19.1二次根式的性质 暑期练习 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦二次根式定义与性质，通过概念辨析、性质应用及综合计算，系统构建从基础到应用的知识逻辑，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|判断二次根式|从定义出发，强化被开方数非负的核心条件| |性质应用|10题|求值、取值范围及整数条件|结合性质解决化简与参数问题，发展推理意识| |综合计算|6题|数轴化简与代数式求值|综合运用性质解决实际问题，提升运算能力|

19.1二次根式及其性质 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需要满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】根据定义，形如的式子叫做二次根式． A．∵被开方数，∴不是二次根式，故不符合题意； B．∵可以取负数，当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式，故不符合题意； C．∵对任意实数，都有，∴，根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故符合题意； D．∵该式子根指数为，属于三次根式，∴不是二次根式，故不符合题意； 2．下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A中，被开方数，满足定义，故A是二次根式； 选项B中，被开方数，二次根号下负数无意义，故B不是二次根式； 选项C中，，可得，二次根号下负数无意义，故C不是二次根式； 选项D中，是三次根式，不满足定义，故D不是二次根式． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式要求形如的式子中被开方数，题目要求“一定是”，即无论字母取何值都满足被开方数非负，据此逐个判断即可. 【详解】A、，，不是二次根式； B、，，不是二次根式； C、，，一定是二次根式； D、，当时，不是二次根式. 4．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入二次根式可得． 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 6．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 7．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．18 【答案】B 【分析】根据二次根式为整数的条件，即被开方数为完全平方数，即可求出最小正整数． 【详解】解：，且是整数，n是正整数． 是整数，即为完全平方数． 当取最小正整数时，，此时． 因此的最小值为． 二、填空题 8．当时，的值是_________． 【答案】 【详解】当时，． 9．当时，二次根式的值是_______． 【答案】 【分析】将代入二次根式的被开方数，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：把代入得：． 10．当a＝2时，二次根式的值是________． 【答案】 【分析】把a的值代入计算即可． 【详解】解：当a＝2时， ． 11．已知是整数，正整数的值可以是______． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：是整数，为正整数， 是完全平方数， 取， 解得． 12．若是整数，则满足条件的自然数的值为___ ． 【答案】0，7，12，15，16 【详解】解：有意义， ，即， 是整数， 或或或或， 解得，或或或或 故答案为：0，7，12，15，16． 13．写出一个使代数式有意义的的值，则的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键，根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． ∴实数可以是任意大于或等于的数，例如． 14．请写出一个使二次根式有意义的x的值______． 【答案】0（答案不唯一，任意满足的值均可） 【分析】根据被开方数为非负数列出不等式求解得到x的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：由题意，得 解得 取该范围内一个x的值即可，如取． 15．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数需满足非负条件，即． 16．若，则x取值范围是________． 【答案】 【分析】先将等式左边利用二次根式的性质化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 由题意得 ∴ 解得． 17．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】． 【详解】由数轴知，， ， ， ． 18．实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ． 三、解答题 19．按要求解答下列各题： (1)已知x，y为实数，且，求的值． (2)设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而可得的值，再代入计算即可； （2）根据三角形的三边关系定理可得，据此化简绝对值和二次根式，再计算整式的加减即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵一个三角形的三边长为， ∴，即， ∴，， ∴ ． 20．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据“二次根式有意义的条件：”可得的值，继而得到的值，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．已知、满足，、满足，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出，，再根据二次根式的定义求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得，， 、满足， ，， 解得，， ， ， ． 22．已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】 【详解】解：由图可得，且， ∴，， ∴ . 23．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)； 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据二次根式的性质即可求解； （3）先根据二次根式的性质化简，在代入代数式求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴小亮的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 （3）解：∵ ∴ 当时 原式 24．已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的； (2)若，求的值． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】（1）利用二次根式的性质，化简求值即可得到答案； （2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∴乙的解答在去绝对值时，没有判断的正负情况，是错误的． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1二次根式的性质 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．18 二、填空题 8．当时，的值是_________． 9．当时，二次根式的值是_______． 10．当a＝2时，二次根式的值是________． 11．已知是整数，正整数的值可以是______． 12．若是整数，则满足条件的自然数的值为___ ． 13．写出一个使代数式有意义的的值，则的值可以是________． 14．请写出一个使二次根式有意义的x的值______． 15．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 16．若，则x取值范围是________． 17．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 18．实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 三、解答题 19．按要求解答下列各题： (1)已知x，y为实数，且，求的值． (2)设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 20．已知． (1)求的值； (2)求的值． 21．已知、满足，、满足，求的值． 22．已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 23．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 24．已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的； (2)若，求的值． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $