1.2 有理数与数轴 六升七暑假预习分层讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2026六升七暑假预习 1.2 有理数与数轴 预习分层讲义 （人教版七上）基础巩固 + 提升培优 + 变式训练（含解析） 一、学习目标（分层设计） 基础：掌握有理数的两种分类标准，记住数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能在数轴上标出简单的整数和分数。 提升：能正确将有限小数和无限循环小数归类为分数，能利用数轴比较两个有理数的大小。 培优：能解决数轴上点的左右移动问题，能对多类数字（含无理数标志π等）进行混合分类。 二、重点和难点 重点：有理数的两种分类方式；数轴的三要素；利用数轴比较有理数大小。 难点：无限循环小数和有限小数归属分数类；数轴上点向左/右移动后的数值计算（左减右加）。 三、课前预习导学 1. 整数包含：正整数、____、负整数；分数包含有限小数和____小数。 2. ____和____统称为有理数；无限不循环小数（如π）____有理数（填“属于”或“不属于”）。 3. 数轴三要素：____、正方向、单位长度，三者缺一不可。 4. 数轴规律：原点右侧是____数，左侧是____数；数轴上右边的数总比左边____（填“大”或“小”）。 预习疑问（请写出你的困惑）： ____________________________________________________________ 四、概念精讲（补充讲解） 1. 有理数的两种分类标准： （1）按定义分：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。 （2）按符号分：有理数分为正有理数、0、负有理数。 注意：有限小数（如0.3）和无限循环小数（如0.333…）都可以化为分数，因此它们都属于分数，是有理数。而无限不循环小数（如π、√2）不是有理数。 2. 数轴三要素（缺一不可）： （1）原点（0点，基准位置）； （2）正方向（通常规定向右为正）； （3）单位长度（每一格代表的数值，须均匀一致）。 3. 数轴比较大小： 数轴上，右边的数永远大于左边的数。正数 > 0 > 负数。 五、典例精讲 + 变式训练 【典例1】有理数分类（按定义） 把下列数字分别填入对应的集合圈内（整数、分数、非有理数）： -3、0、2.5、、π、-1.2 整数 分数 非有理数 解： 整数：{-3，0}（0是整数，不是正数也不是负数） 分数：{2.5，，-1.2}（2.5=，-1.2=-） 非有理数：{π}（无限不循环小数） 易错提醒：别漏掉0在整数里；π不是有理数。 变式1：将 -6、0.333、0、√3、- 分类。 （答案：整数{-6，0}；分数{0.333，-}；非有理数{√3}。 0.333是有限小数=，属分数。） 【典例2】利用数轴比较大小 在数轴上标出 -2、1.5、0，并比较 -2 和 1.5 的大小。 解：-2在原点的左边，1.5在右边。右边数大于左边数，所以 -2 < 1.5。 变式2：在数轴上标出 -3.5、2、-1，并按从小到大排列。 （答案：在数轴上从左到右依次是 -3.5、-1、2，所以 -3.5 < -1 < 2。） 【典例3】数轴上的移动（培优重点） 数轴上点A表示 -2。 （1）将点A向右移动4个单位长度，新点表示的数字是多少？ （2）将点A向左移动4个单位长度，新点表示的数字是多少？ 解：数轴移动规律：向右加，向左减。 （1）-2 + 4 = +2（或2）； （2）-2 - 4 = -6。 答案：向右移得到2，向左移得到-6。 易错提醒：移动的是“单位长度”个数，直接在原数上加减即可。 变式3：数轴上点B表示 1，先向左移动5个单位，再向右移动2个单位，最终点表示的数字是多少？ （答案：1 - 5 + 2 = -2。最终点在 -2 处。） 六、四层分层习题 A组 基础巩固（全员必做，单一概念） 1. 填空： （1）有理数分为 ________ 和 ________ 两类。 （2）数轴的三要素是：________、________、________。 2. 判断（对的打√，错的打×）： （1）有限小数是分数，属于有理数。（ ） （2）数轴上原点左边的数都是正数。（ ） 3. 操作题：在下面数轴上标出 -1、0、4 三个点。 B组 提升培优（中等综合，两步思考） 1. 把下列数填入对应的集合中： -5、0、3.6、-、0.777… 整数集合：{ } 分数集合：{ } 2. 利用数轴比较大小（填“>”或“<”）： （1）-1.8 ____ -0.5 （2）0 ____ -4 （3）-3.2 ____ -3.5 C组 培优拓展（选做，分班考难度） 1. 数轴上点P表示的数是 -5。 （1）将点P向右移动8个单位后，再向左移动3个单位，最终点Q表示的数字是多少？ （2）如果点R在点P的右侧且距离点P为7个单位，请写出点R表示的数字。 2. 写出所有大于 -4 且小于 3 的整数。 3. 思考题：有没有一个数，既不是正数也不是负数？它在数轴的什么位置？ 配套变式训练（针对B/C组难题） 1. （针对C组第1题）数轴上点A表示 -3，点B表示 5。 （1）求A、B两点之间的距离是多少个单位？ （2）点C在点A左侧且相距4个单位，点C表示多少？ 2. （综合提升）把下列各数填入相应的圈内（写序号）： ① -7 ② 3.14 ③ 0 ④ - ⑤ π ⑥ 0.666… 整数：____________；分数：____________；非有理数：____________。 七、开封特色情境题（把数学融入生活） 情境1（鼓楼夜市摊位位置） 开封鼓楼夜市以中心广场为原点，规定向东为正，向西为负。甲摊位在 +50米处，乙摊位在 -30米处。 （1）甲摊位在中心广场的____（东/西）侧，距广场____米； （2）乙摊位在甲摊位的____（东/西）侧，两地相距____米。 （解析：+50在东侧；-30比+50小，在西侧，距离80米。） 情境2（郑开大道里程牌） 郑开大道某段以郑开界碑为原点，郑州方向为正，开封方向为负。开封某景点在 -18千米处。 （1）该景点在界碑的____方向； （2）若一辆车从该景点向东（郑州方向）行驶12千米，此时位置记作 ____ 千米。 （解析：-18表示开封方向；向东即向正方向，-18+12=-6千米。） 情境3（龙亭大殿台阶高度） 龙亭大殿前台阶以广场地面为0基准，每级台阶高0.2米。第一级台阶记作 +0.2米。 （1）第五级台阶记作 ____ 米； （2）某一级台阶记作 -0.6米，它是在广场地面____（上/下），距离地面____米。 （解析：第五级：5×0.2=+1.0米；-0.6表示下，0.6米。） 情境4（开封气温日较差） 某日开封凌晨气温为 -3℃，中午升至 9℃。 （1） 请在数轴上标出 -3 和 9 的位置； 解： （2）中午比凌晨高了多少摄氏度？ （解析：9 - (-3) = 12℃。） 八、趣味记忆口诀（帮助快速记忆） 有理数与数轴顺口溜 整数分数统有理，有限循环归一起； π根号二不算它，无限不循环要牢记。 数轴三要看仔细，原点正方向和单位； 右边大来左边小，移动左右加减替（右加左减别忘记）。 九、综合自测小卷（建议用时：20分钟，满分40分） 一、填空题（每题3分，共15分） 1. 在 -8、+3、0、-、0.7中，负数有____个，整数有____个。 2. 数轴上，-4在 -1 的____边（填“左”或“右”），所以 -4 ____ -1（填“>”或“<”）。 3. 数轴上点M表示 2，向左移动5个单位后到达点N，点N表示的数是 ____。 4. 大于 -3.5 且小于 2.5 的整数共有 ____ 个。 5. 把 0.333… 化为分数是 ____（写一个最简分数）。 二、判断题（每题2分，共6分） 1. 0是有理数，也是整数。 （ ） 2. 数轴上单位长度可以不一致。（ ） 3. 无限小数都是无理数。 （ ） 三、解答题（共19分） 1.（6分）把下列各数分别填在相应的括号内： -12、0、+3.7、-、π、0.25、-5% （1）正有理数：{ } （2）负分数： { } （3）整数： { } 2.（6分）画一条数轴，并在数轴上标出 -2.5、-1、0、3、4.5，然后将这些数按从小到大的顺序用“<”连接起来。 3.（7分）数轴上点A表示 -4。 （1）若点B与点A相距6个单位长度，且点B在点A的右侧，求点B表示的数； （2）若点C从点A出发，先向右移动8个单位，再向左移动10个单位，最终到达点D，求点D表示的数； （3）写出所有到点A距离等于3的整数点（若有）？ 参考答案与完整分步解析 三．【课前预习导学答案】 1. 0，无限循环 2. 整数，分数，不属于 3. 原点 4. 正，负，大 六．四层分层习题 【A组答案】 1.（1）整数，分数 （2）原点，正方向，单位长度 2.（1）√（有限小数可化成分数） （2）×（原点左边是负数）3. （注意从左到右顺序为 -1、0、4） 【B组答案与解析】 1. 整数集合：{-5，0} （注意0是整数） 分数集合：{3.6，-，0.777…} （有限小数和循环小数都是分数） 2.（1）-1.8 < -0.5（绝对值大的反而小，或在数轴左边）；（2）0 > -4；（3）-3.2 > -3.5（在数轴上 -3.2 在 -3.5 的右边） 【C组答案与解析】 1.（1）-5 + 8 - 3 = 0，所以点Q表示 0。 （2）点R在右侧，距离7个单位：-5 + 7 = 2，所以点R表示 2。 2. 大于 -4 且小于 3 的整数有：-3、-2、-1、0、1、2。 （注意不包括 -4 和 3） 3. 存在，这个数是0，它在数轴的原点位置。 【配套变式训练答案】 1.（1）A到B的距离：5 - (-3) = 8个单位。 （2）点C在点A左侧4个单位：-3 - 4 = -7。 2. 整数：①③； 分数：②④⑥（3.14是有限小数，0.666…是无限循环小数，均属分数）； 非有理数：⑤（π）。 九．【综合自测小卷答案与解析】 一、填空题 1. 负数有2个 （-8、-）；整数有3个 （-8、+3、0）。注意0是整数。 2. 左，< （-4在-1左边，所以更小） 3. -3 （2 - 5 = -3） 4. 共有6个 （-3、-2、-1、0、1、2； 注意 -3.5取不到-4， 2.5取不到3） 5. 二、判断题 1. √ （0是整数，也是有理数） 2. × （数轴的单位长度必须均匀一致） 3. × （无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数） 三、解答题 1.（解析）： （1）正有理数：{+3.7，0.25}（注意0不是正数，π不是有理数，-5%是负数） （2）负分数：{-，-5%}（-5% = -0.05，是负分数） （3）整数：{-12，0} 2. 从小到大排序：-2.5 < -1 < 0 < 3 < 4.5。 解析：数轴从左到右依次增大。 3.（分步解析）： （1）点B在右侧，距离6：-4 + 6 = 2，所以B = 2。 （2）点D = -4 + 8 - 10 = -6。 （3）到点A（即 -4）距离等于3的点有两个：-4 - 3 = -7 和 -4 + 3 = -1。 所以满足条件的整数点为 -7 和 -1。 暑假预习行动打卡表（建议家长配合） 日期 学习任务 自评（⭐/⭐⭐/⭐⭐⭐） 家长签字 第1天 完成“课前预习导学”+ 理解概念精讲 第2天 做完A组基础+典例1、2 第3天 做完B组提升+典例3 第4天 做完C组培优+开封情境题 第5天 完成综合自测小卷（计时20分钟） 结束语： 有理数是初中数学的基石，数轴则是我们研究数的“坐标地图”。 记住：分数家族包含循环小数，数轴移动永远是“右加左减”。把开封的大街小巷想象成数轴，数学就会变得亲切又有趣。预习加油！ 学科网（北京）股份有限公司 $