精品解析：山东省济南市高新区2025-2026学年七年级下学期数学期末试题

2025-2026学年第二学期七年级学业质量监测 数学 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共48分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意； B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意； C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意； D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意． 故选D． 2. 用一根长的铁丝围成一个长方形，下列选项中是常量的是（ ） A. 长方形的长 B. 长方形的宽 C. 长方形的周长 D. 长方形的面积 【答案】C 【解析】 【分析】在变化过程中，固定不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量，根据题意判断各量是否变化，进行分析，即可作答． 【详解】解： ∵铁丝总长度固定为，围成的长方形的周长等于铁丝的长度， ∴长方形的周长是固定不变的量， 故改变长方形的长时，长方形的宽会随之变化，长方形的面积也会随之变化， 因此长、宽、面积都是变量． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两个较小边长的平方和是否等于最大边长的平方，若相等则能构成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、，，，不能构成直角三角形； B、，，，不能构成直角三角形； C、，，，不能构成直角三角形； D、，，，能构成直角三角形． 4. 下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 绳锯木断 【答案】A 【解析】 【详解】解：水中捞月是不可能事件，不可能发生； 一箭双雕是随机事件，有可能发生也有可能不发生； 旭日东升是必然事件，一定发生； 绳锯木断是必然事件，一定发生； 所以在这四个成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是水中捞月． 5. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，求出，再根据邻补角的定义列式计算即可得解． 【详解】解：如图 ，， ， ． 故选B． 6. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项和同底数幂的乘除法运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：和不是同类项，不能合并，选项A、B错误，故不符合题意； 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，可得，选项C错误，故不符合题意； 根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，可得，选项D正确，故符合题意． 故选：D． 7. 一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三条边的关系判断即可． 【详解】解：设此三角形第三边长为， 由三角形三条边的关系可得， 即， 只有选项B符合， 故选：B． 8. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，即， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 9. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：过点作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵（米）， ∴（米）. 10. 若m是大于0的整数，则一定是（ ） A. 4的倍数 B. 8的倍数 C. 12的倍数 D. 16的倍数 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式化简原式，再根据m为大于0的整数可得结论． 【详解】解： ， ∵m是大于0的整数， ∴是正整数， ∴一定是4的倍数，即一定是4的倍数 11. 在长方形中，，．点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，的面积为，则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，，则，再由三角形面积公式即可建立关系式． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是长方形， ∴， ∴之间的距离相等，都等于， ∴． 12. 如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 注意事项： 1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 一个不透明的袋子里装有6个红球、4个白球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，那么摸到红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算袋子中所有球的总个数，确定红球的个数，再根据概率公式计算摸到红球的概率即可． 【详解】解：袋子中有个红球，个白球，个黄球， 共有种等可能性的结果，其中红球数量为， 摸到红球的概率为． 15. 为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y（棵）与参与活动人数x（人）的变化关系如下表所示： x/（人） 1 2 3 4 5 … y/（棵） 4 8 12 16 20 … 观察表中数据可知，该班有______人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵． 【答案】8 【解析】 【分析】本意主要考查函数的表示方法，写出正确的函数表达式是解题的关键． 先写出栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数(人)的函数关系式，在代入即可． 【详解】解：由已知可得，， 当时，即， 解得：． 故答案为：8． 16. 若，，则_____． 【答案】10 【解析】 【详解】解：根据平方差公式可得 将，代入得原式． 17. 如图，是的角平分线，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，作于点F，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18. 清代数学家罗士琳（）提出了推算勾股数的公式，被称为罗士琳法则．具体如下： Ⅰ．若是大于1的奇数，则，，是一组勾股数； Ⅱ．若是大于2的偶数，则，，是一组勾股数． 经研究，在Ⅰ中，最小的数是，最大的数是；在Ⅱ中，若，则最小的数是，最大的数是． 若一组没有公约数的勾股数中，最小的数是，最大数是；另一组勾股数中，最小的数是，则最大数是________． 【答案】 【解析】 【分析】分三类讨论，当为大于的奇数，根据题意可得，最大的数为，解得，从而计算出第二组最大的数为；当时，第一组勾股数为，，，与题意矛盾；当为大于的偶数时，根据题意最大的数为，解得，与题设矛盾． 【详解】解：①当为大于的奇数时，根据题意第一组勾股数中，最大的数为， ∴， 解得（负值舍去）， ∵， ∴在第二组勾股数中，最大的数为； ②当时，第一组勾股数为，，， 最大的数为，与题干最大的数为矛盾，故舍去； ③当为大于的偶数时，根据题意最大的数为， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； 综上所述，第二组勾股数中最大的数为． 三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则分别计算两个项，再合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 21. 如图，已知． （1）画出的高； （2）画出的角平分线． 【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【解析】 【分析】（1）如图，延长至H，利用尺规过B点作直线的垂线，交于D点，则线段就是边上的高． （2）利用尺规作图法作出的角平分线交边于E点，则线段就是的角平分线． 【小问1详解】 如图，线段就是边上的高． 【小问2详解】 如图，线段就是的角平分线． 【点睛】本题主要考查了利用尺规作三角形的高和角平分线，熟练掌握过已知点作已知直线的垂线及角平分线的尺规作图法是解题的关键．注意：三角形的高和角平分线都是线段． 22. 如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：（已知），且（ ）， （等量代换）， （ ）． （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，内错角相等）， ． 【答案】对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；， 【解析】 【分析】先根据平行线的判定与性质证明，，再证明，即可得到结论． 【详解】略 23. 和的位置如图所示，点B在边上，，．求证：． 证明：点B在边上，， ，________， ________， 在和中， （________）， ． 【答案】，，，， 【解析】 【分析】先根据同角的余角相等，证明，再根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】略 24. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 25. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【答案】解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ， ，． ． ． 是等腰三角形． 【解析】 【分析】由平分，得；由，根据平行线的同位角、内错角相等，得，．等量代换得，由等角对等边得，故是等腰三角形． 【详解】略 26. 任意掷一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，骰子的1个面标有“6”，2个面标有“5”，3个面标有“4”，4个面标有“3”，5个面标有“2”，其余的面标有“1”． （1）掷出的数字是1的概率是多少？ （2）掷出的数字小于4的概率是多少？ （3）掷出的数字是奇数的概率是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的计算公式，先求出标有“1”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （2）找到数字小于4的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （3）找出数字是奇数的面数，然后利用概率公式计算可得答案． 【小问1详解】 解：由条件可知标有“1”的面数为面， ∴掷出“1”的概率是； 【小问2详解】 解：掷出的数字小于4的概率是； 【小问3详解】 解：掷出的数字是奇数的概率是． 27. 如图所示，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积，请写出y与x的关系式； （3）当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【答案】（1）自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积 （2） （3）由变为 【解析】 【分析】（1） 根据题意可知阴影部分面积随着小正方形的边长变化而变化，故自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积； （2） 根据阴影部分面积=大正方形面积－4个小正方形面积，列出关系式即可； （3） 分别计算出小正方形边长为1cm，和2.5cm时阴影部分面积，即可知阴影部分的面积发生的变化． 【小问1详解】 解：自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积； 【小问2详解】 解：y与x的关系式为：； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， ∴当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变为． 【点睛】本题考查列函数解析式解决几何问题，以及数形结合结合思想，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 28. 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：当m，n都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求x的值． 解：法一：∵，．，． 法二：∴．．． ②比较与的大小． 解：，，，． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． （1）若，求x的值． （2）比较，与的大小． （3）定义两个正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，．求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方法则以及同底数幂相乘的运算法则，将变形为，从而可得，求解即可； （2）利用幂的乘方法则将三个数变成幂相同的数，比较底数的大小，即可得出结果； （3）设，则，设，则，结合幂的运算法则求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ； 【小问3详解】 解：设，则，设，则， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 29. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接、由已知和作图能得到，所以． （1）【思考发现】如图①，的理由是 ； A． B． C． D． （2）【思考发现】请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． （3）如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由； （4）【深入探究】如图③，在和中，，，且，连接、，F为的中点，连接并延长交于H，，，则的面积为 ． 【答案】（1）B； （2）或或或； （3）解：，理由如下： 延长至点使，连接，如图， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （4）8 【解析】 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：是边上的中线， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 解：， ，， ， 在中， ∴， 边的长度为奇数，且， 的长可能为或或或； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：延长至点使，连接，如图， 是边上的中点， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，即， ． 30. 折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级学业质量监测 数学 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共48分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用一根长的铁丝围成一个长方形，下列选项中是常量的是（ ） A. 长方形的长 B. 长方形的宽 C. 长方形的周长 D. 长方形的面积 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 4. 下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 绳锯木断 5. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 9. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 若m是大于0的整数，则一定是（ ） A. 4的倍数 B. 8的倍数 C. 12的倍数 D. 16的倍数 11. 在长方形中，，．点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，的面积为，则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 不能确定 12. 如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 注意事项： 1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 计算：_____． 14. 一个不透明的袋子里装有6个红球、4个白球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，那么摸到红球的概率是______． 15. 为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y（棵）与参与活动人数x（人）的变化关系如下表所示： x/（人） 1 2 3 4 5 … y/（棵） 4 8 12 16 20 … 观察表中数据可知，该班有______人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵． 16. 若，，则_____． 17. 如图，是的角平分线，若，则_____． 18. 清代数学家罗士琳（）提出了推算勾股数的公式，被称为罗士琳法则．具体如下： Ⅰ．若是大于1的奇数，则，，是一组勾股数； Ⅱ．若是大于2的偶数，则，，是一组勾股数． 经研究，在Ⅰ中，最小的数是，最大的数是；在Ⅱ中，若，则最小的数是，最大的数是． 若一组没有公约数的勾股数中，最小的数是，最大数是；另一组勾股数中，最小的数是，则最大数是________． 三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 化简：． 20. 计算：． 21. 如图，已知． （1）画出的高； （2）画出的角平分线． 22. 如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：（已知），且（ ）， （等量代换）， （ ）． （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，内错角相等）， ． 23. 和的位置如图所示，点B在边上，，．求证：． 证明：点B在边上，， ，________， ________， 在和中， （________）， ． 24. 先化简，再求值：，其中． 25. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 26. 任意掷一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，骰子的1个面标有“6”，2个面标有“5”，3个面标有“4”，4个面标有“3”，5个面标有“2”，其余的面标有“1”． （1）掷出的数字是1的概率是多少？ （2）掷出的数字小于4的概率是多少？ （3）掷出的数字是奇数的概率是多少？ 27. 如图所示，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积，请写出y与x的关系式； （3）当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 28. 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：当m，n都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求x的值． 解：法一：∵，．，． 法二：∴．．． ②比较与的大小． 解：，，，． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． （1）若，求x的值． （2）比较，与的大小． （3）定义两个正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，．求的值． 29. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接、由已知和作图能得到，所以． （1）【思考发现】如图①，的理由是 ； A． B． C． D． （2）【思考发现】请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． （3）如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由； （4）【深入探究】如图③，在和中，，，且，连接、，F为的中点，连接并延长交于H，，，则的面积为 ． 30. 折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $