精品解析：江苏徐州市第一中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性测试数学试卷

高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 使不等式成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于实数，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则，.其中真命题的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 若的展开式中常数项是10，则（ ） A. B. C. D. 6. 设 ，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立．在甲获得冠军的条件下，比赛进行了四局就结束的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为1 D. 10. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 在棱长为的正方体中，点在底面内（含边界），为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 满足平面的点的轨迹长度为2 B. 若点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若平面，则点是上靠近点的四等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙3人排成一行，其中甲不排在第1位，乙不排在第2位，丙不排在第3位，则共有______种不同的排法． 13. 某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于毫米的概率为______． 14. 如图，在多面体中，，分别在平面的两侧，且平面平面，平面平面，，若四边形是边长为的正方形，（），则二面角余弦值的取值范围为______． 四、解答题：本题共有5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设． （1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式． 16. 已知函数（a为常数）， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）不等式在上有解，求实数a的取值范围． 17. 为了了解一定范围内高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下表）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 60 75 80 95 105 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； （2）该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，请求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为80分钟时的数学成绩． （附：， ，， ，，，） 18. 如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 一袋中共有个乒乓球，其中有个黄球，个白球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出黄球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个黄球放入袋中，重复上述过程次后，袋中黄球的个数记为. （1）求随机变量的分布列及数学期望 ； （2）设， ，求 ； （3）求随机变量的数学期望关于的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 2. 使不等式成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分必要条件的定义，利用集合的包含关系即可判断. 【详解】因，即不等式的解集为， 该不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集，故可以排除B，C，D， 因是的真子集，故使不等式成立的一个充分不必要条件为. 故选：A 3. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 4. 对于实数，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则，.其中真命题的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质判断各命题的真假即可. 【详解】对于①：若，当时，，此时不成立，假命题； 对于②：若，可知，则有，真命题； 对于③：若，则，真命题； 对于④：由得，即，因为，所以，所以， 又，所以，真命题； 综上，真命题的个数是3. 故选：A 5. 若的展开式中常数项是10，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在的展开式中常数项为， 依题意，，所以. 6. 设 ，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用对立事件概率公式和全概率公式求解. 【详解】由题意，，，，， 由全概率公式， 因为，则， ，解得. 7. 古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，两两垂直，将四棱锥补形为长方体， 长方体的体对角线长为：， 所以外接球半径为，外接球的表面积为：. 8. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立．在甲获得冠军的条件下，比赛进行了四局就结束的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可. 【详解】比三场，甲赢的概率为； 比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为； 比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为； 所以甲赢的概率为， 所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了四局的概率为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，可求得，从而得，对于A，利用赋值法即可判断；对于B，由题意可得，利用二项式展开式的通项公式，即可判断；对于C，由题意可得，利用二项式展开式的通项公式，即可判断；对于D，对函数的两个解析式分别求导，再令，即可判断. 【详解】令，则有， 因为，则得，解得， 所以， 对于A，令，则有， 所以，故A错误； 对于B，因为， 其展开式的通项为：， 令，得， 所以，故B正确； 对于C，因为， 其展开式为： ， 所以除以6所得余数为1，故C正确； 对于D，因为， 求导得， 令,得； 又因为，则， 令,得，所以，故D正确. 10. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】将题设条件拼凑分解成，代入消元后利用二次函数单调性即可判断A项；设，利用结合基本不等式计算可逐一判断B，C，D. 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，故A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B错误； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 11. 在棱长为的正方体中，点在底面内（含边界），为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 满足平面的点的轨迹长度为2 B. 若点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若平面，则点是上靠近点的四等分点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的性质可知点的轨迹为线段，即可判断；利用空间向量求出点到直线的距离的最小值为，即可判断B；求出设关于平面的对称点为，利用空间中两点间距离公式，求出的值，即可判断C；由题意可得,,求出点的坐标，再验证是否成立，从而判断D. 【详解】对于A，连接, 因为,平面,平面, 所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面，且， 所以平面平面， 所以当点时，平面， 此时平面， 所以点的轨迹为线段， 又因为正方体的边长为， 所以，故A正确； 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间坐标系： 则,,,,,,,,, 对于B，当点在棱上运动，设， 因为，， 设与的夹角为，点到直线的距离为， 则 ， 所以当时，取最小值，为， 即点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，设关于平面的对称点为，则， 当点为与平面的交点时，取最小值，其长度为,故C正确； 对于D，设，则， 又因为, 且平面， 所以,, 则，解得， 所以， 所以, 又因为, 所以， 所以点是上靠近点的四等分点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙3人排成一行，其中甲不排在第1位，乙不排在第2位，丙不排在第3位，则共有______种不同的排法． 【答案】2 【解析】 【分析】先排甲，得到种排法，再分别排乙、丙各有一种排法，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】由甲、乙、丙3人排成一行，其中甲不排在第1位，乙不排在第2位，丙不排在第3位， 可先排甲，甲从第位或第位中选一个位置，共有种排法， 则乙只有一种选法，丙只有一种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的排法. 13. 某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于毫米的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正态分布的性质求出，然后根据独立重复试验的概率公式求解. 【详解】零件长度（单位：毫米）服从正态分布， ， 所以， 设该工厂同批生产的4个零件仅有1个零件的长度大于毫米为事件， 则. 14. 如图，在多面体中，，分别在平面的两侧，且平面平面，平面平面，，若四边形是边长为的正方形，（），则二面角余弦值的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用面面垂直性质建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据向量点积公式求二面角余弦值表达式，通过换元法求表达式的值域，得到二面角余弦值的取值范围. 【详解】建立以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向， 垂直平面方向为轴的空间直角坐标系， 则， 因为平面平面，交线为，因此平面为（平面）， 的横坐标，，，， 由勾股定理可得， 设且，联立方程， 解得，，即， 同理，平面平面，交线为，在平面下方， 同理得，在面中，法向量为沿着轴方向的单位向量， 在面中，设法向量为， 向量，则， 即，解得， 所以面的法向量为， 二面角余弦值为， 令，则， 对等式两边平方得，再令， 令，所以， 由二次函数性质可得，当时，， 当或时，，且， 因此的范围是，即原表达式可简化为， 整理可得，​ 该函数是关于的增函数， 当时，， 当时，，且， 因此得到，又因为二面角为钝角， 所以，对不等式开方得. 四、解答题：本题共有5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设． （1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）时解集为；时解集为． 【解析】 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【小问1详解】 当时不满足题意， 当时，需使， 解得． 【小问2详解】 由题设，则， 因为，不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 16. 已知函数（a为常数）， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【小问1详解】 当时，，， ，， 曲线在点处的切线方程． 【小问2详解】 在上有解在上有解， 在上有解， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，， 所以当时，取最小值，， 所以，故实数a的取值范围是． 17. 为了了解一定范围内高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下表）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 60 75 80 95 105 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； （2）该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，请求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为80分钟时的数学成绩． （附：， ，， ，，，） 【答案】（1）0.992 （2），116分． 【解析】 【分析】（1）根据所给数据计算出相关系数. （2）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测. 【小问1详解】 因，， ， ， ， ． 【小问2详解】 由（或者）， ， 故得， 当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到80分钟时的数学成绩为116分． 18. 如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，， ，，平面，平面， 平面，∴平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点作于，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法可得； （3）由空间点到面的距离公式计算可得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，． 作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，， 又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，， ， ， 故平面与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． 19. 一袋中共有个乒乓球，其中有个黄球，个白球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出黄球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个黄球放入袋中，重复上述过程次后，袋中黄球的个数记为. （1）求随机变量的分布列及数学期望 ； （2）设， ，求 ； （3）求随机变量的数学期望关于的表达式． 【答案】（1） 3 4 5 数学期望 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）根据给定条件，按分类，结合全概率公式求出. （3）利用期望的定义求出与的关系，再利用构造法，结合等比数列定义求解. 【小问1详解】 当时，取出黄球的概率为，取出白球的概率为， 的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为 3 4 5 的数学期望. 【小问2详解】 当时，即第次操作后袋中有3个黄球，白球4个，则； 当时，第次操作后袋中有个黄球的可能性有两种： ①第次操作后袋中有个黄球，白球个，第次取出来的也是黄球，其概率为， ； ②第次操作后袋中有个黄球，白球个，第次取出来的是白球，其概率为， ； 因此， ； 所以. 【小问3详解】 由，，得，， 又，，， ，， 因此 ， 则，由，得，， 于是，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $