第五章 一元函数的导数及其应用 培优提升限时小卷（四）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦一元函数及其应用，以导数几何意义、单调性、极值及不等式恒成立为核心，通过多样化题型构建知识应用逻辑链，培养数学思维的逻辑推理与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数几何意义|3题|切线斜率、切线方程、切线与直线垂直|从导数概念到几何意义应用，体现数学眼光的直观理解| |函数单调性与极值|2题|单调区间判断、极值点求解|通过导数符号分析函数性质，培养数学思维的推理能力| |函数图像与性质|2题|图像识别、函数不等式转化|结合导数研究函数形态，发展数学语言的表达能力| |不等式恒成立与最值|3题|最值求解、参数范围讨论|综合导数与不等式，构建数学模型解决实际问题|

2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（四） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章 一元函数及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为(     ) A. B. C. D. 2.曲线在点处的切线与直线垂直，则(     ) A. B. C. D. 3.已知函数在处取得极大值，则的值为(     ) A. B. C. 或 D. 或 4.已知函数，则的大致图像为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是(     ) A. B. C. D. 6.已知函数若实数满足不等式则(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.函数在上的最小值为           ． 8.已知不等式恒成立，则的最大值为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 若函数在点处的切线与轴平行，求； 若，讨论的单调性． 10.本小题分 已知函数． 求曲线在点处的切线方程； 已知函数，求的单调区间； 若对于任意，都有为自然对数的底数，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（四） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章 一元函数及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为(     ) A. B. C. D. 2.曲线在点处的切线与直线垂直，则(     ) A. B. C. D. 3.已知函数在处取得极大值，则的值为(     ) A. B. C. 或 D. 或 4.已知函数，则的大致图像为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是(     ) A. B. C. D. 6.已知函数若实数满足不等式则(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.函数在上的最小值为           ． 8.已知不等式恒成立，则的最大值为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 若函数在点处的切线与轴平行，求； 若，讨论的单调性． 10.本小题分 已知函数． 求曲线在点处的切线方程； 已知函数，求的单调区间； 若对于任意，都有为自然对数的底数，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（四） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章 一元函数及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求函数图象上一点处的切线斜率，属于基础题． 设函数，求出的之即可得到答案． 【解答】 解：设函数，则， 则， 故曲线在点处的切线斜率为． 2.曲线在点处的切线与直线垂直，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得所求值． 【解答】 解：的导数为， 可得在点处的切线的斜率为， 由切线与直线垂直，可得， 解得， 故选：． 3.已知函数在处取得极大值，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 函数，，根据函数在处取得极大值，可得，解得，并且验证即可得出． 【解答】 解：函数， ， 函数在处取得极大值， ，解得或， 时，， 可得是函数的极小值点，舍去； 时，， 可得是函数的极大值点． 则． 故答案选：． 4.已知函数，则的大致图像为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查数形结合思想，属于中档题． 根据函数的特殊值，，排除，选项，对函数求导，结合函数和的图像交点研究的单调性，从而可得结果． 【解答】 解：由，得，，，故排除，． 由函数知， 在同一坐标系作出函数和的图像，如图所示， 可知函数和的图像有两个交点， 设交点的横坐标为，，，则，， 当时，，此时，单调递增； 当时，，此时，单调递减； 当时，，此时，单调递增； 所以函数在处取得极大值点，在处取得极小值点，且，， 排除， 故选C． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题主要考查利用导数由函数的单调性求参，以及一元二次不等式恒成立问题，属于中档题． 先求函数的导数，因为函数在上是单调函数，可得在上恒成立，即可得解． 【解答】 解：的导函数为， 函数在上是单调函数，且导函数是开口向下的二次函数， 函数在单调递减， 在上恒成立， 即在上恒成立， ， 解得． 实数的取值范围是． 故选ABC． 6.已知函数若实数满足不等式则(    ) A. B. C. D. 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性、对称性和单调性，属于中档题． 求出关于点对称，且在上为增函数，结合不等式得到，即可得到答案． 【解答】 解：的定义域为，为奇函数， 函数的图象向右平移两个单位可得的图象， 关于点对称， ，， 在上为增函数， 由化为， 等价于，， ，成立， 不能推出，． 故选BD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.函数在上的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查数学抽象的核心素养，属于基础题． 先结合导数符号与函数单调性之间的关系求在上函数单调性，进而可判断最小值在处取得． 【解答】 解：， 令，解得：；，解得：， 在上单调递减，在上单调递增， 故答案为：． 8.已知不等式恒成立，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用导数研究恒成立问题中的参数取值问题，属于中档题． 可把原不等式变形为，构造，，利用导函数判断其单调性，得到，再构造，，求出其最小值为，即可得到． 【解答】 解：不等式变形为：， 因为在单调递增，故，变形得到， 构造，，则，当时，，当时，， 故在处取得极小值，也是最小值，可知，故，的最大值为． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 若函数在点处的切线与轴平行，求； 若，讨论的单调性． 【答案】解：由题可知函数定义域为，， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以； 由可知函数定义域为，又， ， 令，恒成立， 令，解得舍去或， 若，，单调递减， 若，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． 10.本小题分 已知函数． 求曲线在点处的切线方程； 已知函数，求的单调区间； 若对于任意，都有为自然对数的底数，求实数的取值范围． 【答案】解：由得，，，， 所以在点处的切线方程为． ，， ， 令，解得， 因为时，， 所以在上单调递减， 因为时，， 所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为． 由题可知，， 所以， 设，， 则， 令，解得， 当时，， 所以在单调递减， 当时，， 所以在单调递增， 又，即， 所以． 【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数研究恒成立与存在性问题，属于中档题． 根据导数运算及导数的几何意义求解即可； 根据导数的正负求解的单调区间； 根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $