； 选项B：令，则，故B错误； 选项C：令，代入展开式， 故，则，故C正确； 选项D：，则，代入， 则 ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出和的坐标，结合向量夹角公式计算夹角的余弦值，进而确定角度大小. 【详解】如图所示，以正八面体中心为原点，设各顶点坐标为：，，，，可得：， 根据异面直线夹角公式可得： 因为异面直线夹角范围是， 所以，即与的夹角为. 14. 8名同学围成一圈玩传球游戏，初始时球在甲同学手中．每轮抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，根据掷出的点数，沿顺时针方向依次传递个人．经过三轮，球回到甲手中的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】8名同学围成一圈，球回到甲手中等价于传递总点数之和是8的倍数，每轮骰子点数为，总点数为，故只能是和，用隔板法分别计算两种情况的数量，再除以总情况即可． 【详解】每轮掷骰子有6种可能结果，三轮共种， 总点数为8的情况，即求方程的正整数解，， 由隔板法，三个数最小和为3，最大单个点数为6，故和为8的正整数解总数为， 令，，方程转化为， 正整数解个数为，所有解均满足，故和为的情况总数为6， 综上符合条件的总数为，故所求概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下： 1 2 3 4 5 130 170 220 280 350 （1）求样本相关系数；（精确到0.01） （2）求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量． 附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，． 【答案】（1）样本相关系数约为 （2）经验回归方程为，第7天该饮品的销量预测为450杯 【解析】 【分析】（1）计算出和的样本均值，代入公式求解即可. （2）求出回归系数与截距，得到经验回归方程，代入即可完成销量预测. 【小问1详解】 样本均值，， 则， ， 因此. 【小问2详解】 回归系数， 截距， 故经验回归方程为. 将代入回归方程，得， 即第7天销量预测为450杯. 16. 某校引入智慧体育训练系统，为验证该系统对学生体测达标率的提升效果，统计样本数据如下（单位：人）： 体测未达标 体测达标 合计 使用系统 10 30 40 未使用系统 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否有99.9%的把握认为使用智慧体育训练系统和学生体测达标有关？ （2）用样本频率估计概率，现从该校所有体测达标的学生中随机抽取3人，其中使用智慧体育训练系统的人数记为随机变量，求的概率分布及数学期望． 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为使用智慧体育训练系统和学生体测达标有关； （2）的分布列 0 1 2 3 数学期望【解析】 【分析】（1）提取列联表数据代入公式计算，将结果与临界值比较得出结论； （2）先求抽到达标且使用系统学生的概率，判断X服从二项分布，再分别计算各取值概率及期望. 【小问1详解】 由列联表：，总样本, 代入公式, 所以有 99.9% 的把握认为使用智慧体育训练系统和学生体测达标有关； 【小问2详解】 样本达标学生共 45 人，其中使用系统 30 人， 用频率估计概率，随机抽取1名达标学生使用系统的概率， 随机变量表示抽取3人中使用系统的人数，故，的可能取值为，则 ，，，， 所以的分布列是 0 1 2 3 所以. 17. 已知． （1）当时，若展开式中第4项的二项式系数是第2项的二项式系数的2倍，求展开式中系数最大的项； （2）当时，对，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理的二项式系数定义、通项公式及系数最值求解方法； （2）本题考查二次函数区间恒成立问题，利用开口向上二次函数区间最大值在端点取得的性质求解参数范围. 【小问1详解】 当 时 ，二项式展开第项的二项式系数为， 由题意得，所以，约去得， ，解得（负根舍去）, 又二项式的展开式通项为， 系数为正则为偶数，计算得 对应系数分别为， 所以最大系数对应，此时; 【小问2详解】 当时， 代入不等式化简得对恒成立， 二次函数开口向上，区间最大值在端点取得， 因此只需，解得，所以，即实数的取值范围是. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． （1）当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）建立合适的空间直角坐标系，求相关平面的法向量即可得到答案； （ii）利用点到平面距离的空间向量法即可得到答案； （2）利用线面角的空间向量法得到表达式，再利用基本不等式和二次函数性质即可求出最值. 【小问1详解】 （i）以为原点，为正交基底建立空间直角坐标系， 当为中点时，，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 由于平面的法向量为， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为． （ii）设，则， 因为,,,四点共面，所以设， 即，得，当时，， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，取，得， 所以点到平面的距离为． 【小问2详解】 由（1）得，易得平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为 ，当且仅当时取等号，此时， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19. 有张卡片，编号分别为，，…，．现进行次操作：前次每次从中不放回地随机抽取一张卡片，并记录其编号；后次不再抽卡片，每次只记录前次抽到卡片的最大编号．记为这次记录的全部编号之和． （1）当，，时， （ⅰ）求在抽出的两张卡片中有一张编号大于2时，另一张编号也大于2的概率； （ⅱ）求； （2）若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则．当时，求的最大值． 【答案】（1）（ⅰ）；（ii）. （2）最大值为. 【解析】 【分析】（1）（i）根据条件概率公式即可得到答案； （ii）写出的可能取值，再计算出其所对应的概率，最后计算期望即可； （2）计算，，从而得到，最后利用基本不等式即可得到最大值. 【小问1详解】 （i）当时， 记＂有一张卡片编号大于2＂为事件，＂另一张卡片编号大于2＂为事件， 因为， 所以． （ii）的可能取值为5,7,8,9,10,11,12,13,14， , , 分布列如下： 5 7 8 9 10 11 12 13 14 所以． 【小问2详解】 设前次中，第次摸到的卡片的编号为，记这个编号的和为， 则的所有可能取值为，则， 所以， 所以． 记前次记录的最大编号为，则的所有可能取值为， , 所以， 因为， 所以． 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末抽测 高二年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在7件产品中有2件不合格品，从中任取3件，用随机变量表示取出的3件中不合格品的件数，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 现有5种不同的颜色，对如图所示的四个方格涂色，要求有公共边的两个方格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 260种 7. 已知随机变量的概率分布如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 某厂用1号、2号、3号车床加工同一型号的零件，它们的产量之比为，次品率分别为4%，5%，6%，加工出来的零件混放在一起．现任取一个零件，设事件：零件为号车床加工，事件：取一个零件为次品，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 14. 8名同学围成一圈玩传球游戏，初始时球在甲同学手中．每轮抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，根据掷出的点数，沿顺时针方向依次传递个人．经过三轮，球回到甲手中的概率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下： 1 2 3 4 5 130 170 220 280 350 （1）求样本相关系数；（精确到0.01） （2）求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量． 附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，． 16. 某校引入智慧体育训练系统，为验证该系统对学生体测达标率的提升效果，统计样本数据如下（单位：人）： 体测未达标 体测达标 合计 使用系统 10 30 40 未使用系统 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否有99.9%的把握认为使用智慧体育训练系统和学生体测达标有关？ （2）用样本频率估计概率，现从该校所有体测达标的学生中随机抽取3人，其中使用智慧体育训练系统的人数记为随机变量，求的概率分布及数学期望． 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知． （1）当时，若展开式中第4项的二项式系数是第2项的二项式系数的2倍，求展开式中系数最大的项； （2）当时，对，都有，求实数的取值范围． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． （1）当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 有张卡片，编号分别为，，…，．现进行次操作：前次每次从中不放回地随机抽取一张卡片，并记录其编号；后次不再抽卡片，每次只记录前次抽到卡片的最大编号．记为这次记录的全部编号之和． （1）当，，时， （ⅰ）求在抽出的两张卡片中有一张编号大于2时，另一张编号也大于2的概率； （ⅱ）求； （2）若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则．当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $