3.2　探索三角形相似的条件 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“相似三角形的定义与判定1”，通过类比相似多边形定义及三角形全等条件导入，引导学生从“三角相等、三边成比例”的定义过渡到“两角分别相等”的判定，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于结合例题变式与分层训练，如通过角度计算（例2）、平行线性质（例5）强化判定定理应用，培养学生推理能力与几何直观。学生能提升逻辑思维，教师可借助系统练习提高教学效率，落实数学思维与语言表达素养。

第三章　图形的相似 2　探索三角形相似的条件 第3课时　相似三角形的判定3 　 1 画△ABC与△DEF，使 ＝ ＝ ＝ ，设法比较∠A与∠D的大小. △ABC与△DEF相似吗？如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三 角形一定相似吗？ 　 　三边成比例的两个三角形相似 几何语言：如图，∵ ＝ ＝ ，∴△ABC∽△A′B′C′. 　 有两边对应成比例——找“夹角相等”或“第三边也对应成比例”或“有一 对直角” ； 直角三角形——找“一对锐角相等”或“两直角边对应成比例” ； 等腰三角形——找“顶角相等”或“一对底角相等”或“底和腰对应成比 例”. 特别说明：证明相似三角形的一般思路： 有平行截线——用平行线的性质，找“等角” ； 有一对等角——找“另一对等角”或“夹边对应成比例” ； 　 【例1】（教材第70页例3）如图，在△ABC和△ADE中， ＝ ＝ ， ∠BAD＝20°，求∠CAE的度数. 解：∵在△ABC和△ADE中， ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）. ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. ∵∠BAD＝20°， ∴∠CAE＝20°. 　 （教材第74页习题3.2第5题）一个三角形三边的长分别为6 cm， 9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，10 cm，12 cm，这两个三 角形相似吗？为什么？ 解：这两个三角形相似；理由如下： ∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴这两个三角形相似. 　 　网格中相似三角形的判定 特别说明：判断网格中的三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长 度，再看对应边的比是否相等. 【例2】（根据教材第70页尝试•交流改编）如图，在边长为1个单位长度的方 格中，有△ABC与△DEF. （1）试确定这两个三角形的三边长. 解：（1）由题图得AB＝1，BC＝ ，AC＝ ，DE＝3，EF＝3 ，DF＝3 . 　 （2）这两个三角形相似吗？请说明理由. 解：（2）相似.理由如下： ∵DE∶AB＝3∶1＝3，EF∶BC＝3 ∶ ＝3， DF∶AC＝3 ∶ ＝3， ∴DE∶AB＝EF∶BC＝DF∶AC. ∴△ABC∽△DEF. 　 （2025秋•福田区校级月考）如图，小正方形的边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　A　）. A 　 1. 在△ABC和△A′B′C′中，AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝4， B′C′＝5，A′C′＝8，则△ABC和△A′B′C′ （填“相似”或“不 相似”）. 2. △ABC的三边长分别为2， ， ，△A1B1C1的两边长分别为1和 ，当△A1B1C1的第三边长为 　​ 　时，△ABC与△A1B1C1相似. 相似 ​ 　 3. （2025秋•福田区校级月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长 均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图 形是（　C　）. C 　 4. （2025秋•宝安区校级月考）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC ＝4，BC＝8，沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是 （　A　）. A 　 5. （教材第70页随堂练习1）如图，每组中的两个三角形是否相似？为 什么？ （1） 　　　　　　　 解：△ABC与△DEF不相似，理由如下： ∵ ＝ ， ＝ ＝2， ＝ ＝ ， ∴ ≠ ≠ ， ∴△ABC与△DEF不相似. 　 5. （教材第70页随堂练习1）如图，每组中的两个三角形是否相似？为 什么？ （2） 解：△ABC∽△EFD，理由如下： ∵ ＝ ＝2， ＝ ＝2， ＝ ＝2， ∴ ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△EFD. 　 6. （教材第75页习题3.2第11题）如图，已知一个等腰三角形和一条线段，以 这条线段为边画三角形，使之与已知等腰三角形相似.你能画出几个符合要 求的三角形？ 解：如图所示，有两个符合题意的三角形. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：∵在△ABC和△ADE中， ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）. ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. ∵∠BAD＝20°， ∴∠CAE＝20°. 　 变式训练1　解：这两个三角形相似；理由如下： ∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴这两个三角形相似. 　 【例2】　解：（1）由题图得AB＝1，BC＝ ，AC＝ ，DE＝3，EF ＝3 ，DF＝3 . （2）相似.理由如下： ∵DE∶AB＝3∶1＝3，EF∶BC＝3 ∶ ＝3，DF∶AC＝3 ∶ ＝3， ∴DE∶AB＝EF∶BC＝DF∶AC. ∴△ABC∽△DEF. 变式训练2　A 　 【随堂小测】 1. 相似　2. 　3.C　4.A 5. 解：（1）△ABC与△DEF不相似，理由如下： ∵ ＝ ， ＝ ＝2， ＝ ＝ ， ∴ ≠ ≠ ， ∴△ABC与△DEF不相似. （2）△ABC∽△EFD，理由如下： ∵ ＝ ＝2， ＝ ＝2， ＝ ＝2， ∴ ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△EFD. 　 6. 解：如图所示，有两个符合题意的三角形. 　 $第三章　图形的相似 2　探索三角形相似的条件 第4课时　黄金分割 　 1 什么是“黄金分割”？它在艺术、建筑、自然中随处可见.如何用数学方法 找到一条线段的黄金分割点？让我们揭开这个“最美比例”的神秘面纱. 　 　黄金分割的定义 如图，在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ＝ ，那么称线段AB被点C① ，点C叫作线段AB的② ⁠ ，AC与AB的比叫作③ . 黄金分割 黄金分 割点 黄金比 　 特别说明：1.AC＝ AB≈0.618AB（ 叫作黄金分割值）. 简记为 ＝ ＝ . 2. 一条线段的黄金分割点有两个. 3. 黄金三角形的概念：顶角是36°的等腰三角形. 4. 黄金矩形的概念：宽与长的比等于黄金数的矩形. 　 【例1】如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式正确 的是（　C　）. A. CB2＝AC•AB B. AB2＝AC•CB C. AC2＝BC•AB D. AC2＝2BC•AB C 　 如图所示，点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），下列结 论中错误的是（　B　）. A. ＝ B. AC2＝AB•BC C. ＝ D. ≈0.618 B 　 　黄金分割的应用 【例2】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如 图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足 ＝ ，则称点P是AB 的黄金分割点.若图中AB＝8，求BP的长度. 解：设BP的长度是x，则AP＝AB－BP＝8－x. ∵ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得x1＝12－4 ，x2＝12＋4 . 经检验，x1＝12－4 ，x2＝12＋4 都是方程的根， ∵x2＝12＋4 ＞ 8， ∴x2＝12＋4 不合题意，舍去， ∴x＝12－4 ，即BP的长度是12－4 . 　 （教材第75页12题）如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端 点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点.支撑点D是 靠近点A的黄金分割点，试确定支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端 点A的距离. 解：∵乐器上的一根弦AB＝80 cm， 两个端点A，B固定在乐器面板上， 支撑点C是靠近点B的黄金分割点， 支撑点D是靠近点A的黄金分割点， ∴AC＝BD＝ AB， ∴BC＝AD＝AB－ AB＝ AB＝ ×80＝（120－40 ）cm， 即支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端点A的距离均为（120－ 40 ）cm. 　 1. 若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式中不正确的是 （　C　）. A. ＝ B. BC＝ AB C. AC＝ AB D. AC≈0.618AB C 　 2. 已知线段AB＝2，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则CD的长 是（　C　）. A. 3－ B. C. 2 －4 D. －1 C 3. 当气温与人体正常体温（37 ℃）之比等于黄金分割比0.618时，人体感觉 最舒适，这个气温约为 ℃.（取整数） 23 　 4. （2025•深圳模拟）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符. 实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如 图），可以敲击出音符“sol”的声音.若AB＝10 cm，且敲击时发出音符 “sol”的声音，则液面高度AC约为（　C　）. A. 3.82 cm B. 5 cm C. 6.18 cm D. 7.2 cm C 　 5. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至腰部的长度与腰部至足底的长度 之比是黄金分割比.在设计人体雕像时，雕像的腰部以下长为a，身高为b， 如果我们选择最美设计方案，当b为2米时，求腰部以下a的长度.（ ≈2.236，精确到0.01米） 解：由题意得 ＝ ，即 ＝ ， 解得a＝ －1≈1.24（米）. 　 6. 如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如 果AB的长度为12 cm，求叶柄BP的长度. 解：由黄金分割得 ＝ ， ∴ ＝ ，整理得（12－BP）2＝12BP， 解得BP＝18－6 或BP＝18＋6 （舍去）. 答：叶柄BP的长度为（18－6 ）cm. 　 7. 欧几里得的《几何原本》中给出了一个找线段的黄金分割点的方法.如图 所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长 DA至点F，使EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB 的黄金分割点.若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，求S1 与S2的比值. 解：∵H是线段AB的黄金分割点， ∴AH2＝BH•AB. ∵S1＝AH2，S2＝BH•BC＝BH•AB， ∴S1＝S2，即 ＝1. 　 参考答案 【新课导学】 ①黄金分割 ②黄金分割点 ③黄金比 【例1】 C 变式训练1　B 　 解得x1＝12－4 ，x2＝12＋4 . 经检验，x1＝12－4 ，x2＝12＋4 都是方程的根， ∵x2＝12＋4 ＞ 8， ∴x2＝12＋4 不合题意，舍去， ∴x＝12－4 ，即BP的长度是12－4 . 【例2】　解：设BP的长度是x，则AP＝AB－BP＝8－x. ∵ ＝ ，∴ ＝ ， 　 变式训练2　解：∵乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐 器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金 分割点， ∴AC＝BD＝ AB， ∴BC＝AD＝AB－ AB＝ AB＝ ×80＝（120－40 ）cm， 即支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端点A的距离均为（120－ 40 ）cm. 　 【随堂小测】 1. C　2.C　3.23　4.C 5. 解：由题意得 ＝ ，即 ＝ ， 解得a＝ －1≈1.24（米）. 　 6. 解：由黄金分割得 ＝ ， ∴ ＝ ，整理得（12－BP）2＝12BP，解得BP＝18－6 或BP ＝18＋6 （舍去）. 答：叶柄BP的长度为（18－6 ）cm. 7. 解：∵H是线段AB的黄金分割点， ∴AH2＝BH•AB. ∵S1＝AH2，S2＝BH•BC＝BH•AB， ∴S1＝S2，即 ＝1. 　 $第三章　图形的相似 2　探索三角形相似的条件 第2课时　相似三角形的判定2 　 1 两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？小明认为，两边成比例的两个 三角形不一定相似.如果再增加一个条件，会有哪几种可能的情况呢？ 　 　 相似三角形的判定2 两边成① 且夹角② 的两个三角形相似. 几何语言：如图，∵ ＝ ，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′. 比例 相等 特别说明：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应 用时注意这个角必须是两边的夹角，否则判断的结果可能是错误的. 　 【例1】（教材第74页习题3.2第4题）在△ABC中，∠B＝39°，AB＝ 1.8 cm，BC＝2.4 cm；在△DEF中，∠D＝39°，DE＝3.6 cm，DF＝2.7 cm.这两个三角形相似吗？为什么？ 解：相似，理由：∵在△ABC中，AB＝1.8 cm，BC＝2.4 cm；在△DEF 中，DE＝3.6 cm，DF＝2.7 cm， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ . 又∵∠B＝∠D＝39°， ∴△ABC∽△DEF. 　 如图，D，E分别为AB，AC边上两点，且AD＝5，BD＝3， AE＝4，CE＝6.求证：△ADE∽△ACB. 证明：∵AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6， ∴AB＝AD＋BD＝8，AC＝AE＋CE＝10， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ . 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB. 　 【例2】（教材第68页例2）如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的 点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且 ＝ ，求DE的长. 解：∵AE＝1.5，AC＝2， ∴ ＝ . ∵ ＝ ， ∴ ＝ . 又∵∠EAD＝∠CAB， ∴△EAD∽△CAB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）， ∴ ＝ ＝ ， ∴DE＝ BC＝ . 　 （根据教材第68页例2改编）如图，在△ADE和△ABC中， ＝ ，且∠EAC＝∠DAB. 若AD＝3，AB＝5，DE＝4，求BC的长. 解：∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAC＋∠BAE＝∠DAB＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE. ∵ ＝ ， ∴△EAD∽△CAB， ∴ ＝ . 又∵AD＝3，AB＝5，DE＝4， ∴BC＝ ＝ . 　 1. （2024秋•南山区期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC 上，则不一定能判断△ABC∽△EDC的是（　D　）. A. ∠CDE＝∠B B. ∠DEC＝∠A C. ＝ D. ＝ D 　 2. （2025秋•宝安区期中）如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC ＝8.将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是 （　D　）. D 　 3. （教材第75页习题3.2第9题）如图，P是△ABC的边AB上的一点. （1）如果∠ACP＝∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？ 解：△ACP∽△ABC；理由如下： ∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B， ∴△ACP∽△ABC. 　 （2）如果 ＝ ，△ACP与△ABC是否相似？为什么？如果 ＝ 呢？ 解：如果 ＝ ，△ACP与△ABC相似；理由如下： ∵ ＝ ，∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC. 如果 ＝ ，△ACP与△ABC不一定相似；理由如下： ∵ ＝ ，但当点P不与点B重合时， ∠ACB≠∠ACP， ∴△ACP与△ABC不一定相似. 　 4. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝ 6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明：∵BE＝3，EC＝6， ∴BC＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. ∵ ＝ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△ABE∽△ECF. 　 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，点Q从点B 出发，沿BC方向以2 cm/s的速度移动，点P从点C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度移动，若点Q，P分别同时从点B，C出发，试探究经过多少秒 后，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 　 解：设经过x秒后，两三角形相似.由题意，得BQ＝2x cm，CP＝x cm， ∴CQ＝（8－2x） cm. ①当 ＝ 时，△PQC∽△ABC， ∴ ＝ ，解得x＝ . ②当 ＝ 时，△PQC∽△BAC， ∴ ＝ ，解得x＝ . ∴经过 秒或 秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似. 　 参考答案 【新课导学】 ①比例　②相等 【例1】　　解：相似，理由：∵在△ABC中，AB＝1.8 cm，BC＝2.4 cm；在△DEF中，DE＝3.6 cm，DF＝2.7 cm， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ . 又∵∠B＝∠D＝39°， ∴△ABC∽△DEF. 　 变式训练1　证明：∵AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6， ∴AB＝AD＋BD＝8，AC＝AE＋CE＝10， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ . 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB. 　 【例2】　解：∵AE＝1.5，AC＝2， ∴ ＝ . ∵ ＝ ， ∴ ＝ . 又∵∠EAD＝∠CAB， ∴△EAD∽△CAB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）， ∴ ＝ ＝ ， ∴DE＝ BC＝ . 　 变式训练2　解：∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAC＋∠BAE＝∠DAB＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE. ∵ ＝ ， ∴△EAD∽△CAB， ∴ ＝ . 又∵AD＝3，AB＝5，DE＝4， ∴BC＝ ＝ . 　 【随堂小测】 1. D　2.D 3. 解：（1）△ACP∽△ABC；理由如下： ∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC. （2）如果 ＝ ，△ACP与△ABC相似；理由如下： ∵ ＝ ，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC. 如果 ＝ ，△ACP与△ABC不一定相似；理由如下： ∵ ＝ ，但当点P不与点B重合时，∠ACB≠∠ACP， ∴△ACP与△ABC不一定相似. 　 4. 证明：∵BE＝3，EC＝6， ∴BC＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. ∵ ＝ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△ABE∽△ECF. 　 5. 解：设经过x秒后，两三角形相似.由题意，得BQ＝2x cm，CP＝x cm， ∴CQ＝（8－2x） cm. ①当 ＝ 时，△PQC∽△ABC， ∴ ＝ ，解得x＝ . ②当 ＝ 时，△PQC∽△BAC， ∴ ＝ ，解得x＝ . ∴经过 秒或 秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似. 　 $第三章　图形的相似 2　探索三角形相似的条件 第1课时　相似三角形的定义与判定1 　 1 根据相似多边形的定义，三个角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相 似三角形.那么，两个三角形至少满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三 角形全等的条件，寻找判定两个三角形相似的条件呢？ 　 　相似三角形的定义及性质 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作 ① ⁠. 特别说明：（1）书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 △ABC∽△A′B′C′，则说明点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′， 点C的对应点是点C′； （2）对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么 第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫作第一个三角形和第二 个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 相似三角形 　 2. 性质：相似三角形的对应角② ，对应边的比③ . 几何语言：如图，∵△ABC∽△A1B1C1， ∴∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1， ＝ ＝ . 相等 相等 　 【例1】如图，△DEF与△ABC相似，相关数据已标出，则DE的对应边 为 ，EF的对应边为 ，DF的对应边为 ； △DEF与 △ABC的相似比为 ⁠. AB BC AC 1∶2 　 如图，△ADE与△ABC相似，相关数据已标出，则AD的对应边 为 ，AE的对应边为 ，DE的对应边为 .△ADE与 △ABC的相似比为 ⁠. AB AC BC 3∶5 　 　相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形④ ⁠. 几何语言：如图， ∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 要判定两个三角形相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对 于直角三角形而言，如果有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 相似 　 【例2】（教材第74页习题3.2第1题）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝ 70°，∠B＝60°，∠E＝50°，这两个三角形相似吗？为什么？ 解：△ABC与△DEF相似.理由如下： ∵∠A＝70°，∠B＝60°， ∴∠C＝50°. ∵∠E＝50°， ∴∠C＝∠E. 又∵∠A＝∠D＝70°， ∴△ABC∽△DFE. 　 （教材第74页习题3.2第2题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O. 找出图中的相似三角形，并说明理 由. 解：△DOC∽△BOA，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO. 又∵∠DOC＝∠BOA， ∴△DOC∽△BOA. 　 【例3】（根据教材第67页例1改编）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝ 10，DE＝20，AB＝14，求BC的长. 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴BC＝ ＝28. 　 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED ＝∠B，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，求AE的长. 解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴AE＝ ＝5. 　 1. 如图所示，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件 ⁠ ，使得△AOB∽△COD. ∠A＝∠C（答案 不唯一） 　 2. 在 △ABC 和 △A′B′C′中，如果 ∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝ 56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形是否相似？ 答： ，理由是 ⁠ ⁠. 3. 如图，∠AED＝∠B，则一定可得（　A　）. △ABC∽△A′C′B′ 两组角分别对应相等的两个三角形 相似 A A. AD∶AC＝AE∶AB B. DE∶BC＝AD∶DB C. DE∶BC＝AE∶AC D. AD∶AB＝AE∶AC 　 4. （2025春•福田区校级期末）如图，已知△ABC，则下列三角形中，与 △ABC相似的是（　C　）. C 　 5. 如图，点P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点 E，则图中相似的三角形有（　D　）. A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 D 　 6. （2025•福田区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，B， C，E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE. （1）求证：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠D＝∠CAE， ∴△ABD∽△ECA. 　 （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度. 解：∵AB＝AC，AC＝6， ∴AB＝AC＝6. ∵△ABD∽△ECA， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴BD＝9. 6. （2025•福田区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，B， C，E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE. 　 7. （根据教材第74页习题3.2第7题改编）如图，在△ABC中，∠BAC＝ 90°，AD⊥BC，垂足为D. （1）请指出图中所有的相似三角形. 解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD＋∠B＝∠C＋∠B＝90°， ∴∠BAD＝∠C，且∠ADC＝∠ADB， ∴△ABD∽△CAD. 同理可得△ABD∽△CBA，△CAD∽△CBA， ∴图中所有相似的三角形有△ABD∽△CAD，△ABD∽△CBA， △CAD∽△CBA. 　 （2）你能得到AB2＝BD•BC吗？为什么？ 解：能得到AB2＝BD•BC，理由如下： ∵△ABD∽△CBA， ∴ ＝ ， ∴AB2＝BD•BC. 7. （根据教材第74页习题3.2第7题改编）如图，在△ABC中，∠BAC＝ 90°，AD⊥BC，垂足为D. 　 （3）若BD＝3，AB＝5，求AC的长. 7. （根据教材第74页习题3.2第7题改编）如图，在△ABC中，∠BAC＝ 90°，AD⊥BC，垂足为D. 解：在Rt△ABD中，BD＝3，AB＝5， ∴AD＝ ＝4. ∵△ABD∽△CAD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AC＝ . 　 参考答案 【新课导学】 ①相似三角形 ②相等 ③相等 【例1】 AB BC AC 1∶2 变式训练1　AB　AC　BC　3∶5 ④相似 　 【例2】　解：△ABC与△DEF相似.理由如下： ∵∠A＝70°，∠B＝60°， ∴∠C＝50°. ∵∠E＝50°， ∴∠C＝∠E. 又∵∠A＝∠D＝70°， ∴△ABC∽△DFE. 　 变式训练2　解：△DOC∽△BOA，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO. 又∵∠DOC＝∠BOA， ∴△DOC∽△BOA. 　 【例3】　解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴BC＝ ＝28. 变式训练3　解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴AE＝ ＝5. 　 【随堂小测】 1. ∠A＝∠C（答案不唯一） 2. △ABC∽△A′C′B′　两组角分别对应相等的两个三角形相似 3. A　4.C　5.D 6. （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠D＝∠CAE， ∴△ABD∽△ECA. 　 （2）解：∵AB＝AC，AC＝6， ∴AB＝AC＝6. ∵△ABD∽△ECA， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴BD＝9. 　 7. 解：（1）∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD＋∠B＝∠C＋∠B＝90°， ∴∠BAD＝∠C，且∠ADC＝∠ADB， ∴△ABD∽△CAD. 同理可得△ABD∽△CBA，△CAD∽△CBA， ∴图中所有相似的三角形有△ABD∽△CAD，△ABD∽△CBA， △CAD∽△CBA. （2）能得到AB2＝BD•BC，理由如下： ∵△ABD∽△CBA， ∴ ＝ ， ∴AB2＝BD•BC. 　 （3）在Rt△ABD中，BD＝3，AB＝5， ∴AD＝ ＝4. ∵△ABD∽△CAD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AC＝ . 　 $