湖南长沙市湖南师范大学附属中学2026届高三年级高考模拟卷（三）数学试题

高三模拟卷（三） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 功 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 阁 求的 1.已知全集U,A,B均为U的子集，且A二B,则A∩(CvB)= A.⑦ B.A C.B D.U 2.若以直线3x士2y=0为渐近线的双曲线经过点(2,3√2)，则该双曲线的方程为 A￥若-1 c荒苦-1 3.若cos(号-a)-号，则sim(2a-晋)= h A司 B-日 c日 D 州 4.已知直线ax十by=a-2b与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点，则|AB的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.25 5.某工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量重量，已知每袋面粉的重量X(单位：千克)服 从正态分布N20,60n),若P(19.95≤X≤20.05)≥0.9973，则n的最小值为 [参考数据：若XN(μ，o2),则P(μ一3≤X≤十3o)≈0.9973.] A.100 B.60 C.6 D.1 nam,则2S+10 6.设数列(a}的前n项和为Sn,a=1,且a+1=n十1a。 的最小值为 an A号 B.210+1 c号 n号 7.已知向量a=(2,1),b=(2,一1)，则m=a十b,n=a十b(入，∈R),则下列表述正确的是 A.存在唯一的实数对（入，），使得m∥n B.存在唯一的实数对（入，u),使得m⊥n C.存在唯一的实数对（入，u),使得m=n D.存在唯一的实数对（λ，u),使得m=|n 数学试题(T10)第1页（共7页） 8.已知一个实心圆锥几何体的体积为V1,从中挖去一个体积为V2的半球，且球心在圆锥底面 上，则亡的最大值为 婚 B42 9 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知方程x2=一4的复数解为之1,2，则 A.x1十x2=0 B.十号=8 C.若1=a十bi,其中b>0,则满足之·=2十i的复数之在复平面内对应的点在第二象限 D.若之=1，则|之一1·2的最小值是3 10.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,准线为L,O为坐标原点，平面内一直线过点F且 与抛物线C交于A,B两点，过A,B分别作准线L的垂线AM,BN,AB的最小值为4，以下 说法正确的是 A.抛物线C的方程为y2=4x B.2 MN=MFNF C.若△AMF为等边三角形，则直线AB的斜率为√3 D.若A-号F店，则△BFN的面积与△MFN的面积的比值为号 11.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,若f'(2)=3,函数f(x+1)和f'(x十2)均 为偶函数，则 A.f(0)=0 B.f(x十4)=f(x) C.函数f(x)的图象关于点(3,0)对称 D.r(-3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若函数f(x)=x3一bx2+a.x在[a,a+4]上为奇函数，则a+b= 13.从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为X,则 P(X<1)= 14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为Q,b,c,已知a=3,且c2+2=9,则1。十，2 tanan C的 最小值为 数学试题(T10)第2页（共7页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 某种植户对一块地的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均 为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要 进行补播种，否则要补播种， (1)当=3时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望， (2)当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 数学试题(T10)第3页（共7页） 16.(本小题满分15分) 稀圆C言+苦-1(a>60)的离心率为号其左熊点F到点P2,1)的距离是而。 (1)求椭圆C的方程； (2)过点F且斜率为飞的直线交椭圆C于M,N两点，若∠MON>受，求k的取值范围. 数学试题(T10)第4页（共7页） 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥A-BCD中，O为BD的中点.点E在棱AD上，DE=2EA. (1)若AB=AD=BD=2,OC⊥平面ABD,OC=√3，求二面角E-BC-D的大小； (2)在直线AC上是否存在点F,使得BF∥平面COE?若存在，确定点F的位置；若不存在， 请说明理由 B 数学试题(T10)第5页（共7页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f)=e12n∈N. (1)证明：f(x)有唯一零点； (2)记f(x)的零点为an. (ⅰ)数列{αm}中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； (i)证明：2(Vn+1-1)<21≤n+1十lnn i=1a: 2 数学试题(T10)第6页（共7页） 19.（本小题满分17分) 已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数f(x)为元素构成的集合： ①定义域为[0，r]; ②f(0)=0; ③f(x)=f(k)+a·(x-k),k<x≤k+1,其中a%∈{-1,2}，k∈{0,1,2，…，r-1}. 对给定的整数m,n(其中0≤n≤r),记A,m={f(x)∈Gf(n)=m}. (1)当r=1时，求集合A1,-1. (2)若0≤i<j≤r且j一i不是3的倍数，证明：A,m∩A,m=0; (3)从集合G中随机取出一个函数g(x),证明：对任意0<n≤r一3，随机事件“g(x)∈A,m∩ A3”发生的概率都不超过品 数学试题(T10)第7页（共7页） 高三模拟卷（三） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 9 10 11 答案 A D B C B C C A AD ABD BD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.A【解析】根据Venn图，阴影部分为CuB,显然集合A与CuB无公共部分，所以A∩(CuB)=. B 2.D【解析】因为双曲线的渐近线为3x士2y=0,所以设双曲线方程为9x2一4y2=λ， 又双曲线经过，点(2,3√2)，所以9X22-4×(3√2)2=λ，得λ=一36， 所以双曲线方程为9x-4y2=一36，化为标准方程为号- 94=1. 3.B【解析】由题意，得sim(2a-）=cos(2a-吾-）=cos(2a-）=co(-2a）=2cos2(3-a)-1- 2×(号）-1=-号，B正确. 4C【解析】国为ax十6y+26-a=0,即a(x-1D+6(+2)=0,令工1=0，得=1， y+2=0y=-2, 故直线恒过(1，一2)，设P(1,一2)，圆化为标准方程得C:x2十(y十2)2=5， 设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小， |PC=1,|AC=|r=√5，此时|AB|=2|AP|=2√AC-PC=2W√5-I=4. 5.B【解析】由题意知当P(19.95≤X≤20.05)≥0.9973时，[-3o,十3o]二[19.95,20.05]， 又=20，g=√品所以0053V品解得心60，所以n的最小值为60， 6.C【解折】由a=常-费又a=1,所以a=则a为等差效列， 得及-号a+a）-na.所以2S士10_+t10-a+1+9, an 又n∈N,当m=3时，m+1+只-号，当=4时，m+1+9-受 n21 所以当=3时，25士10取到最小值号 7.C【解析】因为向量a=(2,1),b=(2,-1),则m=a+b=(2λ十2，λ-1)，n=a十b=(2+2,1一)， 对于A,m∥n当且仅当2(1+)(1-μ)=2(a-1)(十1)，即1+λ-u-u=-十入-1， 即4=1，由此可知存在无数组实数对（入，），使得m∥n,故A错误； 对于B,m⊥n当且仅当4（入+1）(+1)+(-1)(1-)=0，即4（μ+λ十十1）+（入一1一4+）=0，即(3λ+ 5)=-(5λ+3)， 当二一号时，该方程不成立，此时不存在实教对以，)，使得m上m, 当入=一号时，此时以=0，由此可知存在实数对（一言，0），俊得mLn, 当X≠一是且≠一号时，此时存在无教对实教对G),使得mLm,故B错误； 数学参考答案(T10)一1 对于C,m=n当且仅当 2以十2=2+2”解得入=4=1，故C正确： λ-1=1-μ， 对于D,|ml=|n→4(+1)2+(-1)2=4（μ+1）2+(1-)2， 即52十6λ=52+6μ，进而可得(-μ)(5λ十54十6)=0， 故当λ=μ或者5λ十54十6=0时，此时有无数组实数对(，u),使得|m|=n,故D错误. 8.A【解析】设周维的底面半径为r,高为，则体积V=了h 要是使得光取最大值，剥花去的半球应与国锥侧面相切，设半球的半经为R,则你积V,=号。 由相切时得一年伞0圆k=r六长-罗，员· (2+1)是(2+1)1 (2+1),求导得f(0=2 令f)=2 2(e+1)-t.是r+1)·22z2-2 (2+1)3 (t+1)2 令f(t)>0,得0t<√2，令f(t)<0,得t>√2. 所以f()≤fW2)=2X(W2)2=4=4=43 (2+1)是3毫339 故始的最大值为智 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD【解析】因为（士2i)2=一4，因此不妨令方程x2=一4的复数解1=2i,22=一2i, 对于A,1与2互为共轭复数，A正确；对于B,十号=一8，B错误； 对于c=由-2+i得-尝2却S-号-号 2i 则复数之在复平面内对应的点（分，一1）在第四象限，C错误； 对于D,设x=x十yi(x,y∈R),由z|=1,得x2+y2=1,显然有-1≤x≤1，因为之1·2=4， 因此|之-名·2|=|(x-4)+yi=√(x-4)2+y=√17-8元≥3，当且仅当x=1,即x=1时取等号，D 正确. 10.ABD【解析】由于|AB引的最小值为2，所以2p=4,p=2,故C的方程为y2=4x,故A正确； 因为MA=AF1,所以∠AFM=∠AMF=-,MAF,同理∠BFN=∠BNF=一∠，NBE, 2 2 所以∠AFM什∠BFN-2红二∠MAF-∠NBE=吾，故MFLNF,设I与x轴交于点P, 2 则Saew=号MFIINF列=2 FPIMNI,即2MN=MFIINF,故B正确； 已知△AMF为等边三角形，结合AM∥x轴，AF=AM,可得∠MAF=60°， 因此直线AB的倾斜角为60°或120°，斜率k=tan0=士√3，C错误； 不妨设，点A在第一象限，直线AB的倾斜角为日，由抛物线的定义可知MA=|AF|, 则cos0=h,每得AP=1-00广1-8s6:同显可得BF=1+名0 2 力 2 =1十cos0' 因为A-号馆，所以一。号·十0解得a0=方可知1A=营BF=号，A出=票。 △BFN的面积为号BFIIBNIin(x-0)-3sin0,△MFN的面积为2 FPIMNI=MN=IABIsin0= 数学参考答案(T10)一2 2要sin0,故△BFN的面积与AMFN的面积的比值为行，故D正确。 11.BD【解析】因为f(x+1)是偶函数，所以f(-x+1)=f(x+1), 所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称， 由f(-x十1)=f(x+1)两边求导得-f(-x+1)=f(x十1)，得∫(x)=-f(2-x), 令x=0,则f(0)=-f(2)=一3→f(0)=-3,A错误； 因为函数∫(x十2)为偶函数，所以f(x十2)=f(一x十2)， 所以f(x)=f(4一x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称， 又f(x)=-(2-x)=-f(x十2)，则f(x十2)=-f(x十4)， 所以f(x)=f(x十4)，B正确； 因为f(x)的周期为T=4,且f(x)=-f(2-x),故f(4一x)=f(-x)=-f(2十x), 所以-f(4-x)=-f(2十x)十c,c为常数，因此f(4-x)=f(2+x)-c, 所以f[4-(2-x)]=f[2+(2-x)]一c,则f(2+x)=f(4-x)-c, 故c=0,故f(4-x)=f(2+x),即f(6-x)=f(x), 所以函数f(x)的图象关于直线x=3对称，C错误； 因为f(x)=f(4-x),所以f(1)=f(3)=0,且f(0)=f(4)=-3, 综上，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 所以受f0=506×[f1+f2)+f3)+f④)]+f1)+f(2)=3,D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-2【解析】因为函数f(x)=x3-bx2十ax在[a,a十4]上为奇函数，则a十a十4=0，解得a=-2, 所以f(x)=x3-bx2-2.x, 由奇函数的定义得f(一x)=-f(x),即(-x)3一b(一x)2十2x=-(x3-bx2-2x), 化简得2bx2=0,因为x不恒为0，故b=0,则a十b=-2. 13器 】由题意知X服从超儿何分布，则P(X=0)=C=器，所以PX<)=PX 22 351 14.6【解析】由a=3且c2+2b2=9可知a2=c2+2b. 设x= in Bm C 1 由c2十b2-a=-b<0,可判断A为钝角，B,C为锐角，所以x>0,y>0. 又a=2w+osmA-=2B叶snC一(mahc广-品c+动B3+B 211 2 tan2B tan2C' 因为A=元-(B+C),所以sinA=sin(B+C)=sin Bcos C.+cos Bsin C. 所以nCB十Ct 1 所以(x+)2=3+x2+2yz=Y+3 2y B+品c=r+2y=(岁)+2是+是+2≥6， 1 当且仅当y=1时取等号，tanC-1,tanB=号，满足题千条件. 综上aB十a品C的最小惟为6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析11)对于一个抗而言，要补播种的概丰为（侵）》°十C(合)》'=号 …2分 n=3时，要补播种的坑的个数X的所有可能的取值为0,1,2,3，… …3分 XB(3,2) 4分 数学参考答案(T10)一3 PX=0)-C(合)-日，PX=1D-C×(合)》°-音， P(X=2)=C(合)-是，PX=3)=CG(合)°-3 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 18 3 8 8 …6分 因为X~B(3,2),所以E(X)=3×号=1.5. ……7分 (2)有3个坑需要补播种的概率为C×(2)”, …9分 c()》≥c(合) 要使C×(侵)”最大，只需 解得5≤n≤6， c(合》广≥c(合)》 .n∈N*,.n=5,6. 11分 n=5时，C×(号)°=6m=6时，C×(合)°-： 所以当n=5或n=6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为 5 …13分 1.【解折1①由题唐可得e=-号，1PF=2+o干=VD, 解得c=1,a=√2，则b=√a2-c2=1, 所以精圆的方程为号十少=1.… ……5分 (2)设直线MN:y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2), 将直线与椭圆方程联立 号+y=1, y=k(x+1), 整理得(1+2k2)x2+4kx+2k2-2=0,经检验△>0， -4k2 x1十x2=1+2k2’ 根据韦达定理 2k2-2 8分 x1x2=1+2k2' 因为∠M0N受，所以OM.ON<0,即x十<0， 10分 所以x1x2十2(x1十1)(x2十1)<0，整理得(1十k2)x1x2+k2(x1十x2)十k<0, 将韦运定理代入得1十)·件录+数·十提十<0， 去分母后整理得2<2，解得k∈（一√2,2）.…15分 M 数学参考答案(T10)一4 17.【解析】(1)由AB=AD,O为BD中点，得AO⊥BD, 又OCL平面ABD,所以OC,OA,OB两两互相垂直， …2分 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为之轴，建立空间直角坐标系，…3分 由△ABD为等边三角形，O为BD中，点，得OB=OD=1,AO=√3， 所以O(0,0,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,W3,0),A(0,0W3),… 4分 由DE=2EA,得E(-号，0,2)，从而BC=(-15,0,腕-(-号0,2)， 设平面BCD的法向量为n1,可取n1=(0,0,1)，… ……5分 设平面EBC的法向量为n2=(x,y,z), [n2·BC=-x+3y=0, 由 m脏=-青+2=0， 令y=1,则x=3,之=2，得2=(W3,1,2),…6分 设二面角E-BC-D的大小为0，则|cos0= n1·n2 2 2√2 n1n2 …7分 √(W5)2+12+222√2 2 由图可知，0为锐角，所以二面角E-BC-D的大小是平 ……8分 (2)解法一：令A馆=a,AC=b,AD=C,设A疗=入AC=汤，…9分 则Ci-CA+A0=-b+号(a+c),C2-Ci+Ai=-b+3c, 且B7-BA十Af=-a十汤，…10分 若BF∥平面COE,则存在实数x,y, 使得B萨=x0i+y花=b+2za+e)+(一b+号c)=合a-(x+b+(合x+号y以e,…11分 则-a+沾=m-(x+0b+(分x+3y)c, 2x=-1, 由平面向量基本定理得x十y=一入， ………13分 2x+3y=0, 解得x=一2，y=3,λ=一1，… …14分 所以存在，点F,位于线段CA的延长线上，且满足AF=AC,使得BF∥平面COE.…15分 (注：指出存在点F,满足AF=CA同样给分.) 解法二：如图延长线段CA至F,使得AF=CA, 延长线段DA至H,使得AH=EA,连接BF,BH,FH, 因为O为BD的中，点，DE=2EA,故DE=EH,BH∥OE,…10分 又∠FAH=∠CAE,所以△FHA≌△CEA, 所以∠FHA=∠CEA,故HF∥CE,…11分 又因为BH中平面COE,所以BH∥平面COE,同理，HF∥平面COE,…12分 又BH∩HF=H,所以平面BFH∥平面COE,…13分 又BFC平面BFH,所以BF∥平面COE,……14分 所以存在，点F,位于线段CA的延长线上，且满足AF=AC使得BF∥平面COE.…15分 18.【解析】(1)证明：当x<0时，f(x)>0,所以f(x)在（一o∞，0）上无零点.…1分 因为f(x)=e1+是>0，所以fx)在(0，十∞)上单调递增， 所以f(x)在(0，十∞)上至多一个零点，…2分 数学参考答案(T10)一5 当n=1时，f(x)有唯一零，点1， 当n≥2时，因为f(1)=1-n<0,f(n)=e-1-1≥e-1>0, 所以函数f(x)有唯一零点，得证.… 4分 (2)(1)由(1)知，e.1=”,且an>0, an 两边取自然对数，解得an十lnan=lnn十1，(*) 所以an+1+lnam+1=ln(n+l)+1, 两式相减，得a+1-a,十lna+1-lna,=ln十>0， 所以a+1十lna+1>an十lnan,因为函数y=x十lnx在(0，十∞)上单调递增， 所以an+1>am,所以数列{an}单调递增，…6分 假设数列{an}中存在am,am+1,am+2成等比数列，则a品+1=amam+2, 所以2lnam+1=lnam十lnam+2, 由(')式得，lnam=lnm十1一am, 代入上式，得2ln(m十1)-2am+1=lnm-am+ln(m+2)-am+2, 2a+1-(am十an+2)=1nm+1)2. n(m+2),(**) 因为an>0,所以2am+1一(am十am+2)≤2am+1-2√anam+2=0, 又因为n器-h京法>1加1=0，所以方程(*+)无解 m2+2m 所以数列{an》中不存在连续三项按某顺序构成等比数列.… 9分 （i)证明：先证明：x>0时，x-1≥lnx,(***) 设g(x)=x-1-lnx,则g'(x)=二1， t, 所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时，等号成立. 由(*)及(*米*)式知，lnn=a,十lna。-1≥2na,所以a,≤n<n十y+臣 2 所以1 2 =2(√n+1-√n), a√n+√n+I 所以21>2[(n+1-m)十(Wm-√n-1)十…十(W2-1)]=2(Wn+-1)；…13分 =1a, 在(*￥*)式中，令x=a,得4-1≥na=lna,-lnn,当且仅当am=n,即n=1时等号成立， n 所以由(*)式得0=a,+lna。-nn-1<a.+分-2， 所以a得≤1+》，当且收当1时学号成之， 所以空站<号+ =2a:2 当≥2时，在()式中，令x=”行，将<n-1n0m-1D, 所以≥2时，含d-=1+站<1+”号+2}<生+h8-ln1++nn-na-D] =1a; =2a: _n+1+Inn 2 当n=1时，2<n+1血”成立， =1a: 2 所以2(n+-1)<22≤+1血，得江. …17分 i=1a: 2 数学参考答案(T10)一6 19.【解析】(1)当r=1时，k=0,此时条件①为f(x)的定义域为[0,1]，条件②为f(0)=0, 条件③当0<x≤1时，f(x)=f(0)+(-1)·x=-x或f(x)=f(0)十2·x=2x, 若f(x)=一x,则f(1)=一1，满足条件； 若f(x)=2x,则f(1)=2,不满足条件，舍去 综上，A,-1={f(x)=一x,0x≤1}.…3分 (2)若Am=☑，则所求证结论显然成立； 若A.m≠0，则对任意的f(x)∈A,m,f(i)=, 由题意得f(k十1)=f(k)+a(k∈N且<r), 则f()=f(i)+a:十a+1+…十a-1. 设a:,a+1,…,a-1中有a个等于一1，有b个等于2， 则a十b=j-i,f(j)=f(i)一a十2b. 因此f(x)∈A,m台2b-a=0曰2b=a=j-i-b曰j-i=3b(b∈N), 所以若j一i不是3的倍数，则f(x)庄A,m,即A,m∩A,m=.…8分 (3)记“从集合G中随机取出一个函数g(x)属于Am,m”为事件Bn,m,随机事件“g(x)∈A,m∩Am+3,m”发生的概 率记为Pm,m 则P,m=P(Bn,m∩Bn+3,m)=P(Bn,m)·P(Bn+3,mB,m). 下面计算P(Bnm): 由题意得gm)-0,桌合G中共有2个不同函数， 设ao,a1,…,a-1中有c个等于-1，有d个等于2，则g(n)=2d-c. 解方程组 c+d=n,得 c-2n_m, 3 -c+2d=m d=m十n 3 由于c,d∈N, 故当m十n不能被3整除或m>2n或m<一n时，上述方程组无解，此时P(Bn,m)=0; 当m十n能被3整除且一n≤m≤2m时，方程组有解，此时符合题意的函数共有C·2一"个， 因此P(B)=C学 2n· …11分 下面计算P(Bn+3,mB,m): 对函数g(x)∈Am,m,若它也满足g(x)∈An+3.m,则g(n)=m,g(n十3)=m, 而g(n+3)=g(n)+am十an+1十aa+2. 因此an十am+1十am+2=0,三者中有一个等于2，两个等于一1，所以共有Cg=3种可能。 因此P(B|B)=是-是 …13分 因此P音P(B, 由前面分析可知当m十n不能被3基除或m>2n或m<一n时，卫.。=0<品成立； 当m十n能被3整除且一≤m≤2n时，P冬·， 由于C%十C%十…=C%十C%十…=2m-1,因此C%≤2-1， 所以P≤是×号-是 综上所述，从集合G中随机取出一个函数， 对任意0<≤，一3，随机事件“ge)EA∩A”发生的概率都不起过器 …17分 数学参考答案(T10)一7