精品解析： 江苏省宿迁市宿城区新区共同体2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区新区共同体八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 调查下列问题，适宜用抽样调查的是（ ） A. 了解某年级学生的视力情况 B. 了解某班学生的身高情况 C. 检测某城市的空气质量 D. 选出学校短跑最快的学生参加全市比赛 2. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ） A. 3天内将下雨 B. 打开电视，正在播新闻 C. 买一张电影票，座位号是偶数 D. 明天太阳从西方升起 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6. 若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 定义一种“”运算：，例如：，则方程解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合． 10. 若代数式的值为，则实数的值为________． 11. 分式，，的最简公分母是______． 12. 菱形的周长为12，它的一个内角为60º，则菱形的较短的对角线长为_______． 13. 若的值是5，则________． 14. 已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是______． 15. 最简二次根式与是同类二次根式，则______． 16. 若实数a满足，则_____． 17. 在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以为顶点的四边形是平行四边形，则_________． 18. 如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列分式方程 （1） （2） 21. “劳动创造幸福，实干成就伟业．”某校为了解学生寒假期间平均每天劳动时长x(单位：分钟)，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下统计图表． 时间段 频数 频率 （1）______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）根据抽样调查结果，若该校有名学生，试估计该校学生寒假期间平均每天劳动时长不低于分钟的人数． 22. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近________； （2）计算盒子里白、黑两种颜色球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 23. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 24. 若关于的分式方程有增根，求的值． 25. 《哪吒之魔童闹海》作为2025年春节档最火爆的电影，其电影主角哪吒这位带着千年文化基因的东方少年也深受大家的喜爱．某网店销售“哪吒”的毛绒玩偶，第一次用8400元购进该毛绒玩偶后很快售完，该网店第二次购进该玩偶时，发现进价提高了20%，所以用相同的钱购进的玩偶数量比第一次少了35件．求该网店第一次购进“哪吒”的毛绒玩偶每件的进价是多少元？ 26. 镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货． 现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间（小时）和卸货速度（吨小时）之间函数关系如图． （1）写出与之间函数表达式为______． （2）如果用小时卸完所有货物，求卸货速度； （3）若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要______台吊机同时作业（假设每台吊机卸货速度相同）？ 27. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积． 28. 问题情境：如图，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． 四边形是正方形吗？请说明理由； 若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区新区共同体八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 调查下列问题，适宜用抽样调查的是（ ） A. 了解某年级学生的视力情况 B. 了解某班学生的身高情况 C. 检测某城市的空气质量 D. 选出学校短跑最快的学生参加全市比赛 【答案】C 【解析】 【分析】根据由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、了解某年级学生的视力情况适合全面调查； B、了解某班学生的身高情况适合全面调查； C、检测某城市的空气质量适合抽样调查； D、选出学校短跑最快的学生参加全市比赛适合全面调查； 故选C． 【点睛】考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 2. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ） A. 3天内将下雨 B. 打开电视，正在播新闻 C. 买一张电影票，座位号是偶数 D. 明天太阳从西方升起 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件，不符合题意； B、打开电视，正在播新闻，是随机事件，不符合题意； C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件，不符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，符合题意； 故选D． 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用最简分式定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】A、=，不符合题意； B、，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、=x-3y，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法、二次根式的加法、二次根式的除法，根据二次根式的减法、二次根式的加法、二次根式的除法的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可得，，，进而可得判定平行四边形的依据． 详解】解：由作图可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴依据为两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定．解题的关键在于理解作图过程． 6. 若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】令点A为（-0.5，0），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案． 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： 分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限； ②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限； ③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限， 则第四个顶点不可能落在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏． 7. 定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 整理得：， 去分母得：-x=1+x-2， 解得：x=， 检验：把x=代入得：x-2≠0， ∴分式方程的解为x=． 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，分式方程注意要检验． 8. 如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数、二次函数性质解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：设点坐标为，则， ， 由三角形面积公式可得：， 整理得， 根据二次函数性质可知，当时，三角形面积有最大值，最大值为． 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合． 【答案】72 【解析】 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合． 故答案为：72 【点睛】本题考查旋转对称图形概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 10. 若代数式的值为，则实数的值为________． 【答案】x=1 【解析】 【分析】根据分式为0的条件，列出不等式组并解答即可． 【详解】解：由分式为0的条件得： ，解得x=1． 故答案为x=1． 【点睛】本题考查了分式为0的条件，根据分式为0的条件列出不等式组是解答本题的关键． 11. 分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简公分母，根据最简公分母的定义可以找出题目中各个式子的最简公分母，本题得以解决． 【详解】解：分式的最简公分母是， 故答案为：． 12. 菱形的周长为12，它的一个内角为60º，则菱形的较短的对角线长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长=菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了． 【详解】菱形有一个内角为60°， 则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形， 则菱形较短的对角线长=菱形的边长=12÷4=3cm． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定及性质．若菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形是解题的关键． 13. 若的值是5，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简后，再解答即可． 【解答】解：原式＝ ＝， 因为原式的值等于5， 可得：， 解得：a＝， 故答案为：． 14. 已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】图象法解不等式即可． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数相交于点，， ∴， ∴，； 作出一次函数和反比例函数的图象如图所示： 由图可知：的解集为：或； 故答案为：或 【点睛】本题考查图象法解不等式，解题的关键是正确的画出一次函数和反比例函数的就图象． 15. 最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念列式运算即可． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得：， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的概念和最简二次根式，熟悉掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 16. 若实数a满足，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，再利用绝对值的性质化简，即可得出答案，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键。 【详解】解：∵有意义， ， 解得：， ∵， ∴， 故， ∴， 解得：． 故答案为：3． 17. 在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以为顶点的四边形是平行四边形，则_________． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．由，得轴，而，，则，再分点C在点B左侧和点C在点B右侧两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵以为顶点的四边形是平行四边形，，， ∴， ①当点C在点B左侧，如图1，则； ②当点C在点B右侧，如图2，则； 综上所述，或5， 故答案为：或5． 18. 如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解． 【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接 由题意得： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等．通过证全等和作对称得出是解题关键． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式直接约分即可； （2）将除法化为乘法，然后约分即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解下列分式方程 （1） （2） 【答案】（1）x=；（2）无解 【解析】 【分析】（1）先去分母化为整式方程，再解方程求出解后检验即可； （2）先去分母化为整式方程，再解方程求出解后检验即可. 【详解】（1） 2（3-x）=4+x 6-2x=4+x -3x=-2 x=， 经检验，x=是原分式方程的解， ∴原分式方程的解是x=； （2） 2x=2 x=1， 检验：当x=1时，=0，∴x=1不是原分式方程解， ∴分式方程无解. 【点睛】此题考查解分式方程，首先将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解后需检验是否符合分式方程，再确定分式方程的解. 21. “劳动创造幸福，实干成就伟业．”某校为了解学生寒假期间平均每天劳动时长x(单位：分钟)，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下统计图表． 时间段 频数 频率 （1）______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）根据抽样调查的结果，若该校有名学生，试估计该校学生寒假期间平均每天劳动时长不低于分钟的人数． 【答案】（1）； （2） 补全频数分布直方图如图所示． （3） 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、频数（率）分布表、用样本估计总体； （1）用表中时间段为的频数除以频率求出抽取的学生人数，再乘以时间段为的频率可求出的值；用时间段为的频数除以抽取的学生人数可求出的值． （2）根据（1）中所求的值补全频数分布直方图即可． （3）根据用样本估计总体，用乘以时间段为和的频率之和，可得答案． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为人， ． ． 故答案为：；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 1人． 估计该校学生寒假期间平均每天劳动时长不低于分钟的人数约人． 22. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近________； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）0.25；（2）盒子里白、黑两种颜色的球各有15个、45个；（3）15 【解析】 【分析】（1）根据摸到白球的频率，可得“摸到白色球”的概率； （2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）∵摸到白球的频率为0.25，∴“摸到白色球”的概率=0.25． （2）∵60×0.25＝15，60﹣15＝45，∴盒子里白球为15个，黑球45个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得： 解得：x＝15． 答：需要往盒子里再放入15个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 23. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 24. 若关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，即，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：． 【点睛】此本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 25. 《哪吒之魔童闹海》作为2025年春节档最火爆的电影，其电影主角哪吒这位带着千年文化基因的东方少年也深受大家的喜爱．某网店销售“哪吒”的毛绒玩偶，第一次用8400元购进该毛绒玩偶后很快售完，该网店第二次购进该玩偶时，发现进价提高了20%，所以用相同的钱购进的玩偶数量比第一次少了35件．求该网店第一次购进“哪吒”的毛绒玩偶每件的进价是多少元？ 【答案】40元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出分式方程． 设第一次购进的“哪吒”的毛绒玩偶每件的进价为元，则第二次购进该玩偶时每件的进价为元，根据“同样用了8400元，购进的数量比第一次少了35件”列出方程，即可求解． 【详解】解：设该网店第一次购进“哪吒”的毛绒玩偶每件的进价是元， 由题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该网店第一次购进“哪吒”的毛绒玩偶每件的进价是40元． 26. 镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货． 现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间（小时）和卸货速度（吨小时）之间的函数关系如图． （1）写出与之间函数表达式为______． （2）如果用小时卸完所有货物，求卸货速度； （3）若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要______台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）？ 【答案】（1） （2）卸货速度为吨小时； （3） 【解析】 【分析】（1）观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，即可求解； （2）将代入，即可求解； （3）根据（1）可得货物的重量，设需要台吊机同时作业，根据题意，列出不等式，不等式即可求解． 【小问1详解】 解：观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点， ， ∴与之间函数表达式为， 故答案为：． 【小问2详解】 将代入， 解得， 答：用小时卸完所有货物，求卸货速度为吨小时； 【小问3详解】 解：∵只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时， ∴每台吊机的卸货速度吨小时， 由（1）可得货物的重量为吨 设需要台吊机同时作业 ∴为了实现小时内完成卸货， 解得： ∵为正整数， ∴最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，反比例函数与一次函数综合，求出一次函数与反比例函数图象交点坐标是关键； （1）根据题意可得，即有，问题随之得解； （2）表示反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可； （3）若与y轴相交于点C，可得，则，根据，问题即可得解． 【小问1详解】 由题知， ∴， ∴，， ∴， 把，代入得， ∴， ∴； 【小问2详解】 由图象可知自变量x的取值范围为或 【小问3详解】 若与y轴相交于点C， 当时，， ∴，即：， ∴． 28. 问题情境：如图，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． 四边形是正方形吗？请说明理由； 若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 【答案】（）；（），理由见解析；（）四边形是正方形，理由见解析；． 【解析】 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图， 连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； 作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则 ，可得， 求出的值即可得出结论． 【详解】（）∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故答案：； （），理由如下: 如图，过点作交于点，交于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，连接， 由（）的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，，由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， 即当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $