精品解析：江苏南京市玄武区2025-2026学年第二学期期末试卷七年级数学

2025-2026学年第二学期期末试卷 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等 C. 若，则 D. 四边形的内角和等于外角和 5. 如图，A，B，C，D四个小朋友玩跷跷板，体重分别记为，，，．则他们的体重大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两块平面镜的夹角，两条固定入射光线和分别照射到两块平面镜上，它们的反射光线分别为，．若直线，相交于点，直线，相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 8. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则______． 9. 举一个反例：______，说明“若能被5整除，则的末位数字是5”是假命题． 10. 已知：．则______． 11. 用反证法证明“如果，那么”时，第一步应假设______． 12. 已知，，则________． 13. 足球由正六边形和正五边形构成，如图，若将足球沿拼接线剪开后平铺，拼接点处的缝隙的大小为_________． 14. A，B两种食品的营养成分如图所示，选取A，B食品共4份，要使蛋白质总含量不低于，且总能量最低，则应选A食品______份． 15. 如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数是______． 16. 如图，已知正方形①与正方形②边长相等，正方形②可以看作是正方形①经过怎样的图形变化得到?下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次翻折和1次平移；③经过两次旋转；④经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点只有一个．其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解方程组 19. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 20. 如图，，点是上一点，与的延长线相交于点，且，．求证．请将证明过程补充完整，并在括号内填写推理的依据． 证明：， ① （② ）， ， （等式的性质）． 又，（已知）， ∴③ （④ ）． （已知）， ∴⑤ （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． ∴（⑥ ）． 21. 如图，在中，点在边上，，平分分别交，于点，．求证． 22. 证明：如果，，那么． （1）请补全小明的证明过程； （2）再用一种不同的方法证明． 23. “骐骥驰骋纹”寓意着生生不息、开拓进取的民族精神．如图①，小明绘制了一个横距比纵距多的“小马”．将“小马”先水平向右平移，再竖直向上平移，且水平向右平移的距离是竖直向上平移距离的2倍，记作一次变换．如图②，将一个“小马”以相同的方式连续变换三次，得到了一个由四匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案．已知该图案横距为，纵距为，求一个“小马”的纵距和一次变换中“小马”竖直向上平移的距离． 24. 变换的眼光 （1）【观察】如图（1），，和形状和大小都相同，完成下列填空． （2）【应用】尺规作图：如图（2），点，关于直线对称，点，在直线的同侧，在直线上求作一个点，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 25. 如图（1），纸片是边长为的正方形，纸片是长为，宽为的长方形（），且纸片，纸片的周长相等． （1）若，，则的取值范围是 ； （2）如图（2），将纸片、纸片叠合在一起，设阴影部分的周长为． ① （用含，的代数式表示）； ②若关于的不等式，并且，如果符合的的值只有唯一的整数解，则的取值范围是 ． （3）将纸片，纸片按如图（3）的方式叠合，使阴影部分为两个正方形，，交于点，，交于点，且．若，，求图中阴影部分的面积和． 26. 在数学课上，同学们将一块含角的直角三角尺（顶点、、逆时针方向排列）摆放在两条平行线，上，顶点始终在直线上．其中，． （1）如图（1），当时，则的度数为 °． （2）如图（2），将三角尺绕着顶点旋转，当顶点在下方，顶点在两平行线之间时，延长线交直线于点，，分别在，内部且交于点，且，，请探究是否为定值，并说明理由． （3）若直角三角尺的顶点在直线上，边交直线于点，将三角形沿翻折，顶点落在点处，在下方，且．点为线段延长线上一动点，连接，的平分线所在直线交直线于点，直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末试卷 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故选项符合题意； C、是轴对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，故选项不符合题意； 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘法与除法、积的乘方与幂的乘方，逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，A计算错误． 对于选项B，，B计算错误． 对于选项C，，C计算错误． 对于选项D，，D计算正确． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式求出的取值范围，再根据“大于向右，小于向左，实心包含，空心不包含”的原则在数轴上表示即可． 【详解】解：   解得  在数轴上表示为： ． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等 C. 若，则 D. 四边形的内角和等于外角和 【答案】D 【解析】 【分析】本题需逐个判断各命题的真假，用到不等式性质、同位角性质、有理数乘法性质、多边形内角和与外角和的相关知识点判断即可． 【详解】解：选项A，∵取，，满足，但，即，∴A是假命题； 选项B，∵只有两直线平行时，同位角才相等，命题缺少前提条件，∴B是假命题； 选项C，∵若，则或，可以不为，∴C是假命题； 选项D，∵四边形内角和为，任意多边形的外角和都是，∴四边形内角和等于外角和，D是真命题． 5. 如图，A，B，C，D四个小朋友玩跷跷板，体重分别记为，，，．则他们的体重大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据跷跷板的倾斜情况判断两端重量的大小关系，下沉的一端重量大，平衡则两端总重量相等，结合不等式的性质进行推导即可． 【详解】解：由A端下沉，D端上翘，得 ， 由B端下沉，A端上翘，得 ， ∴， 由跷跷板平衡，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即． 6. 如图，两块平面镜的夹角，两条固定入射光线和分别照射到两块平面镜上，它们的反射光线分别为，．若直线，相交于点，直线，相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由题意易得，然后根据三角形内角和，对顶角及邻补角可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可知：， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，根据定义将代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解 将代入，得 解得． 9. 举一个反例：______，说明“若能被5整除，则的末位数字是5”是假命题． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足条件“能被整除”，但不满足结论“的末位数字是”的即可，根据能被整除的数的特征，选取末位为的符合要求的数即可 【详解】解：根据能被整除的整数的特征可知：能被整除的整数，末位数字为或， 取， 因为，所以能被整除， 的末位数字为，不是，满足题设条件不满足结论，可说明原命题是假命题， 故答案为（答案不唯一） 10. 已知：．则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据完全平方公式解决此题． 【详解】解：，， ． ． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． 11. 用反证法证明“如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可得到结果． 【详解】解：反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，本题原命题的结论为， 的否定为 因此第一步应假设． 12. 已知，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方法则的逆用等知识点．运用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 13. 足球由正六边形和正五边形构成，如图，若将足球沿拼接线剪开后平铺，拼接点处的缝隙的大小为_________． 【答案】12度 【解析】 【详解】解：正六边形的一个内角度数为：， 正五边形的一个内角度数为：， ． 14. A，B两种食品的营养成分如图所示，选取A，B食品共4份，要使蛋白质总含量不低于，且总能量最低，则应选A食品______份． 【答案】2 【解析】 【分析】设选A种食品x份，依题意列出一元一次不等式，求出，得到或3或4，再分类计算总能量，并比较大小即可． 【详解】解：设选A种食品x份，依题意，得 ， 解得， ∵， ∴，且x为整数， ∴或3或4， 当时，总能量为（千焦）， 当时，总能量为（千焦）， 当时，总能量为（千焦）， 由，得 总能量最低，则应选A食品2份． 15. 如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数是______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，等边对等角，三角形外角性质，根据折叠可得，，由角平分线的定义可得，证明，得到，然后根据可得答案，正确掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知正方形①与正方形②边长相等，正方形②可以看作是正方形①经过怎样的图形变化得到?下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次翻折和1次平移；③经过两次旋转；④经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点只有一个．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】根据平移、旋转、翻折的定义及性质，结合正方形的对称性，逐一分析各个结论是否成立即可 ． 【详解】解：①将正方形①平移，使一个顶点与正方形②的一个顶点重合，然后绕该公共顶点旋转一定的角度，即可得到正方形②，故①正确； ②正方形是中心对称图形，将正方形①关于某条直线翻折，再经过平移，可以与正方形②重合，故②正确； ③将正方形①绕其中心旋转，正方形①的位置和形状不变，然后再绕公共顶点旋转至正方形②的位置，这属于经过两次旋转，故③正确； ④若正方形①的公共顶点对应正方形②的公共顶点，则旋转中心为公共顶点； 若正方形①的公共顶点对应正方形②的其他顶点，则旋转中心为对应点连线的垂直平分线的交点，此时旋转中心不是公共顶点， ∴平面内可以作为旋转中心的点不止一个，故④错误． 故答案为①②③． 三、解答题（本大题共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【详解】解： ，得 ， ，得 ， 将代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 19. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，所有整数解为， 【解析】 【详解】解： 解不等式①， ； 解不等式②， ∴不等式组的解集为：， ∴所有整数解为，． 20. 如图，，点是上一点，与的延长线相交于点，且，．求证．请将证明过程补充完整，并在括号内填写推理的依据． 证明：， ① （② ）， ， （等式的性质）． 又，（已知）， ∴③ （④ ）． （已知）， ∴⑤ （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． ∴（⑥ ）． 【答案】；三角形的内角和定理；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的判定与性质进行分析求解即可． 【详解】证明：， （三角形的内角和定理）， ， （等式的性质）． 又，（已知）， ∴（等量代换）． （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 21. 如图，在中，点在边上，，平分分别交，于点，．求证． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，得到，再根据是的外角，是的外角，得到，，进而推导出，即可解答． 【详解】略 22. 证明：如果，，那么． （1）请补全小明的证明过程； （2）再用一种不同的方法证明． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）根据不等式的性质进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 23. “骐骥驰骋纹”寓意着生生不息、开拓进取的民族精神．如图①，小明绘制了一个横距比纵距多的“小马”．将“小马”先水平向右平移，再竖直向上平移，且水平向右平移的距离是竖直向上平移距离的2倍，记作一次变换．如图②，将一个“小马”以相同的方式连续变换三次，得到了一个由四匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案．已知该图案横距为，纵距为，求一个“小马”的纵距和一次变换中“小马”竖直向上平移的距离． 【答案】一个“小马”的纵距为，一次变换中“小马”竖直向上平移的距离为 【解析】 【分析】设“小马”的纵距为，则横距为，设“小马”竖直向上平移的距离为，则水平向右平移的距离为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设“小马”的纵距为，则横距为，设“小马”竖直向上平移的距离为，则水平向右平移的距离为， 由题意得， 解得 答：一个“小马”的纵距为，一次变换中“小马”竖直向上平移的距离为． 24. 变换的眼光 （1）【观察】如图（1），，和形状和大小都相同，完成下列填空． （2）【应用】尺规作图：如图（2），点，关于直线对称，点，在直线的同侧，在直线上求作一个点，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）垂直平分； （2）如图，点即为所求； 连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，连接、，作线段的垂直平分线与直线的交点即为点． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质以及旋转的性质求解即可； （2）作线段的垂直平分线，根据轴对称的性质可得，则． 【小问1详解】 解：由轴对称的性质可得，垂直平分，；由旋转可得， ∴； 【小问2详解】 略 25. 如图（1），纸片是边长为的正方形，纸片是长为，宽为的长方形（），且纸片，纸片的周长相等． （1）若，，则的取值范围是 ； （2）如图（2），将纸片、纸片叠合在一起，设阴影部分的周长为． ① （用含，的代数式表示）； ②若关于的不等式，并且，如果符合的的值只有唯一的整数解，则的取值范围是 ． （3）将纸片，纸片按如图（3）的方式叠合，使阴影部分为两个正方形，，交于点，，交于点，且．若，，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）先根据周长关系得到，然后代入，用表示出，再解不等式组即可； （2）①根据长方形的性质即可列代数式；②根据题意可得，再根据整数解的个数列不等式组求解即可； （3）设左上角和右下角的正方形的边长分别为，则，由，可得，而，，则，即可求解（舍负），则，可列二元一次方程组求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵ ∴， 则 ∵ ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①由题意得，， ∴阴影部分周长为 ②由题意得，，而 ∴ ∵符合的的值只有唯一的整数解， ∴ ∴ 解得； 【小问3详解】 解：设左上角和右下角的正方形的边长分别为， 则， ∵， ∴，则 由（1）知，即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴（舍负） ∴ ∴可得 解得 ∴，即图中阴影部分的面积和． 26. 在数学课上，同学们将一块含角的直角三角尺（顶点、、逆时针方向排列）摆放在两条平行线，上，顶点始终在直线上．其中，． （1）如图（1），当时，则的度数为 °． （2）如图（2），将三角尺绕着顶点旋转，当顶点在下方，顶点在两平行线之间时，延长线交直线于点，，分别在，内部且交于点，且，，请探究是否为定值，并说明理由． （3）若直角三角尺的顶点在直线上，边交直线于点，将三角形沿翻折，顶点落在点处，在下方，且．点为线段延长线上一动点，连接，的平分线所在直线交直线于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1） （2）解：是定值，理由如下： ∵， ∴ 设交于点，交于点， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 故是定值； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （2）设交于点，交于点，设，则，，，则，再根据平行线的性质和三角形的内角和为180度，推出即可求解； （3）根据折叠的性质，角的和差关系和倍数关系以及平角的定义，求出的度数，进而求出的度数，根据平行线得到，，则，设，则，，再由角平分线的定义结合角度的和差计算即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵折叠， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵的平分线所在直线交直线于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $