江苏省盐城市亭湖区2025-2026学年高二第二学期期末质量监测数学试题

**基本信息** 融合古巴比伦月相数列、航天科研安排等文化与科技情境，通过梯度设计考查数学抽象、逻辑推理及数据分析等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、统计（上四分位数）、空间向量、数列（古巴比伦月相）|结合文化遗产设计等比等差综合题| |多项选择|3/18|二项式定理、抛物线、正方体动态问题|多角度考查几何直观与空间观念| |填空|3/15|条件概率、双曲线离心率（菱形）、函数零点（关联函数）|创新定义“关联函数”考查数学语言表达| |解答题|5/77|数列、立体几何（二面角）、概率分布列（便利店抽奖）、椭圆（定点与面积范围）、导数（恒成立与零点）|以便利店抽奖、椭圆综合问题考查模型意识与运算能力，导数题分层设计论证逻辑|

2025～2026学年第二学期期末质量监测 高二数学试题 注意事项： 1. 本试卷共4页，19小题，满分150分；考试时间120分钟。 2. 答题前，请务必将学校、姓名、班级、准考证号填写在试卷及答题卡上。 3. 作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上指定区域内作答；在其它位置作答一律无效。考试结束后，请将答题卡交回。 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．已知样本数据15，28，30，32，37，39，41，43，则这组样本数据的上四分位数是（    ） A．29 B．31 C．40 D．42 3．已知空间向量，，且，则（    ） A．2 B．-1 C．1 D．2 4．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知变量x，y的数据如下若x与y的回归直线方程为，则（ ） x 3 4 6 7 y 2.5 3 m 5.9 A．3.5 B．4 C．4.2 D．5 6．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．16种 C．24种 D．30种 7．古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 8．如图､在等边三角形中，点 分别在边，边上，且，, 将三角形沿折起，将点翻折至点处， 使得平面平面，则直线与 所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。 9．已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（    ） A． B． C．的面积是 D． 11．在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（　　） A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹长度为 C．当在线段上时，直线与平面平行 D．当在线段上时，直线与平面所成角最大值为 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知事件A和B满足，，，则__________． 13．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 14．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是______． 四、解答题：共5题，15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分。 15．已知是等差数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 16．如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 17．某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券．已知每位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖． (1)求该顾客获得优惠券金额的分布列及数学期望； (2)若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获得20元优惠券的概率． 18．已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且. (1)求椭圆方程； (2)求证：直线过定点； (3)弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围. 19．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)若对恒成立，求整数的最小值； (3)当时，证明：在上存在唯一零点和唯一极小值点，且. 高二数学 第1页 共3页 高二数学 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年第二学期期末质量监测 高二数学答案 单项选择题：共8小题，满分40分。 题号 1 2 3 5 6 8 答案 B U A D B C D B 二、多项选择题：共3小题， 满分18分. 题号 9 10 11 答案 BC ABD AC 三、填空题：共5小题，满分15分. 2名 13.V5+1 「310Y 14. 23 四、解答题：共5大题，满分77分。 15.(1)设等差数列{an}的公差为d, a,+2(a+d)=5 因为4+2a2=5,S=36,所以 8a+28d=36 ，解得 d=1, 有a。=1+(n-1)x1=n,故数列{a,}的通项公式为a,=n. (2)由(1)可得bn=an×2”=n×2, 所以Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2”, 则2T,=1×22+2×2+3×24+L+n×21 两式作差得-T=2+22+23+…+2”-n×2+1， 所以7=nx2-+2+2++2"）=nx2_2-2）-a-lx2+2. 1-2 16.(1)因为PA⊥底面ABCD,ADc底面ABCD,所以AD⊥PA. 又底面ABCD为矩形，所以AD L AB, 又PA,ABC平面PAB,且PAOAB=A,所以AD⊥平面PAB. 又PBc平面PAB,所以PB⊥AD. (2)以A为原点，建立如下图空间直角坐标系. A B 易知A0,00,B(2,00),D0,22,0),E(2,1)所以AD=(0,22,0),AE=1V2,1) 设平面ADE的法向量为i=(x,y,z), AD AD=22y=0 则 万E=x+V2+2=0可取万=L0-1). 取平面ABCD的法向量m=(O,0,1)」 设二面角B-AD-E为B,则cos日= m列。-12 m元1×22’ 所以sin9=2 17.(1)设随机变量X表示该顾客获得的优惠券金额，则X∈0,5,20}，总的抽法 数为C%=15, 当抽到2个红球时，X=20,P(X=20)= =6_2 %155 当抽到1个红球1个白球时，X=5,P(x=5)=CC-8 C15 当抽到0个红球，即2个白球时、X=0,=心-号5 -1 所以X的分布列为 X 0 20 1 2 P 15 15 数学期望为 E(X)=0x2+5x +20x240 8 8=8+8=32 15 15 5153 3 (2②)设事件A表示1、位顾含获得20元优惠券”，则P(④)号， 因为3位顾客抽奖结果相互独立， 所以“获得20元优惠券的人数”服从参数为n=3,p号的二项分布。 设其中获得20元优惠券的人数为Y,则所求概率为P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3), 其中P(Y=2)= 8 所以PY≥2)-25+12s25 36844 18.(1)由题意可得2b=4,则b=2,2a=45,则a=2V5, 所以椭圆的标准方程为二+上 2*4; (2)连接MB,设M(G,y),N(x,),而A(23,0),B(2N5,0)月 因为活+号-1，所以-2=-，则，之 x+2V3x-2W3x2-12-3y23’ 因为kBN=3kMM,所以kaNkx=-l, 设直线MW的方程为x=my+t, x=my+t 则 +上-1得(m+3P+2mw+-12=0, 12 4 △=4m-4(m+3-12）48m2-12r2+144>0,y+y=-2 t2-12 2+3，y2= m2+3’ -25-25(my+1-25Xm+1-25, 化简可得(+m)+m(-25Xy+⅓)+(-25ヅ=0， 所以0：w)后号+6-2)+(-2j-0, 因为1≠25，所以(1+m(+25)2m1+(-25(m2+3)=0,解得1=5， 所以直线MN的方程为x=my+5,故恒过定点(W3,0)A (3)因为amka=有，所以aw=号 设直线OH的方程为y=-” x,即mx+3y=0, 3 mx+3y=0 则 则M(:,y)到PQ的距离为d,= mx +3y √m2+9 N(:,y2)到P的距离为d,= mx,+3y2 Vm2+9 m2 且mx+3y与mx,+3y异号，故Pg=y1+ 12 4Vm2+9 9√m2+3Vm2+3 S.+3Po+d4专+9+ Vm2+9 2 √m2+3 -m(my +t)+3y-m(my2 +t)-3y2=21m2+3y-y2l, 由(2)可知△=12(4m2+9）, 所以S=2m+326V4m2+9 45 4m2+9 =43, 3 4 m2+3 m2+3 m2+3m2≥0， 所以S≥4v5xV5=12且S<4V3×2=85, 所以s的取值范围为12,85)】 19(1)解：由函数f9=an(x+)-2sinx,可得f'(x)= -2c0sx, x+1 因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x, 所以f'(0)=a-2=1,解得a=3. (2)解：由f0=0,且f6)=-2cosx, x+1 由f'(0)=a-2≥0，可得a≥2， 当a=2时，=2(x+》-2sn,f月=2n(（经+小2<0，不符合，枚a3, 法一：当a=3时成立，此时f(x)=3ln(x+1)-2sinx, 当0<x≤1时，f(x)=3ln(x+)-2sinx>3ln(x+l)-2x, 令=3+-2，可得g)2- x+1’ 所以g在0》递增，在]道减 又g(0)=0,g)=3ln2-2>0,所以g(x)>0,即f(x)>0. 当1<x<π时，可得3ln(x+)>3ln2>2≥2sinx,所以f(x)>0. 所以当a=3时，均有f(x)=3n(x+l)-2sinx>0对x∈(0，)恒成立， 综上所述，整数a的最小值为3. 法二：当a=3时成立，此时f(x)=3ln(x+)-2sinx, 当0<时，fe)-2,令m=/e)=2a 可得m'(x)=2sinx- 在上递增 3 因为m'(0)<0,m 3 所以存在0使得m(,)=0,即2sn6+0, 义因为 所以6>君 3 .1-5=0, 则fk)2w-25n无-2as气>2号 所以)在0递增，有>f0)=0, 当<x<元时，0<元-x<<x, 2 所以f(x)=3ln(x+1)-2sinx>3n(π-x+l)-2sin(π-x)>0,也成立. 综上所述，整数a的最小值为3. (3)证明：由f)=an(x+)-2sinx,可得f()=a-2cosx, x+1 令p()=f)=-2cosx,可得(x)=2sinx- x+1 x+1, 当a∈(0，）)时，p'(x)=2sinx- 上递增， 而0<0，>0，所以存在6（0引， 使得p'(x)=0, 所以了)在0，)单调递减。在（马单调递增。 又0=a-2<0.s0<0,f}0 1女元 2 所以存在（引，使得()=0，所以在@)递减，在（递增 又当后时，f042o0,所以在e后递增， 所以f(x)在(0，x)单调递减，在单调(x,π)递增， 所以x=x是f(x)在(0，)上的唯一极小值点； 此时f(x)<f(0)=0,f(π)=aln(1+π)>0， 所以在x2∈(：，π)，即(0，)上存在唯一零点，使得f(:)=0, 下证：x32<2x. 因为（》 所以2x<元，又因为f(x)在(x,π)递增，只需证f(2x)>f(x2)=0, 因为=与是/的唯一极小值点，可得/代)-0，即2as5=0,可得 a=2(1+x)cosx 又因为f(2x)=aln(1+2x)-2sin2x=2(1+x)cosxIn(1+2x)-2sin2x>0,即 a2x)-20>0, 因为n<,只需证明，n0+2x）十0 令s=0+20-2,共中xe0引 1+x 则g6),22 2x2 1+2x0+x0+2x0+>0, 所以g6)在0上单调递增，8〔>g0=0, 所以g)h0+2x>0成立。证毕， 所以f(x)在(0，)上存在唯一零点x2和唯一极小值点x,且x<x,<2x.2025~2026学年第二学期期未质量监测 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 2.答题前，请务必将学校、姓名、班级、准考证号填写在试卷及答题卡上。 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上指定区域 内作答；在其它位置作答一律无效。考试结束后，请将答题卡交回。 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1.已知集合A=x≤2}B=-1≥0以则AnB=() A.{-2≤x≤I}B.{l≤x≤2}C.{xx2-2} D.{xx≥2} 2.已知样本数据15,28,30,32,37,39,41,43，则这组样本数据的上四分 位数是() A.29 B.31 C.40 D.42 3.已知空间向量a=(m,n,8),b=(-2,l,-4),且a/6,则m+n=() A.2 B.-1 C.1 D.2 4.已知随机变量X~N3,o2),且P(X>1)=0.7,则P3<X<5)=() A.0.6 B.0.35 C.0.3 D.0.2 5.已知变量x,y的数据如下若x与y的回归直线方程为y=0.78x-0.05,则m= 3 2.53 m 5.9 A.3.5 B.4 C.4.2 D.5 6.某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去A、B、C三所不同的 学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲、乙到同一所学 校，丙不到A学校，则不同的安排方式有多少种() A.12种 B.16种 C.24种 D.30种 高二数学第1页共4页 7.古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记 数列{an}为第n天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中1≤n≤15且neN)组 成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的8，即4=5；第15天为满月， 即a=240.若在数列{an}中，前5项构成公比为9的等比数列，第5项到第15项 构成公差为d的等差数列，且q,d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分 占满月的()》 N子 B. c.3 D. 5 8.如图、在等边三角形△ABC中AB=4,点D,E 分别在边AB,边AC上，且AD=1,∠ADE=90°， 将三角形ADE沿DE折起，将点A翻折至点P处， 使得平面PDE⊥平面BCED,则直线PB与CE 所成角的正切值为() A.30 √31 D 20 B. 3 C.-30 20 3 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。 日心知三项式告-的展开式中各项系数之和为点，则() 2 x A.展开式中共有6项 B.展开式中二项式系数的和为64 C展开式中常数项为吕 D.展开式中二项式系数最大的项是第3项 10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为1，过点F且斜率为√5的直线交抛 物线C于A,B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线I于MN两点（点M 在x轴上方).以下说法正确的有() A.AF=8 B.AM⊥I C.△BMN的面积是32√5 D.AF =3BF 11.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，P是侧面BCCB上一点，则() A.存在点P,使AP⊥BD B.若AP=5,则动点P的轨迹长度为买 C.当P在线段BC上时，直线DP与平面AB,D平行 D.当P在线段BC上时，直线DP与平面ABCD所成角最大值为 高二数学第2页共4页 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 2.已知事件A和B满足P(4)-,P(B)2,P(BA)-4,则P(4B) 3。在平面直角坐标系x0中，已知双曲线C。1a>0b>0)的左焦点为F, 点A,B在双曲线C上，若四边形OFAB为菱形，则双曲线C的离心率为 14.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数h(x)=f(x)g(x) 在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”·若 f()号+m与8)+2在血，]上是关联函数“，则实数m的取值范围是 四、解答题：共5题，15题13分，16,17题15分，18,19题17分，共77分. 15.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a,+2a2=5,S=36. (1)求数列{an的通项公式； (2)若b,=an×2”，求数列色n}的前n项和为Tn. I6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形，PA⊥底面ABCD,E是PC 中点，已知PA=AB=2,AD=2V2, (1)证明：PB1AD; (2)求二面角B-AD-E的正弦值 高二数学第3页共4页 17.某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即 可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2 个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获 20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券.已知每 位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖 (1)求该顾客获得优惠券金额X的分布列及数学期望： (2)若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获 得20元优惠券的概率. 8.已知椭圆E:二+1(a>h>0,短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距 离之和为4√3.设椭圆E的左右顶点为A,B,直线1交椭圆E于M,N两点（不 与A,B重合)，设直线AM的斜率为k,直线BN的斜率为k2,且3k-k3=0. (1)求椭圆方程； (2)求证：直线MW过定点； (3)弦MN的中点为H,直线OH与椭圆交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积S的 取值范围 19.已知函数f(x)=aln(x+l)-2sinx (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x,求实数a的值： (2)若f(x)>0对x∈(0，)恒成立，求整数a的最小值； (③)当a∈(0,1)时，证明：f(x)在(0，π)上存在唯一零点x2和唯一极小值点x,且 x<x2<2x. 高二数学第4页共4页