精品解析：江苏镇江市2025-2026学年第二学期初中阶段性学习评价II 八年级数学试卷

2025~2026学年第二学期初中阶段性学习评价Ⅱ 八年级数学试卷 本试卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 下列成语所反映的调查方式是抽样调查的是（ ） A. 见微知著 B. 面面俱到 C. 无所不至 D. 挨家挨户 【答案】A 【解析】 【分析】普查是对全部考察对象进行调查，抽样调查只抽取部分考察对象进行调查，结合成语的含义即可判断． 【详解】解：“见微知著”指通过局部的微小现象推知整体情况，符合抽样调查的特征， “面面俱到”“无所不至”“挨家挨户”都表示对全部考察对象进行调查，属于普查， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】将各个选项化简为最简二次根式即可进行解答． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故A不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故B不符合题意； C．，与是同类二次根式，故C不符合题意； D．与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式． 3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解”，逐一判断各选项即可 【详解】解：∵ 选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求，∴ A错误； ∵ 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，∴ B正确； ∵ 选项C中，变形是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴ C错误； ∵ 选项D中，等式右边是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，∴ D错误 4. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行、对角相等的性质求解，根据平行四边形邻角互补结合已知条件求出的度数，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 5. 在一个网约车平台上，某时段共有40辆在线接单的车辆，分为新能源车和燃油车，车辆外观、接单优先级等其他条件完全相同．乘客通过多次打车体验后发现，打到新能源车的频率稳定在附近，则该平台这40辆在线车辆中，新能源车辆约有（ ）辆 A. 7 B. 12 C. 16 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】当频率稳定在某一数值附近时，可用该频率估计概率，再结合总车辆数计算新能源车辆的数量即可． 【详解】解：∵打到新能源车的频率稳定在附近， ∴可估计打到新能源车的概率为， ∵总共有40辆在线车辆， ∴新能源车辆数量约为辆． 6. 分式的化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： ． 7. 根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示重力加速度，取，表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得，，该汽车的车速（单位：）最接近的数值为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】将已知数值代入公式求出被开方数，再通过比较平方数估算车速即可． 【详解】解：， 将，，代入公式， ， 得， ，， ∴， 最接近． 8. 某AI公司租用云服务器进行模型训练，租用A、B两种型号的GPU实例（图形处理器）．A、B两种实例每小时的租用费用之和为100元，且两种实例的总租赁费用相同，均为12800元．已知“_________”，设A实例每小时的租用费用为元，则可列方程．根据此情境，题中“________”表示的缺失条件可以是（ ） A. A实例每小时的租赁费用是B实例每小时的租赁费用的两倍 B. B实例每小时的租赁费用是A实例每小时的租赁费用的两倍 C. A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍 D. B实例的租赁时间是A实例的租赁时间的两倍 【答案】C 【解析】 【分析】先明确两个分式的实际意义，再根据给出的方程推导数量关系，即可得到缺失条件． 【详解】解：∵设A实例每小时的租赁费用为元，A、B两种实例每小时的租赁费用之和为100元， ∴B实例每小时的租赁费用为元 ∵两种实例的总租赁费用均为12800元， ∴表示A实例的租赁时间，表示B实例的租赁时间 已知方程为，即A实例的租赁时间是B实例租赁时间的两倍， 因此缺失条件为：A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍． 9. 面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个正方形的边长，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴点共线， ∴， ∴． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题先对已知的表达式变形，通过平方得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：， ， 移项得， 两边同时平方，得 ， 展开整理得 ， 化简得， ． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义时，分母不为零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：若分式有意义，则分母满足，解得． 12. 计算：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式除法法则是解题的关键． 13. 某盲盒收集爱好者对其收集的30个盲盒的重量（单位：g）进行统计，绘制了如图所示的频数分布直方图，其组距为_______． 【答案】 【解析】 【分析】观察频数分布直方图，确定数据的取值范围及组数，利用组距等于极差除以组数进行计算即可． 【详解】解：由图可知，数据的最小值为，最大值为，直方图中共有个小组， 则组距为： ． 14. 已知菱形的两条对角线长分别为，，菱形的面积为5，周长为，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形面积公式可得的值，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理可得的值，对所求代数式因式分解后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为，，面积为， 由菱形面积公式得， 解得 ． 菱形的周长为， 菱形的边长为 ． 菱形的对角线互相垂直平分， 由勾股定理得 ， 整理得 ，即 ． 对所求代数式因式分解得：， 将，代入得：． 15. 两种浓度分别为，的糖水的混合含糖量为：，其中，分别为这两种糖水的质量（单位：），且满足：，则混合含糖量等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式被开方数非负的性质求出和的值，再按照题目给出的新定义运算代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得：， 解得  代入原式得：， 解得 将代入，得  ∵ ， ∴． 16. 如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的中位线，根据三角形的中位线定理可知，利用勾股定理可以求出，根据三角形三边关系可得当点、、三点共线时，取最小值，最小值为． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， 点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 当点、、三点共线时，取最小值， 最小值为． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算和化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： 解得 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 解得， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在四边形中，、分别是、的中点． （1）若四边形是平行四边形，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是正方形，则 ． 【答案】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，根据平行四边形的性质得到，，可知，，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据题意得到，根据正方形的性质求出，，根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴． 21. 某校八年级社会实践小组为深入了解同学们对我市航空航天产业的认知情况，随机抽取400名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图．请回答下列问题： 对镇江市航空航天产业的认知程度 尊敬的受访同学： 您好！为了解大家对镇江市航空航天产业的了解程度与建议，特开展此次调查，本问卷采用匿名形式，数据仅用于统计分析，感谢您的配合与支持！（以下均为单选） 1．您是否了解“镇江航空航天产业”？ A．非常了解 B．比较了解 C．一般了解 D．完全不了解 2．如果上题您选C或D，请问您最想了解以下哪一项？ E．大飞机C919的零部件配套 F．无人机产业 G．航空发动机及高温合金材料 H．航空教育 （1）扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为 ； （2）条形统计图中 ； （3）已知全校有2000名学生，请估计其中对我市航空航天产业有着一般了解的程度并且最想了解航空教育的学生人数． 【答案】（1） （2） （3）50人 【解析】 【分析】（1）由扇形统计图可知A、B所占百分比，从而求出C、D所占百分比之和，再结合条形统计图中D组人数求出D所占百分比，即可算出D对应扇形的圆心角． （2）由D组人数和D所占百分比求出总人数，再求出C组人数，用C组人数减去其他三项C组人数之和即可求出m． （3）利用样本中C组且选择H项的人数所占比例，乘以全校总人数即可估算． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，A占，B占， C、D共占， C、D两组共有（人）， 由条形统计图可知，D组人数为（人）， D所占百分比为， 扇形D的圆心角为． 【小问2详解】 解：由（1）得：C、D两组共有（人），D组人数为（人）， ． 【小问3详解】 解：样本中了解程度为C且最想学习H项（航空教育）的人数为10人， （人）， 估计全校2000名学生中，了解程度为C且最想了解H项的人数约为50人． 22. 我们的课本中有这样的一段叙述：“分式的值随分式中字母取值的变化而变化．” 当时，我们对分式的取值情况进行研究． x …… 1 2 3 4 5 6 8 …… …… 5 4 5 …… （1）观察表格，猜想：分式有最小值为 ； （2）推理证明：证明你的猜想； （3）求分式的最小值． 【答案】（1） （2）证明：， ， 配方得， ， ， 当且仅当时等号成立， ∴ 分式的最小值为，猜想成立； （3） 【解析】 【分析】（1）观察表格中分式的取值，发现时分式取得最小值，所有其他取值都大于4，因此猜想最小值为4； （2）将分式拆分变形为，再利用完全平方公式配方，结合平方的非负性证明猜想； （3）通过换元法将原分式变形为第二问的形式，利用第二问的结论求出最小值． 【小问1详解】 解：观察表格数据，所有对应的分式值都大于等于4，因此猜想分式的最小值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，由得，且， 代入原分式得：  由(2)的结论可知，当时，，当且仅当时等号成立， 满足条件， ，即分式的最小值为． 23. 在梯形中，，，，，动点从点出发向点运动，动点从点出发，以相同的速度向点运动． （1）如图1，连接、交于点，求证：； （2）过点作，垂足为，当最大时，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段（保留作图痕迹，不写作法），直接写出的最大值 ． 【答案】（1）证明：∵梯形， ∴， ∴， ∵动点从点出发向点运动，动点从点出发，以相同的速度向点运动， ∴， ∴． （2）解：如图：线段即为所求；的最大值为． 【解析】 【分析】（1）由梯形的定义以及平行线的性质可得，由题意可知，利用“角边角”即可证明结论； （2）先说明必过的中点O，连接，运用尺规作出的中点O，连接，过O作交于P、Q，线段即为所求．如图：构建直角坐标系，易得，，再利用勾股定理求两点间的距离即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，, ∴必过的中点O， 如图：连接，过点作，则 ∴是的最大值，即点O和点E重合， ∴线段即为所求；作图略 如图：建立直角坐标系，则， ∵的中点O， ∴，即， ∴， ∴的最大值为． 24. 【数学探究】“手风琴折”是常用的折纸方式，如图1，将一张矩形纸片的长边等分后反向折叠形成手风琴状结构，其中每个折页的折叠方向与相邻折页相反． （1）如图2，现有一张长、宽的矩形纸片，将矩形的上下两条长边各等分，画出三条线段，均与原矩形纸片的宽平行，按实线凸起折叠，虚线凹陷折叠，压平后多面重叠，得到的“手风琴折”的外轮廓为一个矩形的形状，则这个矩形的对角线长为 ； （2）如图3，现有一张矩形纸片，已知，边的四等分点以及点所在的实、虚线与纸片的长边所夹锐角均为，将纸片进行“手风琴折”，压平后多面重叠，得到的“手风琴折”的外轮廓为一个四边形的形状，则这个四边形是 （填写序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形 （3）如图4，在矩形纸片中，，，，，，沿图中互相平行的实线、虚线进行“手风琴折”，点的对应点落在上，压平后每相邻的两个折页的重叠部分都是全等图形，计算这个图形的面积． 【实际应用】 （4）学校兴趣小组的同学们用一张矩形纸片（厚度忽略不计）模拟成太阳能板，宽米，，做两次“手风琴折”，纸片内部同一方向的折痕互相平行．首先将短边四等分，如图5，，第1次得到的“手风琴折”的外轮廓是矩形（记为，如图6），在上取点，，，，，，米，此时测得，做第2次“手风琴折”后，展平，并重新标记实线和虚线（如图7），按实线凸起折叠，虚线凹陷折叠，就可以做成如图8的易于收缩和展开的“太阳能板”了．折叠压平后的“太阳能板”的面积约等于 米2． （参考数据：） 【答案】（1） （2）④ （3） （4） 【解析】 【分析】（1）矩形长被三等分，每段长，压平后外轮廓矩形的一边为原矩形的宽，另一边为，用勾股定理求对角线； （2）设，则，长边被四等分后每段长，折痕与长边夹角为，所以单个折叠单元沿方向的长度等于纸带宽，压平后外轮廓的四条边对应相等的斜线段，且相邻内角为和，故为菱形； （3）压平后图形是一个平行四边形，其底边长等于，高等于原矩形的宽。点的对应点落在上，只说明折叠后没有空隙，不影响底和高的取值。 （4）第一次折叠把纸带宽压缩为；第二次折叠压平后，外轮廓是平行四边形，底边长等于第二次折叠的节段长，高等于第一次折叠后的纸带宽，计算验证折痕能落在纸带内，求面积即可． 【小问1详解】 解： 矩形的长为，且被三等分， 每段长为， 压平后外轮廓矩形的一边等于原矩形的宽，另一边等于， 对角线长为． 【小问2详解】 解：设， ， 长边被四等分， 每段长为， 折痕与长边所夹锐角为， 单个折叠单元沿方向的长度等于纸带宽， 压平后外轮廓的四条边都等于相等的斜线段长， 折叠后如图3-1，故可知，为腰长为a的等腰直角三角形， 将图形多面重叠的操作是分别将，分别沿折叠，得到图3-2， 故可知，, 该四边形是菱形． ∵, ∴该四边形是正方形． 【小问3详解】 解：， 每个折叠单元沿方向的长度都是， 点的对应点落在上， 压平后各折页完全叠合，没有空隙， 外轮廓是一个平行四边形， 其底边长等于， 其高等于原矩形的宽， ． 【小问4详解】 解：，且， ， 在中，，， ， ， ， 此时，折痕能落在纸带内， 第二次折叠压平后，外轮廓是平行四边形， 其底边长等于第二次折叠的节段长， 其高等于第一次折叠后的纸带宽， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期初中阶段性学习评价Ⅱ 八年级数学试卷 本试卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 下列成语所反映的调查方式是抽样调查的是（ ） A. 见微知著 B. 面面俱到 C. 无所不至 D. 挨家挨户 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在一个网约车平台上，某时段共有40辆在线接单的车辆，分为新能源车和燃油车，车辆外观、接单优先级等其他条件完全相同．乘客通过多次打车体验后发现，打到新能源车的频率稳定在附近，则该平台这40辆在线车辆中，新能源车辆约有（ ）辆 A. 7 B. 12 C. 16 D. 28 6. 分式的化简结果是（ ） A. B. C. D. 7. 根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示重力加速度，取，表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得，，该汽车的车速（单位：）最接近的数值为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 8. 某AI公司租用云服务器进行模型训练，租用A、B两种型号的GPU实例（图形处理器）．A、B两种实例每小时的租用费用之和为100元，且两种实例的总租赁费用相同，均为12800元．已知“_________”，设A实例每小时的租用费用为元，则可列方程．根据此情境，题中“________”表示的缺失条件可以是（ ） A. A实例每小时的租赁费用是B实例每小时的租赁费用的两倍 B. B实例每小时的租赁费用是A实例每小时的租赁费用的两倍 C. A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍 D. B实例的租赁时间是A实例的租赁时间的两倍 9. 面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 计算：＝_____． 13. 某盲盒收集爱好者对其收集的30个盲盒的重量（单位：g）进行统计，绘制了如图所示的频数分布直方图，其组距为_______． 14. 已知菱形的两条对角线长分别为，，菱形的面积为5，周长为，则的值是_______． 15. 两种浓度分别为，的糖水的混合含糖量为：，其中，分别为这两种糖水的质量（单位：），且满足：，则混合含糖量等于_______． 16. 如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算和化简： （1）计算：； （2）化简：． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中，、分别是、的中点． （1）若四边形是平行四边形，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是正方形，则 ． 21. 某校八年级社会实践小组为深入了解同学们对我市航空航天产业的认知情况，随机抽取400名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图．请回答下列问题： 对镇江市航空航天产业的认知程度 尊敬的受访同学： 您好！为了解大家对镇江市航空航天产业的了解程度与建议，特开展此次调查，本问卷采用匿名形式，数据仅用于统计分析，感谢您的配合与支持！（以下均为单选） 1．您是否了解“镇江航空航天产业”？ A．非常了解 B．比较了解 C．一般了解 D．完全不了解 2．如果上题您选C或D，请问您最想了解以下哪一项？ E．大飞机C919的零部件配套 F．无人机产业 G．航空发动机及高温合金材料 H．航空教育 （1）扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为 ； （2）条形统计图中 ； （3）已知全校有2000名学生，请估计其中对我市航空航天产业有着一般了解的程度并且最想了解航空教育的学生人数． 22. 我们的课本中有这样的一段叙述：“分式的值随分式中字母取值的变化而变化．” 当时，我们对分式的取值情况进行研究． x …… 1 2 3 4 5 6 8 …… …… 5 4 5 …… （1）观察表格，猜想：分式有最小值为 ； （2）推理证明：证明你的猜想； （3）求分式的最小值． 23. 在梯形中，，，，，动点从点出发向点运动，动点从点出发，以相同的速度向点运动． （1）如图1，连接、交于点，求证：； （2）过点作，垂足为，当最大时，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段（保留作图痕迹，不写作法），直接写出的最大值 ． 24. 【数学探究】“手风琴折”是常用的折纸方式，如图1，将一张矩形纸片的长边等分后反向折叠形成手风琴状结构，其中每个折页的折叠方向与相邻折页相反． （1）如图2，现有一张长、宽的矩形纸片，将矩形的上下两条长边各等分，画出三条线段，均与原矩形纸片的宽平行，按实线凸起折叠，虚线凹陷折叠，压平后多面重叠，得到的“手风琴折”的外轮廓为一个矩形的形状，则这个矩形的对角线长为 ； （2）如图3，现有一张矩形纸片，已知，边的四等分点以及点所在的实、虚线与纸片的长边所夹锐角均为，将纸片进行“手风琴折”，压平后多面重叠，得到的“手风琴折”的外轮廓为一个四边形的形状，则这个四边形是 （填写序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形 （3）如图4，在矩形纸片中，，，，，，沿图中互相平行的实线、虚线进行“手风琴折”，点的对应点落在上，压平后每相邻的两个折页的重叠部分都是全等图形，计算这个图形的面积． 【实际应用】 （4）学校兴趣小组的同学们用一张矩形纸片（厚度忽略不计）模拟成太阳能板，宽米，，做两次“手风琴折”，纸片内部同一方向的折痕互相平行．首先将短边四等分，如图5，，第1次得到的“手风琴折”的外轮廓是矩形（记为，如图6），在上取点，，，，，，米，此时测得，做第2次“手风琴折”后，展平，并重新标记实线和虚线（如图7），按实线凸起折叠，虚线凹陷折叠，就可以做成如图8的易于收缩和展开的“太阳能板”了．折叠压平后的“太阳能板”的面积约等于 米2． （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $