精品解析：安徽合肥市五十五中2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题卷

2025—2026学年第二学期期末考试 八年级数学试题卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 本学期的五次数学单元练习中，甲、乙两位同学的平均成绩一样，方差分别为1.2，0.5，由此可知（ ） A. 甲比乙的成绩稳定 B. 甲乙两人的成绩一样稳定 C. 乙比甲的成绩稳定 D. 无法确定谁的成绩更稳定 3. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若α，β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（α﹣3）（β﹣3）的值为（　　） A. 6 B. C. D. 5. 如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，则图中阴影部分的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 25 8. 有下列各式：①；②；③；④．如果，，那么等式成立的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①③ D. ②④ 9. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理，如图，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则___________． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 13. 如图，在中，，，是边上的中线，点E，F，M，N是上的四点，则图中阴影部分的总面积是___________． 14. 如图，中，周长为，将沿对角线折叠，使点落在平面上处． （1）边长为___________； （2）若，则长为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 16. 如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． （1）是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明； （2）求新路比原路少多少千米． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画出且（要求D在网格图中），连接； （2）判断三角形的形状，并说明理由； （3）若E为中点，F为中点，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由 18. 如图，在中，点为中点，延长相交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，若，求的长度． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 开展党史学习教育，是党中央因时因势作出的重大决策，是大力推进红色基因传承的重要举措，是凝聚智慧力量奋进新征程的现实需要，为了解九年级学生对党史的学习情况，某校团委组织部对九年级学生进行了党史知识测试，并将九年级1班和2班全体学生的测试成绩数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下： 信息一：党史知识测试题共道题目，每小题分； 信息二：两个班级的人数均为人； 信息三：九年级1班成绩条形统计图如下： 信息四：九年级2班平均分的计算过程如下： （分） 信息五： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 m 九年级2班 n 根据以上信息，解决下列问题： （1）_____________，_____________ （2）你认为哪个班级的成绩更加稳定，请说明理由； （3）在本次测试中，九年级1班甲同学和九年级2班乙同学的成绩均为分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由． 20. 已知：线段AB，BC．求作：． 以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①以点C为圆心，AB长为半径作弧； ②以点A为圆心，BC长为半径作弧； ③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD． 四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M； ②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD． 四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2） （1）老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢___________的作法，他的作图依据是：___________________________________________________________________． （2）如图3，过的对角线交点M任作一条直线EF，分别与边AD、BC相交于点E、点F，且点E、点F均不与的顶点重合，则： ①直线EF把分成的两部分的面积是否相等？答：___________（填“是”或“否”）． ②以A、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？ 六、（本题满分12分） 21. 公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 七、（本题满分12分） 22. 阅读下面的材料： 材料一：∵和3是方程的解． ∴； 材料二：如果实数a，b满足，则可以将a，b看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）若两个不同的实数m、n满足，，求的值； （2）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． （1）求的长； （2）当以为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值； （3）若点是边上的一点，且，如图②．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试 八年级数学试题卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可得出答案． 【详解】解：A、∵含有2个未知数，∴不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、∵含有2个未知数，∴不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程定义，解本题的关键在熟练掌握判断一个方程是否是一元二次方程的5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 本学期的五次数学单元练习中，甲、乙两位同学的平均成绩一样，方差分别为1.2，0.5，由此可知（ ） A. 甲比乙的成绩稳定 B. 甲乙两人的成绩一样稳定 C. 乙比甲的成绩稳定 D. 无法确定谁的成绩更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 【详解】解：因为甲的方差为，乙的方差为， 所以甲的方差大于乙的方差， 所以乙比甲的成绩稳定， 故选：C. 3. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式． 直接利用最简二次根式需要满足的两个条件逐项分析即可． 【详解】A．，原二次根式含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B．，原二次根式含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； C．是最简二次根式，符合题意； D．，原二次根式含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 4. 若α，β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（α﹣3）（β﹣3）的值为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到．把代数式变形得到αβ-3（α+β）+9，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得． 则， 故选 B 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 5. 如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 6. 为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设比赛组织者邀请了个队参赛，由题意可知共比赛场，根据“规定参赛的每两个队之间比赛一场”列出方程即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确找到等量关系是解题关键． 7. 如图，在中，，，，则图中阴影部分的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再利用正方形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 所以图中阴影部分的正方形的面积为16， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积，熟练应用勾股定理是解题关键． 8. 有下列各式：①；②；③；④．如果，，那么等式成立的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算与性质，先根据已知条件判断的符号，再利用二次根式的运算法则逐一化简判断即可； 【详解】解： ∵ ，，∴ ，. ，①成立； ，与在实数范围内无意义，②不成立； ， ∵， ∴ ，③不成立； 由③的推导可得，④成立； 9. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质、等边对等角等知识．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 10. 图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理，如图，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而证明，设，则，，分别表示出，，然后作比值求解即可． 【详解】解：过点作于点， ，四边形是正方形， ，四边形是矩形， ， 四边形，四边形，四边形都是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， ， 又， ， ， ，， 四边形的面积， 正方形的面积为：， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式定义．根据题意利用同类二次根式列式计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：4． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 13. 如图，在中，，，是边上的中线，点E，F，M，N是上的四点，则图中阴影部分的总面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出的长，再根据同底等高的三角形面积相等可知，，故可得出，由此即可得出结论． 【详解】解：在中，，，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵同底等高的三角形面积相等， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟知同底等高的三角形面积相等是解答此题的关键． 14. 如图，中，周长为，将沿对角线折叠，使点落在平面上处． （1）边长为___________； （2）若，则长为___________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，进行计算，即可作答． （2）由平行四边形和折叠得到，，，过作于，过作于，再证明，得到，，即可得到，四边形是矩形，，设，则，，再在和中，利用勾股定理得到，代入列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，周长为， ∴，， 故答案为：； （2）过作于，过作于，则， ∵中，，， ∴，，， ∴， ∵将沿对角线折叠， ∴，，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是牢记平方差公式，本题先根据平方差公式展开，再化简二次根式，合并各项即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． （1）是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明； （2）求新路比原路少多少千米． 【答案】（1）是最近的路；说明见解析； （2）新路比原路少千米． 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是为从村庄到河边的最近路； 【小问2详解】 设，则 ，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少千米． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画出且（要求D在网格图中），连接； （2）判断三角形的形状，并说明理由； （3）若E为中点，F为中点，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由 【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，见解析 （3）菱形，见解析 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质画出图象即可； （2）利用勾股定理等逆定理证明； （3）根据菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 四边形是菱形， 理由：为中点， ， 为中点， ， ，， ，， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18. 如图，在中，点为中点，延长相交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的性质与判定，熟练其性质与判定定理通过条件作出辅助线逐步推理是解题关键． （1）通过证明，即可推出平行且相等于，即得证； （2）利用平行四边形的性质求得，得到是等腰三角形，推出，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得，， ， 又点为的中点， ， 在和中， ， ， 又， 四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵在中，， ∴，， ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 开展党史学习教育，是党中央因时因势作出的重大决策，是大力推进红色基因传承的重要举措，是凝聚智慧力量奋进新征程的现实需要，为了解九年级学生对党史的学习情况，某校团委组织部对九年级学生进行了党史知识测试，并将九年级1班和2班全体学生的测试成绩数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下： 信息一：党史知识测试题共道题目，每小题分； 信息二：两个班级的人数均为人； 信息三：九年级1班成绩条形统计图如下： 信息四：九年级2班平均分的计算过程如下： （分） 信息五： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 m 九年级2班 n 根据以上信息，解决下列问题： （1）_____________，_____________ （2）你认为哪个班级的成绩更加稳定，请说明理由； （3）在本次测试中，九年级1班甲同学和九年级2班乙同学的成绩均为分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由． 【答案】（1），； （2） 九年级1班的成绩更加稳定，理由如下： 记九年级1班和九年级2班成绩的方差分别为，， ∵，， ∴， ∴九年级1班的成绩更加稳定； （3） 乙同学的成绩排名在本班更靠前． 理由如下： ∵甲同学的成绩小于本班成绩的中位数，说明有一半以上的同学比甲成绩好， 乙同学的成绩大于本班成绩的中位数，说明乙同学比一半以上的同学成绩好， ∴乙同学成绩的班级排名更靠前 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差进行分析即可； （3）根据中位数综合分析即可． 【小问1详解】 解：∵九年级1班共有名学生，最中间的数是第、个数的平均数， 由九年级1班条形图可知， 第名和第名同学的成绩分别为：、， ， 由九年级2班平均分的计算过程可知， 在九年级2班中，分出现了次，出现的次数最多， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数和方差的性质，掌握知识点是解题关键． 20. 已知：线段AB，BC．求作：． 以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①以点C为圆心，AB长为半径作弧； ②以点A为圆心，BC长为半径作弧； ③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD． 四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M； ②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD． 四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2） （1）老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢___________的作法，他的作图依据是：___________________________________________________________________． （2）如图3，过的对角线交点M任作一条直线EF，分别与边AD、BC相交于点E、点F，且点E、点F均不与的顶点重合，则： ①直线EF把分成的两部分的面积是否相等？答：___________（填“是”或“否”）． ②以A、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】（1）甲或乙，两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）①是；②是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）甲作图依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，乙的作图依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，选甲，乙都可以； （2）①直线EF把分成的两部分的面积相等； ②证明AE=CF，AE∥CF即可． 【详解】解：（1）甲作图依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 乙的作图依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形， 故答案为：甲或乙．两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）①直线EF把分成的两部分的面积相等， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AM=CM， ∴∠EAM=∠FCM， 在△AME和△CMF中， ， ∴△AME≌△CMF（ASA）， ∴， ∴， ∴线EF把分成的两部分的面积相等， 故答案为：是． ②结论：以A、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形． 理由：如图3中，连接AF，CE． 由①得：△AME≌△CMF（ASA）， ∴AE=CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，正确寻找全等三角形解决问题． 六、（本题满分12分） 21. 公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月平均增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价每个应定为75元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．据此列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，月销售利润达到8750元，据此列方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 七、（本题满分12分） 22. 阅读下面的材料： 材料一：∵和3是方程的解． ∴； 材料二：如果实数a，b满足，则可以将a，b看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）若两个不同的实数m、n满足，，求的值； （2）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】（1）7 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【小问1详解】 解：∵，实数、满足，， 即实数、满足，， ∴、可看作方程的两根， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴将看作是方程的两实数根； ， 而， ， ∴，即， ∴的最大值为1． 八、（本题满分14分） 23. 如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． （1）求的长； （2）当以为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值； （3）若点是边上的一点，且，如图②．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）、、 【解析】 【分析】（1）过作于，用勾股定理求斜边； （2）平行四边形对边平行且相等，即，只需，分在线段上、在延长线上两种情况讨论； （3）为腰，分两类：、求解的值． 【小问1详解】 解：过点作于， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中， ． 【小问2详解】 解：由题意：，，总运动时间， ， ，四边形为平行四边形， 则， 即， 分两种情况： ①， ， ； ②， ， ， 均满足， 或． 【小问3详解】 解：如图建立平面直角坐标系， 则，，，，， 情况1：， ， ， ， ， ， ， ； 情况2:， ， ， ， ， 开方得：或， ， ， ； ， ， ， 综上，符合条件的为：、、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $