精品解析：安徽省滁州市来安县雷官初级中学等校2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题

八年级阶段评估（八） 数学（沪科版） 注意事项： 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，11 D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1，将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，测得，．拉动这个木框架，使它成为正方形，如图2，则此时的长为（ ） A. 6 B. C. D. 3 5. 小伟参加加弈围棋学生社团2026年度校园挑战赛；共进行了12场比赛．积分统计小组根据小伟这12场比赛的得分制作了箱线图如图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是50分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 有的比赛得分不高于分 D. 比赛得分的第三四分位数是45分 6. 如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5或 B. 或2 C. 5 D. 2 8. 如图，在五边形中，，点在边上，，则一定有（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一个圆柱形玻璃杯，它的高为，底面周长为，一只蚂蚁在杯外壁离杯上沿的点处，点位于点相对的杯内，且离杯底处，则蚂蚁从点爬行到点处的最短距离为（ ） A. 13cm B. 15cm C. 16cm D. 18cm 10. 定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 某班6个学习合作小组的人数如下：4，5，5，x，7，8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的众数是______． 13. 如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 14. 如图，在矩形中，E为上一点，，F为上一点，，连接，，延长交于点G，已知． （1）______； （2）若，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，线段的端点以及点都在正方形网格的格点（格点指每个小正方形的顶点）上． （1）请在网格中画出，使（点都在格点上）； （2）在（1）的条件下，仅用无刻度的直尺过点画一条直线，使得直线平分的面积（不写画法，保留必要作图痕迹）． 18. 【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… （1）【规律发现】直接写出第个等式：__________________； （2）【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； （3）【规律应用】根据上述规律，化简：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20. 如图，在正方形中，点在上，连接，过点作于点，过点作于点．延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 随着人工智能技术在环保领域的应用拓展，某科创团队开发了一款智能垃圾分类设备，计划从甲、乙两家算法测评平台中选择一家合作，以优化设备的算法性能．为此，团队收集了甲、乙两家各10组测试得分，对两家平台的算法评估结果进行整理，分析这两家平台在算法创新性呈现、实际场景适配度评估两方面的优劣势，制作了统计图表如下（不完整）． 算法创新性和实际场景适配度得分统计表： 统计量/平台 算法创新性得分 实际场景适配度得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 a 7 1 乙 8 8 7 （1）计算：______，扇形统计图中______，并补全频数分布直方图； （2）计算表格中乙的方差，即的值； （3）在算法测评合作中，该科创团队将算法创新性的整体水平作为首要选择标准，同时兼顾实际场景适配度的稳定性．请结合表中的统计量，为该团队推荐合适的合作平台，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 （1）任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； （2）任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； （3）任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 已知，为的中线，点为上一点，延长至点，使得，交于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）如图，求证：四边形为平行四边形； （2）如图，，，． （ⅰ）连接，求证：； （ⅱ）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段评估（八） 数学（沪科版） 注意事项： 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件； B、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，11 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用勾股定理的逆定理求解，只需验证每组线段中两短边的平方和是否等于最长边的平方，满足条件即可构成直角三角形． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，对各选项逐一验证： 选项A：，，，∴不能构成直角三角形； 选项B：，，可得，∴能构成直角三角形； 选项C：，，，∴不能构成直角三角形； 选项D：，，，∴不能构成直角三角形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数，选项A中和无意义， ∴A错误． ∵，当时，， ∴B错误． ∵与不是同类二次根式，不能直接合并相加， ∴C错误． ∵，等式成立， ∴D正确． 4. 如图1，将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，测得，．拉动这个木框架，使它成为正方形，如图2，则此时的长为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，四边形是菱形，结合，可证明是等边三角形，所以，即图2中正方形的边长为，即可求得答案． 【详解】解：如图1，由题意，可知， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， 如图2，四边形是正方形， ，， ． 5. 小伟参加加弈围棋学生社团2026年度校园挑战赛；共进行了12场比赛．积分统计小组根据小伟这12场比赛的得分制作了箱线图如图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是50分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 有的比赛得分不高于分 D. 比赛得分的第三四分位数是45分 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由箱线图可知，比赛最高得分是55分，原说法错误，不符合题意； B、由箱线图可知，比赛得分的中位数是45分，原说法错误，不符合题意； C、由箱线图可知，比赛得分的下四分位数为分，故有的比赛得分不高于分，原说法正确，符合题意； D、由箱线图可知，比赛得分的第三四分位数是50分，原说法错误，不符合题意； 6. 如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得，再利用三角形中位线定理可得． 【详解】解：∵为的中位线， ∴点D是的中点，， ∴在中，， ∴， ∴． 7. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5或 B. 或2 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 8. 如图，在五边形中，，点在边上，，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由五边形内角和及题中条件得到①，再由三角形内角和及题中条件得到②，将②代入①化简即可确定D正确． 【详解】解：在五边形中，， ， ， 则， ①， 在中，，，则②， 将②代入①得， 即一定有． 9. 如图是一个圆柱形玻璃杯，它的高为，底面周长为，一只蚂蚁在杯外壁离杯上沿的点处，点位于点相对的杯内，且离杯底处，则蚂蚁从点爬行到点处的最短距离为（ ） A. 13cm B. 15cm C. 16cm D. 18cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱展开的矩形和已知条件推出矩形的长和宽，利用对称性和三点共线找出最短路径即以及求出的长度，结合点的位置求出和的长度，最后根据勾股定理求出长度，即是最短路径长． 【详解】解：沿着点所在的高将侧面剪开，过点作关于杯上沿的对称点，连接交于点，连接，过点作的反向延长线于点，作，由题意可知，底面周长．如图所示， 圆柱体的高为，底面周长为，侧面展开图是矩形， ，，．， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， 和是对称点，一只蚂蚁在杯外壁离杯上沿的点处，， ，． 此时蚂蚁从点爬行到点处距离，取得最小值． ． 在中，． 蚂蚁从点爬行到点处的最短距离是． 10. 定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵函数， ∴， 解得． 12. 某班6个学习合作小组的人数如下：4，5，5，x，7，8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的众数是______． 【答案】5和7 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出未知数据的值，再根据众数的定义确定这组数据的众数． 【详解】解：这组数据，，，，，的平均数是， ， 解得， 整理这组数据得：，，，，，， 其中和出现的次数最多，都是次， 这组数据的众数是和． 13. 如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 14. 如图，在矩形中，E为上一点，，F为上一点，，连接，，延长交于点G，已知． （1）______； （2）若，则的值为______． 【答案】 ①. 22.5 ②. 2 【解析】 【分析】（1）首先证明是等腰直角三角形，得到，然后利用等边对等角求出，进而求解即可； （2）证明，得到，过点F作于点H，证明是等腰直角三角形，设，然后连续利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴． 如图，过点F作于点H ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即 解得 ∴ ∴ ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算二次根式乘除法，再去绝对值，最后由实数加减运算求解即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先整理方程得，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，线段的端点以及点都在正方形网格的格点（格点指每个小正方形的顶点）上． （1）请在网格中画出，使（点都在格点上）； （2）在（1）的条件下，仅用无刻度的直尺过点画一条直线，使得直线平分的面积（不写画法，保留必要作图痕迹）． 【答案】（1）解：如图所示： 平行四边形即为所求； （2）解：如图所示： 直线即为所求． 【解析】 【分析】（1）的长方形对角线长即为，则在中取对角线和，连接即可得到； （2）作出的对角线，它们相交于点，作过点和点的直线，即可得到直线平分的面积． 【小问1详解】 解：如图所示： 在的长方形中，对角线； 和均是的长方形对角线， ，且， 则四边形即为平行四边形； 【小问2详解】 解：如图所示： 在中，，， ，， ，， ，， ，， 在中，， 四边形的面积为，四边形的面积为， 即四边形的面积四边形的面积， 直线平分的面积． 18. 【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… （1）【规律发现】直接写出第个等式：__________________； （2）【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； （3）【规律应用】根据上述规律，化简：． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】直接由前面式子的结构特征，得到规律即可解决（1）（2），再由（2）中写出的规律对（3）化简即可． 【小问1详解】 解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； 【小问2详解】 解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； 【小问3详解】 解：由（2）中规律可得： ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 20. 如图，在正方形中，点在上，连接，过点作于点，过点作于点．延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质及两个三角形全等的判定定理求证即可； （2）由（1）中及已知条件确定是等腰直角三角形，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 设，则， 在中，由勾股定理可得， 则， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 随着人工智能技术在环保领域的应用拓展，某科创团队开发了一款智能垃圾分类设备，计划从甲、乙两家算法测评平台中选择一家合作，以优化设备的算法性能．为此，团队收集了甲、乙两家各10组测试得分，对两家平台的算法评估结果进行整理，分析这两家平台在算法创新性呈现、实际场景适配度评估两方面的优劣势，制作了统计图表如下（不完整）． 算法创新性和实际场景适配度得分统计表： 统计量/平台 算法创新性得分 实际场景适配度得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 a 7 1 乙 8 8 7 （1）计算：______，扇形统计图中______，并补全频数分布直方图； （2）计算表格中乙的方差，即的值； （3）在算法测评合作中，该科创团队将算法创新性的整体水平作为首要选择标准，同时兼顾实际场景适配度的稳定性．请结合表中的统计量，为该团队推荐合适的合作平台，并说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）解：选择乙平台，理由如下： 因为乙平台的算法创新性得分的平均数高于甲平台，两家平台的实际场景适配度得分的平均数相同，虽然乙平台的方差略高于甲平台，但整体仍然能满足实际场景适配度的基本要求，所以选择乙平台． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义可得第一空的答案，用360度乘以乙算法测评平台算法创新性得分为7分的占比可得第二空的答案；求出甲算法测评平台算法创新性得分为9分的频数，再补全对应的频数分布直方图即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）乙算法测评平台算法创新性得分的平均数高于甲算法测评平台算法创新性得分的平均数，且二者实际场景适配度得分的平均数相同，据此可得结论． 【小问1详解】 解：把甲算法测评平台算法创新性得分按照从低到高的顺序排列，第5个数据和第6个数据分别是7分，8分， ∴甲算法测评平台算法创新性得分的中位数为分，即； 由题意得，； 甲算法测评平台算法创新性得分为9分的频数为， 补全频数分布直方图见答案； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 （1）任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； （2）任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； （3）任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1）长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为 （2）为售空库存，下调后每套售价为元 （3）能获利元，每套应降价元 【解析】 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； 【小问3详解】 解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 八、（本题满分14分） 23. 已知，为的中线，点为上一点，延长至点，使得，交于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）如图，求证：四边形为平行四边形； （2）如图，，，． （ⅰ）连接，求证：； （ⅱ）若，求的长． 【答案】（1）证明：为的中线， ， ， 是的中位线， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）（ⅰ）证明：由（1）知，是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 且， 所在的直线是的垂直平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用中线与线段中点条件推出为中位线，得到，再结合证三角形全等，由一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形； （2）（i）结合中位线性质、推出，通过证明，得到被垂直平分，得出，再结合平行四边形对边相等推导出； （ii）由全等得，结合已知线段长度求出、，利用垂直平分得到长度，在中借助勾股定理计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（ⅰ）略； （ⅱ）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，由勾股定理得：． 【点睛】本题综合考查三角形中位线、全等三角形判定与性质、平行四边形判定、垂直平分线性质以及勾股定理，熟练掌握线段中点、平行判定、直角三角形计算的相关定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $